专题15 二次函数的应用-2年中考1年模拟备战2018年中考数学精品系列（解析版）.doc

备战2018中考系列：数学2年中考1年模拟 第三篇 函数 专题15 二次函数的应用 ☞解读考点 知　识　点 名师点晴 二次函数的应用[来源:学|科|网][来源:Zxxk.Com] 1．实际背景下二次函数的关系[来源:Z.xx.k.Com] 会运用二次函数的性质求函数的最大值或最小值来解决最优化问题．[来源:学+科+网Z+X+X+K][来源:学_科_网Z_X_X_K] 2．将实际问题转化为数学中二次函数问题 会根据具体情景，建立适当的平面直角坐标系． 3．利用二次函数来解决实际问题的基本思路 （1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展． ☞2年中考 【2017年题组】 一、选择题 1．（2017湖北省荆州市）规定：如果关于x的一元二次方程（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．现有下列结论： ①方程是倍根方程； ②若关于x的方程是倍根方程，则a=±3； ③若关于x的方程（a≠0）是倍根方程，则抛物线与x轴的公共点的坐标是（2，0）和（4，0）； ④若点（m，n）在反比例函数的图象上，则关于x的方程是倍根方程． 上述结论中正确的有（　　） A．①②　　　　　　B．③④　　　　　　C．②③　　　　　　D．②④ 【答案】C． 【解析】 ③关于x的方程（a≠0）是倍根方程，∴x2=2x1，∵抛物线的对称轴是直线x=3，∴抛物线与x轴的交点的坐标是（2，0）和（4，0），故③正确； ④∵点（m，n）在反比例函数的图象上，∴mn=4，解得x1=﹣，x2=﹣，∴x2=4x1，∴关于x的方程不是倍根方程； 故选C． 考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．根的判别式；3．根与系数的关系；4．抛物线与x轴的交点；5．综合题． 二、填空题 2．（2017湖南省常德市）如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上．若设AE=x，正方形EFGH的面积为y，则y与x的函数关系为 ． 【答案】（0＜x＜2）． 【解析】 试题分析：如图所示，∵四边形ABCD是边长为1的正方形，∴∠A=∠B=90°，AB=2，∴∠1+∠2=90°，∵四边形EFGH为正方形，∴∠HEF=90°，EH=EF，∴∠1+∠3=90°，∴∠2=∠3，在△AHE与△BEF中，∵∠A=∠B，∠2=∠3，EH=FE，∴△AHE≌△BEF（AAS），∴AE=BF=x，AH=BE=2﹣x，在Rt△AHE中，由勾股定理得：EH2=AE2+AH2=x2+（2﹣x）2=2x2﹣4x+4；即（0＜x＜2），故答案为：（0＜x＜2）． 考点：1．根据实际问题列二次函数关系式；2．正方形的性质．学科！网 3．（2017湖南省永州市）一小球从距地面1m高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下． （1）小球第3次着地时，经过的总路程为 m； （2）小球第n次着地时，经过的总路程为 m． 【答案】（1）2.5；（2）． 【解析】 考点：1．二次函数的应用；2．规律型． 4．（2017浙江省温州市）小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E，则点E到洗手盆内侧的距离EH为 cm． 【答案】． 【解析】 B（12，24）代入抛物线，可得： ，解得：，∴抛物线为，又∵点E的纵坐标为10.2，∴令y=10.2，则，解得x1=，x2=（舍去），∴点E的横坐标为，又∵ON=30，∴EH=30﹣（）=．故答案为：． 考点：1．二次函数的应用；2．代数几何综合题；3．综合题． 三、解答题 5．（2017湖北省荆州市）荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系为： ，日销售量y（千克）与时间第t（天）之间的函数关系如图所示： （1）求日销售量y与时间t的函数关系式？ （2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？ （3）该养殖户有多少天日销售利润不低于2400元？ （4）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠m（m＜7）元给村里的特困户．在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围． 【答案】（1）y=﹣2t+200（1≤x≤80，t为整数）；（2）第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元；（3）21天；（4）5≤m＜7． 【解析】 试题分析：（1）根据函数图象，利用待定系数法求解可得； 试题解析：（1）设解析式为y=kt+b，将（1，198）、（80，40）代入，得：，解得：，∴y=﹣2t+200（1≤x≤80，t为整数）； （2）设日销售利润为w，则w=（p﹣6）y，①当1≤t≤40时，w=（t+16﹣6）（﹣2t+200）=﹣（t﹣30）2+2450，∴当t=30时，w最大=2450； ②当41≤t≤80时，w=（﹣t+46﹣6）（﹣2t+200）=（t﹣90）2﹣100，∴当t=41时，w最大=2301，∵2450＞2301，∴第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元． （3）由（2）得：当1≤t≤40时，w=﹣（t﹣30）2+2450，令w=2400，即﹣（t﹣30）2+2450=2400，解得：t1=20、t2=40，由函数w=﹣（t﹣30）2+2450图象可知，当20≤t≤40时，日销售利润不低于2400元，而当41≤t≤80时，w最大=2301＜2400，∴t的取值范围是20≤t≤40，∴共有21天符合条件． （4）设日销售利润为w，根据题意，得：学科&网 w=（t+16﹣6﹣m）（﹣2t+200）=﹣t2+（30+2m）t+2000﹣200m，其函数图象的对称轴为t=2m+30，∵w随t的增大而增大，且1≤t≤40，∴由二次函数的图象及其性质可知2m+30≥40，解得：m≥5，又m＜7，∴5≤m＜7． 考点：1．二次函数的应用；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．分段函数；5．分类讨论；6．综合题． 6．（2017湖北省荆门市）我市雷雷服饰有限公司生产了一款夏季服装，通过实体商店和网上商店两种途径进行销售，销售一段时间后，该公司对这种商品的销售情况，进行了为期30天的跟踪调查，其中实体商店的日销售量y1（百件）与时间t（t为整数，单位：天）的部分对应值如下表所示，网上商店的日销售量y2（百件）与时间t（t为整数，单位：天）的部分对应值如图所示． （1）请你在一次函数、二次函数和反比例函数中，选择合适的函数能反映y1与t的变化规律，并求出y1与t的函数关系式及自变量t的取值范围； （2）求y2与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； （3）在跟踪调查的30天中，设实体商店和网上商店的日销售总量为y（百件），求y与t的函数关系式；当t为何值时，日销售总量y达到最大，并求出此时的最大值． 【答案】（1）（0≤t≤30，且为整数）；（2）；（3），当t=17或18时，y最大=91.2百件． 【解析】 最大=80；当10＜t≤30时，得到y最大=91.2，于是得到结论． 试题解析：解（1）根据观察可设，将（0，0），（5，25），（10，40）代入得：，解得：，∴y1与t的函数关系式为：（0≤t≤30，且为整数）； （2）当0≤t≤10时，设y2=kt，∵（10，40）在其图象上，∴10k=40，∴k=4，∴y2与t的函数关系式为：y2=4t，当10≤t≤30时，设y2=mt+n，将（10，40），（30，60）代入得：，解得：，∴y2与t的函数关系式为：y2=t+30，综上所述， ； （3）依题意得y=y1+y2，当0≤t≤10时，y===（t﹣25）2+125，∴t=10时，y最大=80； 当10＜t≤30时，y=t2+6t+t+30==，∵t为整数，∴t=17或18时，y最大=91.2，∵91.2＞80，∴当t=17或18时，y最大=91.2（百件）． 综上所述：，当t=17或18时，y最大=91.2百件． 考点：1．二次函数的应用；2．分段函数；3．二次函数的最值；4．最值问题． 7．（2017湖北省随州市）某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种水果每次降价的百分率； （2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜15）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？ （3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？ 【答案】（1）10%；（2），第10天时销售利润最大；（3）0.5． 【解析】 （3）设第15天在第14天的价格基础上最多可降a元，根据第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，列不等式可得结论． 试题解析：（1）设该种水果每次降价的百分率是x，10（1﹣x）2=8.1，x=10%或x=190%（舍去）． 答：该种水果每次降价的百分率是10%； （2）当1≤x＜9时，第1次降价后的价格：10×（1﹣10%）=9，∴y=（9﹣4.1）（80﹣3x）﹣（40+3x）=﹣17.7x+352，∵﹣17.7＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x=1时，y有最大值，y大=﹣17.7×1+352=334.3（元）； 当9≤x＜15时，第2次降价后的价格：8.1元，∴y=（8.1﹣4.1）（120﹣x）﹣（3x2﹣64x+400）=﹣3x2+60x+80=﹣3（x﹣10）2+380，∵﹣3＜0，∴当9≤x≤10时，y随x的增大而增大，当10＜x＜15时，y随x的增大而减小，∴当x=10时，y有最大值，y大=380（元）． 综上所述，y与x（1≤x＜15）之间的函数关系式为：，第10天时销售利润最大； （3）设第15天在第14天的价格基础上最多可降a元，由题意得：380﹣127.5≤（4﹣a）（120﹣15）﹣（3×152﹣64×15+400），252．5≤105（4﹣a）﹣115，a≤0.5． 答：第15天在第14天的价格基础上最多可降0.5元． 考点：1．二次函数的应用；2．一元二次方程的应用；3．二次函数的最值；4．最值问题；5．分段函数；6．分类讨论；7．综合题． 8．（2017湖北省襄阳市）为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为1000m2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为x（m2），种草所需费用（元）与x（m2）的函数关系式为，其图象如图所示：栽花所需费用（元）与x（m2）的函数关系式为（0≤x≤1000）． （1）请直接写出、和b的值； （2）设这块1000m2空地的绿化总费用为W（元），请利用W与x的函数关系式，求出绿化总费用W的最大值； （3）若种草部分的面积不少于700m2，栽花部分的面积不少于100m2，请求出绿化总费用W的最小值． 【答案】（1），，b=6000；（2）32500；（3）27900． 【解析】 （3）根据种草部分的面积不少于700m2，栽花部分的面积不少于100m2求得x的范围，依据二次函数的性质可得． 试题解析：（1）将x=600、y=18000代入 ，得：18000=600，解得：； 将x=600、y=18000和x=1000、y=26000代入，得：，解得：，b=6000； （2）当0≤x＜600时，W=30x+（﹣0.01x2﹣20x+30000）=﹣0.01x2+10x+30000，∵﹣0.01＜0，W=﹣0.01（x﹣500）2+32500，∴当x=500时，W取得最大值为32500元； 当600≤x≤1000时，W=20x+6000+（﹣0.01x2﹣20x+30000）=﹣0.01x2+36000，∵﹣0.01＜0，∴当600≤x≤1000时，W随x的增大而减小，∴当x=600时，W取最大值为32400，∵32400＜32500，∴W取最大值为32500元； （3）由题意得：1000﹣x≥100，解得：x≤900，由x≥700，则700≤x≤900，∵当700≤x≤900时，W随x的增大而减小，∴当x=900时，W取得最小值27900元． 考点：1．二次函数的应用；2．最值问题；3．二次函数的最值；4．分段函数；5．综合题． 9．（2017湖北省黄石市）小明同学在一次社会实践活动中，通过对某种蔬菜在1月份至7月份的市场行情进行统计分析后得出如下规律： ①该蔬菜的销售价P（单位：元/千克）与时间x（单位：月份）满足关系：P=9﹣x； ②该蔬菜的平均成本y（单位：元/千克）与时间x（单位：月份）满足二次函数关系，已知4月份的平均成本为2元/千克，6月份的平均成本为1元/千克． （1）求该二次函数的解析式； （2）请运用小明统计的结论，求出该蔬菜在第几月份的平均利润L（单位：元/千克）最大？最大平均利润是多少？（注：平均利润=销售价﹣平均成本） 【答案】（1）；（2）4月份的平均利润L最大，最大平均利润是3元/千克． 【解析】 试题解析：（1）将x=4、y=2和x=6、y=1代入，得：，解得：，∴ ； （2）根据题意，知L=P﹣y=9﹣x﹣（）=，∴当x=4时，L取得最大值，最大值为3． 答：4月份的平均利润L最大，最大平均利润是3元/千克． 考点：1．二次函数的应用；2．最值问题；3．二次函数的最值． 10．（2017辽宁省锦州市）为解决消费者停车难的问题，某商场新建一小型轿车停车场，经测算，此停车场每天需固定支出的费用（包括设施维修费、管理人员工资等）为600元，为制定合理的收费标准，该商场对每天轿车停放辆次（每辆轿车每停放一次简称为“辆次”）与每辆轿车的收费情况进行调查，发现每辆次轿车的停车费定价不超过10元时，每天来此停放的轿车都为300辆次；若每辆次轿车的停车费定价超过10元，则每超过1元，每天来此停放的轿车就减少12辆次，设每辆次轿车的停车费x元（为便于结算，停车费x只取整数），此停车场的日净收入为y元（日净收入=每天共收停车费﹣每天固定的支出）回答下列问题： （1）①当x≤10时，y与x的关系式为： ； ②当x＞10时，y与x的关系式为： ； （2）停车场能否实现3000元的日净收入？如能实现，求出每辆次轿车的停车费定价，如不能实现，请说明理由； （3）该商场要求此停车场既要吸引顾客，使每天轿车停放的辆次较多，又要有最大的日净收入，按此要求，每辆次轿车的停车费定价应定为多少元？此时最大日净收入是多少元？ 【答案】（1）①y=300x﹣600；②y=﹣12x2+420x﹣600；（2）停车场能实现3000元的日净收入，每辆次轿车的停车费定价是15元或20元；（3）每辆次轿车的停车费定价应定为17元，此时最大日净收入是3072元． 【解析】 试题解析：（1）①由题意得：y=300x﹣600； ②由题意得：y=[300﹣12（x﹣10）]x﹣600，即y=﹣12x2+420x﹣600； （2）依题意有：﹣12x2+420x﹣600=3000，解得x1=15，x2=20． 故停车场能实现3000元的日净收入，每辆次轿车的停车费定价是15元或20元； （3）当x≤10时，停车300辆次，最大日净收入y=300×10﹣600=2400（元） 当x＞10时，y=﹣12x2+420x﹣600=﹣12（x2﹣35x）﹣600=﹣12（x﹣17.5）2+3075 ∴当x=17.5时，y有最大值．但x只能取整数，∴x取17或18． 显然，x取17时，小车停放辆次较多，此时最大日净收入为y=﹣12×0.25+3075=3072（元）． 由上可得，每辆次轿车的停车费定价应定为17元，此时最大日净收入是3072元．学科*网 考点：1．二次函数的应用；2．一元二次方程的应用；3．二次函数的最值；4．最值问题；5．分段函数． 11．（2017山东省潍坊市）工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计） （1）在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？ （2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？ 【答案】（1）裁掉的正方形的边长为2dm；（2）当裁掉边长为2.5dm的正方形时，总费用最低，最低费用为25元． 【解析】 试题解析： （1）如图所示： 设裁掉的正方形的边长为xdm，由题意可得（10﹣2x）（6﹣2x）=12，即x2﹣8x+12=0，解得x=2或x=6（舍去）． 答：裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2； （2）∵长不大于宽的五倍，∴10﹣2x≤5（6﹣2x），解得0＜x≤2.5，设总费用为w元，由题意可知 w=0.5×2x（16﹣4x）+2（10﹣2x）（6﹣2x）=4x2﹣48x+120=4（x﹣6）2﹣24，∵对称轴为x=6，开口向上，∴当0＜x≤2.5时，w随x的增大而减小，∴当x=2.5时，w有最小值，最小值为25元． 答：当裁掉边长为2.5dm的正方形时，总费用最低，最低费用为25元． 考点：1．二次函数的应用；2．一元二次方程的应用；3．二次函数的最值；4．最值问题；5．操作型． 12．（2017内蒙古包头市）某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元．设矩形一边长为x，面积为S平方米． （1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）设计费能达到24000元吗？为什么？ （3）当x是多少米时，设计费最多？最多是多少元？ 【答案】（1）（0＜x＜8）；（2）能；（3）当x=4米时，矩形的最大面积为16平方米，设计费最多，最多是32000元． 【解析】 试题解析：（1）∵矩形的一边为x米，周长为16米，∴另一边长为（8﹣x）米，∴S=x（8﹣x）=，其中0＜x＜8，即（0＜x＜8）； （2）能，∵设计费能达到24000元，∴当设计费为24000元时，面积为24000÷200=12（平方米），即=12，解得：x=2或x=6，∴设计费能达到24000元． （3）∵=，∴当x=4时，S最大值=16，∴当x=4米时，矩形的最大面积为16平方米，设计费最多，最多是32000元． 考点：1．二次函数的应用；2．一元二次方程的应用；3．二次函数的最值；4．最值问题． 13．（2017四川省达州市）宏兴企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在14天内完成．已知每件产品的出厂价为60元．工人甲第x天生产的产品数量为y件，y与x满足如下关系： ． （1）工人甲第几天生产的产品数量为70件？ （2）设第x天生产的产品成本为P元/件，P与x的函数图象如图．工人甲第x天创造的利润为W元，求W与x的函数关系式，并求出第几天时，利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）工人甲第12天生产的产品数量为70件；（2），第11天时，利润最大，最大利润是845元． 【解析】 试题解析：（1）根据题意，得： ∵若7.5x=70，得：x=＞4，不符合题意； ∴5x+10=70，解得：x=12． 答：工人甲第12天生产的产品数量为70件； （2）由函数图象知，当0≤x≤4时，P=40，当4＜x≤14时，设P=kx+b，将（4，40）、（14，50）代入，得：，解得：，∴P=x+36； ①当0≤x≤4时，W=（60﹣40）•7.5x=150x，∵W随x的增大而增大，∴当x=4时，W最大=600元； ②当4＜x≤14时，W=（60﹣x﹣36）（5x+10）=﹣5x2+110x+240=﹣5（x﹣11）2+845，∴当x=11时，W最大=845，∵845＞600，∴当x=11时，W取得最大值，845元，∴ 答：第11天时，利润最大，最大利润是845元． 考点：1．二次函数的应用；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．分段函数． 14．（2017内蒙古包头市）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）直线y=﹣x+n与该抛物线在第四象限内交于点D，与线段BC交于点E，与x轴交于点F，且BE=4EC． ①求n的值； ②连接AC，CD，线段AC与线段DF交于点G，△AGF与△CGD是否全等？请说明理由； （3）直线y=m（m＞0）与该抛物线的交点为M，N（点M在点N的左侧），点 M关于y轴的对称点为点M'，点H的坐标为（1，0）．若四边形OM'NH的面积为．求点H到OM'的距离d的值． 【答案】（1）；（2）①n=﹣2；②△AGF与△CGD全等；（3）． 【解析】 （2）①过点E作EE'⊥x轴于E'，则EE'∥OC，根据平行线分线段成比例定理，可得BE'=4OE'，设点E的坐标为（x，y），则OE'=x，BE'=4x，根据OB=2，可得x的值，再根据直线BC的解析式即可得到E的坐标，把E的坐标代入直线y=﹣x+n，可得n的值； ②根据F（﹣2，0），A（﹣1，0），可得AF=1，再根据点D的坐标为（1，﹣3），点C的坐标为（0，﹣3），可得CD∥x轴，CD=1，再根据∠AFG=∠CDG，∠FAG=∠DCG，即可判定△AGF≌△CGD； （3）根据轴对称的性质得出OH=1=M'N，进而判定四边形OM'NH是平行四边形，再根据四边形OM'NH的面积，求得OP的长，再根据点M的坐标得到PM'的长，Rt△OPM'中，运用勾股定理可得OM'的值，最后根据OM'×d=，即可得到d的值． 试题解析：（1）∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点，∴，解得：，∴该抛物线的解析式； （2）①如图，过点E作EE'⊥x轴于E'，则EE'∥OC，∴，∵BE=4EC，∴BE'=4OE'，设点E的坐标为（x，y），则OE'=x，BE'=4x，∵B（2，0），∴OB=2，即x+4x=2，∴x=，∵抛物线与y轴交于点C，∴C（0，﹣3），设直线BC的解析式为y=kx+b'，∵B（2，0），C（0，﹣3），∴，解得：，∴直线BC的解析式为，当x=时，y=﹣，∴E（，﹣），把E的坐标代入直线y=﹣x+n，可得﹣+n=﹣，解得n=﹣2； ②△AGF与△CGD全等．理由如下： ∵直线EF的解析式为y=﹣x﹣2，∴当y=0时，x=﹣2，∴F（﹣2，0），OF=2，∵A（﹣1，0），∴OA=1，∴AF=2﹣1=1，由，解得：或，∵点D在第四象限，∴点D的坐标为（1，﹣3），∵点C的坐标为（0，﹣3），∴CD∥x轴，CD=1，∴∠AFG=∠CDG，∠FAG=∠DCG，∴△AGF≌△CGD； （3）∵抛物线的对称轴为x= =，直线y=m（m＞0）与该抛物线的交点为M，N，∴点M、N关于直线x=对称，设N（t，m），则M（1﹣t，m），∵点 M关于y轴的对称点为点M'，∴M'（t﹣1，m），∴点M'在直线y=m上，∴M'N∥x轴，∴M'N=t﹣（t﹣1）=1，∵H（1，0），∴OH=1=M'N，∴四边形OM'NH是平行四边形，设直线y=m与y轴交于点P，∵四边形OM'NH的面积为，∴OH×OP=1×m=，即m=，∴OP=，当=时，解得x1=﹣，x2=，∴点M的坐标为（﹣，），∴M'（，），即PM'=，∴Rt△OPM'中，OM'==，∵四边形OM'NH的面积为，∴OM'×d=，∴d=． 考点：1．二次函数综合题；2．探究型；3．压轴题．学科&网 15．（2017内蒙古呼和浩特市）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴交于点C，其顶点记为M，自变量x=﹣1和x=5对应的函数值相等．若点M在直线l：y=﹣12x+16上，点（3，﹣4）在抛物线上． （1）求该抛物线的解析式； （2）设对称轴右侧x轴上方的图象上任一点为P，在x轴上有一点A（，0），试比较锐角∠PCO与∠ACO的大小（不必证明），并写出相应的P点横坐标x的取值范围． （3）直线l与抛物线另一交点记为B，Q为线段BM上一动点（点Q不与M重合），设Q点坐标为（t，n），过Q作QH⊥x轴于点H，将以点Q，H，O，C为顶点的四边形的面积S表示为t的函数，标出自变量t的取值范围，并求出S可能取得的最大值． 【答案】（1）；（2）当x=时，∠PCO=∠ACO，当＜x＜时，∠PCO＜∠ACO，当＜x＜4时，∠PCO＞∠ACO；（3） ，当t=﹣1时，S最大=18． 【解析】 （3）解方程组得到D（﹣1，28得到Q（t，﹣12t+16）（﹣1≤t＜2），①当﹣1≤t＜0时，②当0＜t＜时，③当≤t＜2时，求得二次函数的解析式即可得到结论． 试题解析：（1）∵自变量x=﹣1和x=5对应的函数值相等，∴抛物线的对称轴为x=2．∵点M在直线l：y=﹣12x+16上，∴yM=﹣8．设抛物线的解析式为．将（3，﹣4）代入得：a﹣8=﹣4，解得：a=4，∴抛物线的解析式为，整理得：． （2）由题意得：C（0，8），M（2，﹣8），如图，当∠PCO=∠ACO时，过P作PH⊥y轴于H，设CP的延长线交x轴于D，则△ACD是等腰三角形，∴OD=OA=，∵P点的横坐标是x，∴P点的纵坐标为4x2﹣16x+8，∵PH∥OD，∴△CHP∽△COD，∴，∴x=，过C作CE∥x轴交抛物线与E，则CE=4，设抛物线与x轴交于F，B，则B（，0），∴对称轴右侧x轴上方的图象上任一点为P，∴当x=时，∠PCO=∠ACO，当＜x＜时，∠PCO＜∠ACO，当＜x＜4时，∠PCO＞∠ACO； （3）解方程组： ，解得：，∴D（﹣1，28），∵Q为线段BM上一动点（点Q不与M重合），∴Q（t，﹣12t+16）（﹣1≤t＜2）；分三种情况讨论： ①当﹣1≤t＜0时，S=（﹣t）（﹣12t+16﹣8）+8（﹣t）=6t2﹣12t=6（t﹣1）2﹣6，∵﹣1≤t＜0，∴当t=﹣1时，S最大=18； ②当0＜t＜时，S=t•8+t（﹣12t+16）=﹣6t2+12t=﹣6（t﹣1）2+6，∵0＜t＜，∴当t=1时，S最大=6； ③当≤t＜2时，S=t•8+（12t﹣16）=6t2﹣4t=6（t﹣）2﹣，∵≤t＜2，∴此时S无最大值． 综上所述： ，当t=﹣1时，S最大=18． 考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．分类讨论；5．动点型；6．压轴题． 16．（2017山东省聊城市）如图，已知抛物线与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（6，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点． （1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标； （2）当点P移动到抛物线的什么位置时，使得∠PAB=75°，求出此时点P的坐标； （3）当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动，在移动中，点P的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动，与此同时点M以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动，点P，M移动到各自终点时停止，当两个移点移动t秒时，求四边形PAMB的面积S关于t的函数表达式，并求t为何值时，S有最大值，最大值是多少？ 【答案】（1），顶点坐标为（2，8）；（2）P点坐标为（，）；（3）S=，当t=4时，S有最大值24． 【解析】 试题解析：（1）根据题意，把A（0，6），B（6，0）代入抛物线解析式可得：，解得：，∴抛物线的表达式为，∵=，∴抛物线的顶点坐标为（2，8）； （2）如图1，过P作PC⊥y轴于点C，∵OA=OB=6，∴∠OAB=45°，∴当∠PAB=75°时，∠PAC=60°，∴tan∠PAC=，即=，设AC=m，则PC=m，∴P（m，6+m），把P点坐标代入抛物线表达式可得6+m=，解得m=0或m=，经检验，P（0，6）与点A重合，不合题意，舍去，∴所求的P点坐标为（，）； （3）当两个支点移动t秒时，则P（t，﹣t2+2t+6），M（0，6﹣t），如图2，作PE⊥x轴于点E，交AB于点F，则EF=EB=6﹣t，∴F（t，6﹣t），∴FP=t2+2t+6﹣（6﹣t）=﹣t2+3t，∵点A到PE的距离竽OE，点B到PE的距离等于BE，∴S△PAB=FP•OE+FP•BE=FP•（OE+BE）=FP•OB=×（﹣t2+3t）×6=﹣t2+9t，且S△AMB=AM•OB=×t×6=3t，∴S=S四边形PAMB=S△PAB+S△AMB==，∴当t=4时，S有最大值，最大值为24． 考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．动点型；5．压轴题． 17．（2017吉林省）《函数的图象与性质》拓展学习片段展示： 【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则a= ． 【操作】将图①中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G，如图②．直接写出图象G对应的函数解析式． 【探究】在图②中，过点B（0，1）作直线l平行于x轴，与图象G的交点从左至右依次为点C，D，E，F，如图③．求图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x增大而增大时x的取值范围． 【应用】P是图③中图象G上一点，其横坐标为m，连接PD，PE．直接写出△PDE的面积不小于1时m的取值范围． 【答案】【问题】：；【操作】：；【探究】：当1＜x＜2或x＞2+时，函数y随x增大而增大；【应用】：m=0或m=4或m≤2﹣或m≥2+． 【解析】 试题分析：【问题】：把（0，0）代入可求得a的值； 【操作】：先写出沿x轴折叠后所得抛物线的解析式，根据图象可得对应取值的解析式； 【探究】：令y=0，分别代入两个抛物线的解析式，分别求出四个点CDEF的坐标，根据图象呈上升趋势的部分，即y随x增大而增大，写出x的取值； 【应用】：先求DE的长，根据三角形面积求高的取值h≥1； 分三部分进行讨论： ①当P在C的左侧或F的右侧部分时，设P[m，]，根据h≥1，列不等式解出即可； ②如图③，作对称轴由最大面积小于1可知：点P不可能在DE的上方； ③P与O或A重合时，符合条件，m=0或m=4． 试题解析：【问题】 ∵抛物线经过原点O，∴，a=，故答案为：； 【操作】：如图①，抛物线：，对称轴是：直线x=2，由对称性得：A（4，0），沿x轴折叠后所得抛物线为：，如图②，图象G对应的函数解析式为：； 【探究】：如图③，由题意得： 当y=1时，=0，解得：x1=2+，x2=2﹣，∴C（2﹣，1），F（2+，1），当y=1时，，解得：x1=3，x2=1，∴D（1，1），E（3，1），由图象得：图象G在直线l上方的部分，当1＜x＜2或x＞2+时，函数y随x增大而增大； 【应用】：∵D（1，1），E（3，1），∴DE=3﹣1=2，∵S△PDE=DE•h≥1，∴h≥1； ①当P在C的左侧或F的右侧部分时，设P[m，]，∴h=﹣1≥1，（m﹣2）2≥10，m﹣2≥或m﹣2≤﹣，m≥2+或m≤2﹣； ②如图③，作对称轴交抛物线G于H，交直线CD于M，交x轴于N，∵H（2，），∴HM=﹣1=＜1，∴当点P不可能在DE的上方； ③∵MN=1，且O（0，0），a（4，0），∴P与O或A重合时，符合条件，∴m=0或m=4； 综上所述，△PDE的面积不小于1时，m的取值范围是：m=0或m=4或m≤2﹣或m≥2+． 考点：1．二次函数综合题；2．翻折变换（折叠问题）；3．分类讨论；4．阅读型；5．压轴题． 18．（2017四川省成都市）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′． （1）求抛物线C的函数表达式； （2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围． （3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）2＜m＜；（3）m=6或m=﹣3． 【解析】 有两个不同的公共点，则有，解不等式组即可解决问题； （3）情形1，四边形PMP′N能成为正方形．作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，推出PF=FM，∠PFM=90°，易证△PFE≌△FMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2﹣m，可得M（m+2，m﹣2），理由待定系数法即可解决问题；情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），利用待定系数法即可解决问题． 试题解析：（1）由题意抛物线的顶点C（0，4），A（，0），设抛物线的解析式为，把A（，0）代入可得a=，∴抛物线C的函数表达式为． （2）由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣4），设抛物线C′的解析式为，由，消去y得到 ，由题意，抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，则有，解得2＜m＜，∴满足条件的m的取值范围为2＜m＜． （3）结论：四边形PMP′N能成为正方形． 理由：1情形1，如图，作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H． 由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，∴PF=FM，∠PFM=90°，易证△PFE≌△FMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2﹣m，∴M（m+2，m﹣2），∵点M在上，∴，解得m=﹣3或﹣﹣3（舍弃），∴m=﹣3时，四边形PMP′N是正方形． 情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），把M（m﹣2，2﹣m）代入中，，解得m=6或0（舍弃），∴m=6时，四边形PMP′N是正方形． 综上所述：m=6或m=﹣3时，四边形PMP′N是正方形． 考点：1．二次函数综合题；2．旋转的性质；3．探究型；4．分类讨论；5．压轴题． 19．（2017四川省眉山市）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知A（3，0），且M（1，）是抛物线上另一点． （1）求a、b的值； （2）连结AC，设点P是y轴上任一点，若以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标； （3）若点N是x轴正半轴上且在抛物线内的一动点（不与O、A重合），过点N作NH∥AC交抛物线的对称轴于H点．设ON=t，△ONH的面积为S，求S与t之间的函数关系式． 【答案】（1） ；（2）P点的坐标1（0，2）或（0，）或（0，）或（0，）；（3）． 【解析】 （3）过H作HG⊥OA于G，设HN交Y轴于M，根据平行线分线段成比例定理得到OM=，求得抛物线的对称轴为直线x= =，