1_8.5　空间角与距离、空间向量及其应用（分层集训）.pptx

高考数学,专题八立体几何8.5空间角与距离、空间向量及其应用,考点一用向量法证明空间中的平行和垂直,1.(2021广东佛山月考,3)直线l,且l的方向向量为(2,m,1),平面的法向量为,则m=()A.-4B.-6C.-8D.8答案C,2.(2022福州一中质检,4)以下四组向量在同一平面的是()A.(1,1,0)、(0,1,1)、(1,0,1)B.(3,0,0)、(1,1,2)、(2,2,4)C.(1,2,3)、(1,3,2)、(2,3,1)D.(1,0,0)、(0,0,2)、(0,3,0)答案B,3.(多选)(2022广东中山一中阶段测试,10)如图,两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直,设M,N分别是AC和AE的中点,那么下列结论正确的是()A.ADMNB.MN平面CDEC.MNCED.MN,CE异面答案ABC,4.(多选)(2021新高考,12,5分)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=1,点P满足=+,其中0,1,0,1,则()A.当=1时,AB1P的周长为定值B.当=1时,三棱锥P-A1BC的体积为定值C.当=时,有且仅有一个点P,使得A1PBPD.当=时,有且仅有一个点P,使得A1B平面AB1P答案BD,5.(2023届南京、镇江学情调查,19)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,侧棱SA底面ABCD,AB垂直于AD和BC,SA=AB=BC=2,AD=1,M是棱SB的中点.(1)求证:AM平面SCD;(2)求平面SCD与平面SAB所成锐二面角的余弦值.,解析因为SA底面ABCD,AB垂直于AD,所以以点A为坐标原点,以向量,的方向分别为x,轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图,则A(0,0,0),C(2,2,0),D(1,0,0),S(0,0,2),M(0,1,1),所以=(0,1,1),=(1,0,-2),=(-1,-2,0).(1)证明:设平面SCD的法向量为n=(x,y,z),则即令z=1,则x=2,y=-1,则n=(2,-1,1).因此n=-1+1=0,从而n,又AM平面SCD,所以AM平面SCD.(2)易知平面SAB的一个法向量为n1=(1,0,0),由(1)知平面SCD的一个法向量为n=(2,-1,1),则cos=,所以平面SCD与平面SAB所成锐二面角,的余弦值为.,6.(2022南京一中期初测试,20)如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PA底面ABCD,PA=AB,点E在棱PD上,且2PE=ED,点F是棱PC上的动点(不含端点).(1)若F是棱PC的中点,求证:PB平面AEF;(2)求PA与平面AEF所成角的正弦值的最大值.,解析因为四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PA底面ABCD,所以AB,AD,AP两两垂直.以A为坐标原点,分别以,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系Axyz,如图所示.不妨设PA=AB=6,则B(6,0,0),P(0,0,6),E(0,2,4),C(6,6,0),D(0,6,0).(1)证明:=(0,2,4),因为F是棱PC的中点,所以F(3,3,3),所以=(3,3,3).设平面AEF的法向量为m=(x,y,z),则由得不妨令y=2,则x=-1,z=-1,所以m=(-1,2,-1),又=(6,0,-6),所以m=-6+0+6=0,即m,又PB平面AEF,所以PB平面AEF.(2)=(6,6,-6),设PA与平面AEF所成的角为,=(6,6,-6),01,则=+=+=(6,6,6-6),设平面AEF的法向量为n=(a,b,c),则由得不妨令b=2,则a=-3,c=-1,所以n=,又=(0,0,6),所以sin=|cos|=,所以当=3,即=时,(sin)max=,故PA与平面AEF所成角的正弦值的最大值为.,7.(2017天津,17,13分)如图,在三棱锥P-ABC中,PA底面ABC,BAC=90.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.(1)求证:MN平面BDE;(2)求二面角C-EM-N的正弦值;(3)已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为,求线段AH的长.,