专题40 存在性问题-2年中考1年模拟备战2018年中考数学精品系列（解析版）.doc

备战2018中考系列：数学2年中考1年模拟 第七篇 专题复习篇 专题40 存在性问题 ☞解读考点 知　识　点 名师点晴 抛物线的存 在性 等腰、直角三角形[来源:学科网ZXXK][来源:学科网ZXXK][来源:学科网ZXXK] 掌握等腰三角形与直角三角形的性质，并能求出相关的点的存在性问题[来源:Z§xx§k.Com][来源:学*科*网] 平行四边形问题 理解并掌握抛物线与特殊的平行四边形的求法 相似三角形 理解并掌握抛物线与相似三角形问题的解法 等腰梯形、直角梯形 理解并掌握抛物线与梯形的存在性问题的求法 线段最值 掌握线段最大值或线段和的最小值的求法 面积最值问题 解决相关的三角形或四边形的面积最大（小）值问题 ☞2年中考 【2017年题组】 一、选择题 二、填空题 三、解答题 1．（2017四川省内江市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）与y轴交与点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1． （1）求抛物线的解析式； （2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值； （3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）S=，运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是；（3）t=或t=． 【解析】 （3）根据余弦函数，可得关于t的方程，解方程，可得答案． 试题解析：（1）∵点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1，∴A（﹣2，0），把点A（﹣2，0）、B（4，0）、点C（0，3），分别代入（a≠0），得：，解得：，所以该抛物线的解析式为：； （2）设运动时间为t秒，则AM=3t，BN=t，∴MB=6﹣3t．由题意得，点C的坐标为（0，3）．在Rt△BOC中，BC==5．如图1，过点N作NH⊥AB于点H，∴NH∥CO，∴△BHN∽△BOC，∴，即，∴HN=t，∴S△MBN=MB•HN=（6﹣3t）•t，即S= =，当△PBQ存在时，0＜t＜2，∴当t=1时，S△PBQ最大=． 答：运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是； （3）如图2，在Rt△OBC中，cos∠B=． 设运动时间为t秒，则AM=3t，BN=t，∴MB=6﹣3t． ①当∠MNB=90°时，cos∠B=，即，化简，得17t=24，解得t=； ②当∠BMN=90°时，cos∠B=，化简，得19t=30，解得t=． 综上所述：t=或t=时，△MBN为直角三角形． 考点：1．二次函数综合题；2．最值问题；3．二次函数的最值；4．动点型；5．存在型；6．分类讨论；7．压轴题．学科~网 2．（2017四川省凉山州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OB=8，OC=6． （1）求抛物线的解析式； （2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时，点N从B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△MBN存在时，求运动多少秒使△MBN的面积最大，最大面积是多少？ （3）在（2）的条件下，△MBN面积最大时，在BC上方的抛物线上是否存在点P，使△BPC的面积是△MBN面积的9倍？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）运动秒使△MBN的面积最大，最大面积是；（3）P（3，）或（5，）． 【解析】 （3）利用待定系数法求得直线BC的解析式为．由二次函数图象上点的坐标特征可设点P的坐标为（m，）．过点P作PE∥y轴，交BC于点E．结合已知条件和（2）中的结果求得S△PBC=．则根据图形得到S△PBC=S△CEP+S△BEP=EP•m+•EP•（8﹣m），把相关线段的长度代入推知：=． 试题解析：（1）∵OA=2，OB=8，OC=6，∴根据函数图象得A（﹣2，0），B（8，0），C（0，6），根据题意得：，解得：，∴抛物线的解析式为； （2）设运动时间为t秒，则AM=3t，BN=t，∴MB=10﹣3t．由题意得，点C的坐标为（0，6）．在Rt△BOC中，BC==10．如图，过点N作NH⊥AB于点H，∴NH∥CO，∴△BHN∽△BOC，∴，即，∴HN=t，∴S△MBN=MB•HN=（10﹣3t）•t==﹣（t﹣）2+，当△MBN存在时，0＜t＜2，∴当t=时，S△MBN最大=． 答：运动秒使△MBN的面积最大，最大面积是； （3）设直线BC的解析式为y=kx+c（k≠0）． 把B（8，0），C（0，6）代入，得：，解得：，∴直线BC的解析式为 ． ∵点P在抛物线上，∴设点P的坐标为（m，），如图，过点P作PE∥y轴，交BC于点E，则E点的坐标为（m，）． ∴EP=﹣（）=，当△MBN的面积最大时，S△PBC=9 S△MBN=，∴S△PBC=S△CEP+S△BEP=EP•m+•EP•（8﹣m）=×8EP=4×（）=，即=．解得m1=3，m2=5，∴P（3，）或（5，）． 考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．动点型；5．存在型；6．压轴题． 3．（2017四川省宜宾市）如图，抛物线与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）在第二象限内取一点C，作CD垂直X轴于点D，链接AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值； （3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）m的值为7或9；（3）Q点的坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或（4，5）． 【解析】 （3）由（2）可求得E点坐标，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴于点F，当BE为平行四边形的边时，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，则可证得△PQN≌△EFB，可求得QN，即可求得Q到对称轴的距离，则可求得Q点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q点坐标；当BE为对角线时，由B、E的坐标可求得线段BE的中点坐标，设Q（x，y），由P点的横坐标则可求得Q点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q点的坐标． 试题解析： （1）∵抛物线与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，∴，解得：，∴抛物线解析式为； （2）∵AD=5，且OA=1，∴OD=6，且CD=8，∴C（﹣6，8），设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，代入抛物线解析式可得8=，解得x=1或x=3，∴C′点的坐标为（1，8）或（3，8），∵C（﹣6，8），∴当点C落在抛物线上时，向右平移了7或9个单位，∴m的值为7或9； （3）∵= ，∴抛物线对称轴为x=2，∴可设P（2，t），由（2）可知E点坐标为（1，8），分两种情况讨论： ①当BE为平行四边形的边时，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴于点F，当BE为平行四边形的边时，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，如图，则∠BEF=∠BMP=∠QPN，在△PQN和△EFB中，∵∠QPN=∠BEF，∠PNQ=∠EFB，PQ=BE，∴△PQN≌△EFB（AAS），∴NQ=BF=OB﹣OF=5﹣1=4，设Q（x，y），则QN=|x﹣2|，∴|x﹣2|=4，解得x=﹣2或x=6，当x=﹣2或x=6时，代入抛物线解析式可求得y=﹣7，∴Q点坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）； ②当BE为对角线时，∵B（5，0），E（1，8），∴线段BE的中点坐标为（3，4），则线段PQ的中点坐标为（3，4），设Q（x，y），且P（2，t），∴x+2=3×2，解得x=4，把x=4代入抛物线解析式可求得y=5，∴Q（4，5）； 综上可知Q点的坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或（4，5）． 考点：1．二次函数综合题；2．平移的性质；3．分类讨论；4．存在型；5．压轴题． 4．（2017四川省绵阳市）如图，已知△ABC中，∠C=90°，点M从点C出发沿CB方向以1cm/s的速度匀速运动，到达点B停止运动，在点M的运动过程中，过点M作直线MN交AC于点N，且保持∠NMC=45°，再过点N作AC的垂线交AB于点F，连接MF，将△MNF关于直线NF对称后得到△ENF，已知AC=8cm，BC=4cm，设点M运动时间为t（s），△ENF与△ANF重叠部分的面积为y（cm2）． （1）在点M的运动过程中，能否使得四边形MNEF为正方形？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由； （2）求y关于t的函数解析式及相应t的取值范围； （3）当y取最大值时，求sin∠NEF的值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 （2）分两种情况：①当0＜t≤2时，由三角形面积得出 ； ②当2＜t≤4时，作GH⊥NF于H，由（1）得：NF=（8﹣t），GH=NH，GH=2FH，得出GH=NF=（8﹣t），由三角形面积得出（2＜t≤4）； （3）当点E在AB边上时，y取最大值，连接EM，则EF=BF，EM=2CN=2CM=2t，EM=2BM，得出方程，解方程求出CN=CM=2，AN=6，得出BM=2，NF=AN=3，因此EM=2BM=4，作FD⊥NE于D，由勾股定理求出EB= =，求出EF=EB=，由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出DF= HF=，在Rt△DEF中，由三角函数定义即可求出sin∠NEF的值． 试题解析：（1）能使得四边形MNEF为正方形；理由如下： 连接ME交NF于O，如图1所示： ∵∠C=90°，∠NMC=45°，NF⊥AC，∴CN=CM=t，FN∥BC，∴AN=8﹣t，△ANF∽△ACB，∴ =2，∴NF=AN=（8﹣t），由对称的性质得：∠ENF=∠MNF=∠NMC=45°，MN=NE，OE=OM=CN=t，∵四边形MNEF是正方形，∴OE=ON=FN，∴t=×（8﹣t），解得：t=； 即在点M的运动过程中，能使得四边形MNEF为正方形，t的值为； （2）分两种情况： ①当0＜t≤2时，y=×（8﹣t）×t=，即（0＜t≤2）； ②当2＜t≤4时，如图2所示：作GH⊥NF于H，由（1）得：NF=（8﹣t），GH=NH，GH=2FH，∴GH=NF=（8﹣t），∴y=NF′GH=×（8﹣t）×（8﹣t）=，即（2＜t≤4）； 综上所述： ． （3）当点E在AB边上时，y取最大值，连接EM，如图3所示： 则EF=BF，EM=2CN=2CM=2t，EM=2BM，∵BM=4﹣t，∴2t=2（4﹣t），解得：t=2，∴CN=CM=2，AN=6，∴BM=4﹣2=2，NF=AN=3，∴EM=2BM=4，作FD⊥NE于D，则EB= = =，△DNF是等腰直角三角形，∴EF=EB=，DF= HF=，在Rt△DEF中，sin∠NEF= = =． 考点：1．四边形综合题；2．最值问题；3．动点型；4．存在型；5．分类讨论；6．压轴题． 5．（2017四川省达州市）如图1，点A坐标为（2，0），以OA为边在第一象限内作等边△OAB，点C为x轴上一动点，且在点A右侧，连接BC，以BC为边在第一象限内作等边△BCD，连接AD交BC于E． （1）①直接回答：△OBC与△ABD全等吗？ ②试说明：无论点C如何移动，AD始终与OB平行； （2）当点C运动到使AC2=AE•AD时，如图2，经过O、B、C三点的抛物线为y1．试问：y1上是否存在动点P，使△BEP为直角三角形且BE为直角边？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由； （3）在（2）的条件下，将y1沿x轴翻折得y2，设y1与y2组成的图形为M，函数的图象l与M有公共点．试写出：l与M的公共点为3个时，m的取值． 【答案】（1）①△OBC与△ABD全等；②证明见解析；（2）P（3，）或（﹣2，）；（3）﹣≤m＜0． 【解析】 （2）首先证明DE⊥BC，再求直线AE与抛物线的交点就是点P，所以分别求直线AE和抛物线y1的解析式组成方程组，求解即可； （3）先画出如图3，根据图形画出直线与图形M有个公共点时，两个边界的直线，上方到，将向下平移即可满足l与图形M有3个公共点，一直到直线l与y2相切为止，主要计算相切时，列方程组，确定△≥0时，m的值即可． 试题解析：（1）①△OBC与△ABD全等，理由是：如图1，∵△OAB和△BCD是等边三角形，∴∠OBA=∠CBD=60°，OB=AB，BC=BD，∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC，即∠OBC=∠ABD，∴△OBC≌△ABD（SAS）； ②∵△OBC≌△ABD，∴∠BAD=∠BOC=60°，∴∠OBA=∠BAD，∴OB∥AD，∴无论点C如何移动，AD始终与OB平行； （2）如图2，∵AC2=AE•AD，∴，∵∠EAC=∠DAC，∴△AEC∽△ACD，∴∠ECA=∠ADC，∵∠BAD=∠BAO=60°，∴∠DAC=60°，∵∠BED=∠AEC，∴∠ACB=∠ADB，∴∠ADB=∠ADC，∵BD=CD，∴DE⊥BC，Rt△ABE中，∠BAE=60°，∴∠ABE=30°，∴AE=AB=×2=1，Rt△AEC中，∠EAC=60°，∴∠ECA=30°，∴AC=2AE=2，∴C（4，0），等边△OAB中，过B作BH⊥x轴于H，∴BH= =，∴B（1，），设y1的解析式为：y=ax（x﹣4），把B（1，）代入得： =a（1﹣4），a=﹣，∴设y1的解析式为：y1=﹣x（x﹣4）=，过E作EG⊥x轴于G，Rt△AGE中，AE=1，∴AG=AE=，EG==，∴E（，），设直线AE的解析式为：y=kx+b，把A（2，0）和E（，）代入得：，解得：，∴直线AE的解析式为：，则，解得：，，∴P（3，）或（﹣2，）； （3）如图3，y1==，顶点（2，），∴抛物线y2的顶点为（2，﹣），∴y2=，当m=0时，与图形M两公共点，当y2与l相切时，即有一个公共点，l与图形M有3个公共点，则：，，x2﹣7x﹣3m=0，△=（﹣7）2﹣4×1×（﹣3m）≥0，m≥﹣，∴当l与M的公共点为3个时，m的取值是：﹣≤m＜0． 考点：1．二次函数综合题；2．翻折变换（折叠问题）；3．动点型；4．存在型；5．分类讨论；6．压轴题． 6．（2017临沂）如图，抛物线经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB． （1）求抛物线的解析式； （2）点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标； （3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）D1（0，1），D2（0，﹣1）；（3）存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，M（4，5）或（﹣2，5）或（0，﹣3）． 【解析】 （3）设M（a，），N（1，n），①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图2，过M作ME⊥对称轴y于E，AF⊥x轴于F，于是得到△ABF≌△NME，证得NE=AF=3，ME=BF=3，得到M（4，5）或（﹣2，11）；②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，则N在x轴上，M与C重合，于是得到结论． 试题解析：（1）由得C（0．﹣3），∴OC=3，∵OC=3OB，∴OB=1，∴B（﹣1，0），把A（2，﹣3），B（﹣1，0）代入得：，∴，∴抛物线的解析式为； （2）设连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，∵A（2，﹣3），C（0，﹣3），∴AF∥x轴，∴F（﹣1，﹣3），∴BF=3，AF=3，∴∠BAC=45°，设D（0，m），则OD=|m|，∵∠BDO=∠BAC，∴∠BDO=45°，∴OD=OB=1，∴|m|=1，∴m=±1，∴D1（0，1），D2（0，﹣1）； （3）设M（a，），N（1，n），①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图2，过M作ME⊥对称轴y于E，AF⊥x轴于F，则△ABF≌△NME，∴NE=AF=3，ME=BF=3，∴|a﹣1|=3，∴a=3或a=﹣2，∴M（4，5）或（﹣2，5）； ②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，则N在x轴上，M与C重合，∴M（0，﹣3），综上所述，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，M（4，5）或（﹣2，5）或（0，﹣3）． 考点：1．二次函数综合题；2．存在型；3．分类讨论；4．压轴题． 7．（2017济宁）定义：点P是△ABC内部或边上的点（顶点除外），在△PAB，△PBC，△PCA中，若至少有一个三角形与△ABC相似，则称点P是△ABC的自相似点． 例如：如图1，点P在△ABC的内部，∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，则△BCP∽△ABC，故点P是△ABC的自相似点． 请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题： 在平面直角坐标系中，点M是曲线（x＞0）上的任意一点，点N是x轴正半轴上的任意一点． （1）如图2，点P是OM上一点，∠ONP=∠M，试说明点P是△MON的自相似点；当点M的坐标是（，3），点N的坐标是（，0）时，求点P的坐标； （2）如图3，当点M的坐标是（3，），点N的坐标是（2，0）时，求△MON的自相似点的坐标； （3）是否存在点M和点N，使△MON无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）P（，）；（2）（1，）或（2，）；（3）存在， M（，3），N（，0）． 【解析】 （2）作ME⊥x轴于H，由勾股定理求出OM=，直线OM的解析式为y=x，ON=2，∠MOH=30°，分两种情况：①作PQ⊥x轴于Q，由相似点的性质得出PO=PN，OQ=ON=1，求出P的纵坐标即可； ②求出MN==2，由相似三角形的性质得出，求出PN=，在求出P的横坐标即可； （3）证出OM=2=ON，∠MON=60°，得出△MON是等边三角形，由点P在△ABC的内部，得出∠PBC≠∠A，∠PCB≠∠ABC，即可得出结论． 试题解析：（1）∵∠ONP=∠M，∠NOP=∠MON，∴△NOP∽△MON，∴点P是△MON的自相似点； 过P作PD⊥x轴于D，则tan∠POD= =，∴∠AON=60°，∵当点M的坐标是（，3），点N的坐标是（，0），∴∠MNO=90°，∵△NOP∽△MON，∴∠NPO=∠MNO=90°，在Rt△OPN中，OP=ONcos60°=，∴OD=OPcos60°=×=，PD=OP•sin60°=×=，∴P（，）； （2）作ME⊥x轴于H，如图3所示： ∵点M的坐标是（3，），点N的坐标是（2，0），∴OM= =，直线OM的解析式为y=x，ON=2，∠MOH=30°，分两种情况：学科#网 ①如图3所示：∵P是△MON的相似点，∴△PON∽△NOM，作PQ⊥x轴于Q，∴PO=PN，OQ=ON=1，∵P的横坐标为1，∴y=×1=，∴P（1，）； ②如图4所示： 由勾股定理得：MN==2，∵P是△MON的相似点，∴△PNM∽△NOM，∴，即，解得：PN=，即P的纵坐标为，代入y=x得： =x ，解得：x=2，∴P（2，）； 综上所述：△MON的自相似点的坐标为（1，）或（2，）； （3）存在点M和点N，使△MON无自相似点，M（，3），N（，0）；理由如下： ∵M（，3），N（，0），∴OM==ON，∠MON=60°，∴△MON是等边三角形，∵点P在△ABC的内部，∴∠PBC≠∠A，∠PCB≠∠ABC，∴存在点M和点N，使△MON无自相似点． 考点：1．反比例函数综合题；2．阅读型；3．新定义；4．存在型；5．分类讨论；6．压轴题． 8．（2017山东省潍坊市）如图1，抛物线经过平行四边形ABCD的顶点A（0，3）、B（﹣1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E．经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，与抛物线交于另一点F．点P在直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t． （1）求抛物线的解析式； （2）当t何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根； （3）是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）t=时，△PEF的面积最大，最大值的立方根为；（3）t的值为1或． 【解析】 （3）由题意可知有∠PAE=90°或∠APE=90°两种情况，当∠PAE=90°时，作PG⊥y轴，利用等腰直角三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；当∠APE=90°时，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，则可证得△PKE∽△AQP，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值． 试题解析： （1）由题意可得：，解得：，∴抛物线解析式为； （2）∵A（0，3），D（2，3），∴BC=AD=2，∵B（﹣1，0），∴C（1，0），∴线段AC的中点为（，），∵直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，∴直线l过平行四边形的对称中心，∵A、D关于对称轴对称，∴抛物线对称轴为x=1，∴E（3，0），设直线l的解析式为y=kx+m，把E点和对称中心坐标代入可得：，解得：，∴直线l的解析式为，联立直线l和抛物线解析式可得：，解得：或，∴F（，），如图1，作PH⊥x轴，交l于点M，作FN⊥PH，∵P点横坐标为t，∴P（t，），M（t，），∴PM=﹣（）=，∴S△PEF=S△PFM+S△PEM=PM•FN+PM•EH=PM•（FN+EH）=（）（3+）=，∴当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为，∴最大值的立方根为 =； （3）由图可知∠PEA≠90°，∴只能有∠PAE=90°或∠APE=90°： ①当∠PAE=90°时，如图2，作PG⊥y轴，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA=45°，∴∠PAG=∠APG=45°，∴PG=AG，∴t=﹣t2+2t+3﹣3，即﹣t2+t=0，解得t=1或t=0（舍去）； ②当∠APE=90°时，如图3，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，则PK=﹣t2+2t+3，AQ=t，KE=3﹣t，PQ=﹣t2+2t+3﹣3=﹣t2+2t，∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90°，∴∠PAQ=∠KPE，且∠PKE=∠PQA，∴△PKE∽△AQP，∴，即，即t2﹣t﹣1=0，解得t=或t=＜﹣（舍去）． 综上可知存在满足条件的点P，t的值为1或． 考点：1．二次函数综合题；2．动点型；3．最值问题；4．存在型；5．分类讨论；6．压轴题． 9．（2017山东省烟台市）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值； （3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）l=，l的最大值为；（3）M的坐标为（2，﹣）或（﹣4，﹣）或（﹣2，2）． 【解析】 （3）分AC为边和AC为对角线，当AC为边时，过M作对称轴的垂线，垂足为F，则可证得△MFN≌△AOC，可求得M到对称轴的距离，从而可求得M点的横坐标，可求得M点的坐标；当AC为对角线时，设AC的中点为K，可求得K的横坐标，从而可求得M的横坐标，代入抛物线解析式可求得M点坐标． 试题解析：（1）∵矩形OBDC的边CD=1，∴OB=1，∵AB=4，∴OA=3，∴A（﹣3，0），B（1，0），把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得：，解得：，∴抛物线解析式为； （2）在中，令y=2可得2=，解得x=0或x=﹣2，∴E（﹣2，2），∴直线OE解析式为y=﹣x，由题意可得P（m，），∵PG∥y轴，∴G（m，﹣m），∵P在直线OE的上方，∴PG=﹣（﹣m）==，∵直线OE解析式为y=﹣x，∴∠PGH=∠COE=45°，∴l=PG= []=，∴当m=时，l有最大值，最大值为； （3）①当AC为平行四边形的边时，则有MN∥AC，且MN=AC，如图，过M作对称轴的垂线，垂足为F，设AC交对称轴于点L，则∠ALF=∠ACO=∠FNM，在△MFN和△AOC中，∵∠MFN=∠AOC，∠FNM=∠ACO，MN=AC，∴△MFN≌△AOC（AAS），∴MF=AO=3，∴点M到对称轴的距离为3，又，∴抛物线对称轴为x=﹣1，设M点坐标为（x，y），则|x+1|=3，解得x=2或x=﹣4，当x=2时，y=﹣，当x=﹣4时，y=，∴M点坐标为（2，﹣）或（﹣4，﹣）； ②当AC为对角线时，设AC的中点为K，∵A（﹣3，0），C（0，2），∴K（﹣，1），∵点N在对称轴上，∴点N的横坐标为﹣1，设M点横坐标为x，∴x+（﹣1）=2×（﹣）=﹣3，解得x=﹣2，此时y=2，∴M（﹣2，2）； 综上可知点M的坐标为（2，﹣）或（﹣4，﹣）或（﹣2，2）． 考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．存在型；5．分类讨论；6．动点型；7．压轴题． 10．（2017山东省青岛市）已知：Rt△EFP和矩形ABCD如图①摆放（点P与点B重合），点F，B（P），C在同一直线上，AB=EF=6cm，BC=FP=8cm，∠EFP=90°，如图②，△EFP从图①的位置出发，沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s，EP与AB交于点G；同时，点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s．过点Q作QM⊥BD，垂足为H，交AD于点M，连接AF，FQ，当点Q停止运动时，△EFQ也停止运动．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题： （1）当t为何值时，PQ∥BD？ （2）设五边形AFPQM的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． （4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点M在线段PG的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）y（0＜t＜6）；（3）t=2s；（4）t=s． 【解析】 （4）如图3中，连接MG、MP，作MK⊥BC于K．理由勾股定理，根据MG=MP，列出方程即可解决问题； 试题解析：（1）如图1中，当PQ∥BD时，，∴，∴，∴s时，PQ∥BD． （2）如图2中，当0＜t＜6时，y=S五边形AFPQM=S梯形AFCD﹣S△DMQ﹣S△PQC =（8+8﹣t+8）•6﹣•（6﹣t）•（6﹣t）﹣•（8﹣t）•t （0＜t＜6）． （3）如图2中，假设存在，则有（）：48=9：8，解得t=2或18（舍弃），∴t=2s时，S五边形AFPQM：S矩形ABCD=9：8． （4）存在．理由：如图3中，连接MG、MP，作MK⊥BC于K． 易知：AG=6﹣t．DQ=6﹣t，DM=KC=（6﹣t），PK=8﹣t﹣（6﹣t），MK=CD=6，∵点M在PG的垂直平分线上，∴MG=MP，∴AG2+AM2=PK2+MK2，∴（6﹣t）2+[8﹣（6﹣t）]2=62+[8﹣t﹣（6﹣t）]2，解得t=或0（舍弃），∴t=s时，点M在线段PG的垂直平分线上． 考点：1．四边形综合题；2．动点型；3．存在型；4．压轴题． 11．（2017广东省深圳市）如图，抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C； （1）求抛物线的解析式（用一般式表示）； （2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使？若存在请直接给出点D坐标；若不存在，请说明理由； （3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长． 【答案】（1）；（2）D坐标为（1，3）或（2，3）或（5，﹣3）；（3）． 【解析】 试题解析： （1）∵抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），∴，解得：，∴抛物线解析式为； （2）由题意可知C（0，2），A（﹣1，0），B（4，0），∴AB=5，OC=2，∴S△ABC=AB•OC=×5×2=5，∵，∴S△ABD=×5=，设D（x，y），∴AB•|y|=×5|y|=，解得|y|=3，当y=3时，由=3，解得x=1或x=2，此时D点坐标为（1，3）或（2，3）； 当y=﹣3时，由=﹣3，解得x=﹣2（舍去）或x=5，此时D点坐标为（5，﹣3）； 综上可知存在满足条件的点D，其坐标为（1，3）或（2，3）或（5，﹣3）； （3）∵AO=1，OC=2，OB=4，AB=5，∴AC= =，BC==，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，即BC⊥AC，如图，设直线AC与直线BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，由题意可知∠FBC=45°，∴∠CFB=45°，∴CF=BC=，∴，即，解得OM=2，，即，解得FM=6，∴F（2，6），且B（4，0），设直线BE解析式为y=kx+m，则可得：，解得：，∴直线BE解析式为y=﹣3x+12，联立直线BE和抛物线解析式可得：，解得：或，∴E（5，﹣3），∴BE= =． 考点：1．二次函数综合题；2．存在型；3．分类讨论；4．旋转的性质；5．压轴题． 12．（2017新疆）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C． （1）试求A，B，C的坐标； （2）将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD． ①求点D的坐标； ②判断四边形ADBC的形状，并说明理由； （3）在该抛物线对称轴上是否存在点P，使△BMP与△BAD相似？若存在，请直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）；（2）①D（3，﹣2）；②矩形；（3）点P的坐标为：（1.5，1.25），（1.5，﹣1.25），（1.5，5），（1.5，﹣5）． 【解析】 试题解析：（1）当y=0时，，解得：x1=﹣1，x2=4，则A（﹣1，0），B（4，0），当x=0时，y=2，故C（0，2）； （2）①过点D作DE⊥x轴于点E，∵将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD，∴DE=2，AO=BE=1，OM=ME=1.5，∴D（3，﹣2）； ②∵将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD，∴AC=BD，AD=BC，∴四边形ADBC是平行四边形，∵AC= =，BC==，AB=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ACB是直角三角形，∴∠ACB=90°，∴四边形ADBC是矩形； （3）由题意可得：BD=，AD=，则=，当△BMP∽△ADB时，==，可得：BM=2.5，则PM=1.25，故P（1.5，1.25），当△BMP1∽△ABD时，P1（1.5，﹣1.25），当△BMP2∽△BDA时，可得：P2（1.5，5），当△BMP3∽△BDA时，可得：P3（1.5，﹣5）． 综上所述：点P的坐标为：（1.5，1.25），（1.5，﹣1.25），（1.5，5），（1.5，﹣5）． 考点：1．二次函数综合题；2．探究型；3．存在型；4．分类讨论；5．压轴题． 13．（2017江苏省盐城市）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点D为直线AC上方抛物线上一动点； ①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为，△BCE的面积为，求的最大值； ②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①；②﹣2或． 【解析】 ②根据勾股定理的逆定理得到△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，求得P（，0），得到PA=PC=PB=，过作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延线于G，情况一：如图，∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，情况二，∠FDC=2∠BAC，解直角三角形即可得到结论． 试题解析：（1）根据题意得A（﹣4，0），C（0，2），∵抛物线经过A、C两点，∴，∴，∴； （2）①如图，令y=0，∴，∴x1=﹣4，x2=1，∴B（1，0），过D作DM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴交于AC于N，∴DM∥BN，∴△DME∽△BNE，∴ ==，设D（a， ），∴M（a，），∵B（1.0），∴N（1，），∴===；∴当a=-2时，的最大值是； ②∵A（﹣4，0），B（1，0），C（0，2），∴AC=，BC=，AB=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，∴P（，0），∴PA=PC=PB=，∴∠CPO=2∠BAC，∴tan∠CPO=tan（2∠BAC）=，过作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G．分两种情况： 情况一：如图，∴∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，∴∠CDG=∠BAC，∴tan∠CDG=tan∠BAC=，即，令D（a，），∴DR=﹣a，RC=，∴，∴a1=0（舍去），a2=﹣2，∴xD=﹣2． 情况二，∴∠FDC=2∠BAC，∴tan∠FDC=，设FC=4k，∴DF=3k，DC=5k，∵tan∠DGC==，∴FG=6k，∴CG=2k，DG=k，∴ ∴RC=k，RG=k，DR=k﹣k=k，∴，∴a1=0（舍去），a2=． 综上所述：点D的横坐标为﹣2或． 考点：1．二次函数综合题；2．动点型；3．最值问题；4．存在型；5．分类讨论；6．压轴题． 14．（2017江苏省苏州市）如图，二次函数的图象与x轴交于 A．B两点，与y轴交于点C，OB=OC．点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD=2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点． （1）求b、c的值； （2）如图①，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标； （3）如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由． 【答案】（1）b=-2， c=﹣3；（2）F（0，﹣2）；（3）Q（， ）或（，）． 【解析】 （3）设点P坐标为（n，0），可表示出PA、PB、PN的长，作QR⊥PN，垂足为R，则可求得QR的长，用n可表示出Q、R、N的坐标，在Rt△QRN中，由勾股定理可得到关于n的二次函数，利用二次函数的性质可知其取得最小值时n的值，则可求得Q点的坐标． 试题解析：（1）∵CD∥x轴，CD=2，∴抛物线对称轴为x=1，∴=1，b=-2． ∵OB=OC，C（0，c），∴B点的坐标为（﹣c，0），∴0=c2+2c+c，解得c=﹣3或c=0（舍去），∴c=﹣3； （2）设点F的坐标为（0，m）．∵对称轴为直线x=1，∴点F关于直线l的对称点F的坐标为（2，m）． 由（1）可知