1_8.5　空间角与距离、空间向量及其应用（分层集训）.pptx

高考数学,专题八立体几何8.5空间角与距离、空间向量及其应用,考点一用向量法证明空间中的平行和垂直,1.(2021广东佛山月考,3)直线l,且l的方向向量为(2,m,1),平面的法向量为,则m=()A.-4B.-6C.-8D.8答案C,2.(2022福州一中质检,4)以下四组向量在同一平面的是()A.(1,1,0)、(0,1,1)、(1,0,1)B.(3,0,0)、(1,1,2)、(2,2,4)C.(1,2,3)、(1,3,2)、(2,3,1)D.(1,0,0)、(0,0,2)、(0,3,0)答案B,3.(多选)(2022广东中山一中阶段测试,10)如图,两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直,设M,N分别是AC和AE的中点,那么下列结论正确的是()A.ADMNB.MN平面CDEC.MNCED.MN,CE异面答案ABC,4.(多选)(2021新高考,12,5分)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=1,点P满足=+,其中0,1,0,1,则()A.当=1时,AB1P的周长为定值B.当=1时,三棱锥P-A1BC的体积为定值C.当=时,有且仅有一个点P,使得A1PBPD.当=时,有且仅有一个点P,使得A1B平面AB1P答案BD,5.(2023届南京、镇江学情调查,19)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,侧棱SA底面ABCD,AB垂直于AD和BC,SA=AB=BC=2,AD=1,M是棱SB的中点.(1)求证:AM平面SCD;(2)求平面SCD与平面SAB所成锐二面角的余弦值.,解析因为SA底面ABCD,AB垂直于AD,所以以点A为坐标原点,以向量,的方向分别为x,轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图,则A(0,0,0),C(2,2,0),D(1,0,0),S(0,0,2),M(0,1,1),所以=(0,1,1),=(1,0,-2),=(-1,-2,0).(1)证明:设平面SCD的法向量为n=(x,y,z),则即令z=1,则x=2,y=-1,则n=(2,-1,1).因此n=-1+1=0,从而n,又AM平面SCD,所以AM平面SCD.(2)易知平面SAB的一个法向量为n1=(1,0,0),由(1)知平面SCD的一个法向量为n=(2,-1,1),则cos=,所以平面SCD与平面SAB所成锐二面角,的余弦值为.,6.(2022南京一中期初测试,20)如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PA底面ABCD,PA=AB,点E在棱PD上,且2PE=ED,点F是棱PC上的动点(不含端点).(1)若F是棱PC的中点,求证:PB平面AEF;(2)求PA与平面AEF所成角的正弦值的最大值.,解析因为四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PA底面ABCD,所以AB,AD,AP两两垂直.以A为坐标原点,分别以,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系Axyz,如图所示.不妨设PA=AB=6,则B(6,0,0),P(0,0,6),E(0,2,4),C(6,6,0),D(0,6,0).(1)证明:=(0,2,4),因为F是棱PC的中点,所以F(3,3,3),所以=(3,3,3).设平面AEF的法向量为m=(x,y,z),则由得不妨令y=2,则x=-1,z=-1,所以m=(-1,2,-1),又=(6,0,-6),所以m=-6+0+6=0,即m,又PB平面AEF,所以PB平面AEF.(2)=(6,6,-6),设PA与平面AEF所成的角为,=(6,6,-6),01,则=+=+=(6,6,6-6),设平面AEF的法向量为n=(a,b,c),则由得不妨令b=2,则a=-3,c=-1,所以n=,又=(0,0,6),所以sin=|cos|=,所以当=3,即=时,(sin)max=,故PA与平面AEF所成角的正弦值的最大值为.,7.(2017天津,17,13分)如图,在三棱锥P-ABC中,PA底面ABC,BAC=90.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.(1)求证:MN平面BDE;(2)求二面角C-EM-N的正弦值;(3)已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为,求线段AH的长.,解析如图,以A为原点,分别以,的方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0).,(1)证明:=(0,2,0),=(2,0,-2).设n=(x0,y0,z0)为平面BDE的法向量,则即不妨设z0=1,可得n=(1,0,1).又=(1,2,-1),可得n=0.因为MN平面BDE,所以MN平面BDE.(2)易知n1=(1,0,0)为平面CEM的一个法向量.设n2=(x,y,z)为平面EMN的法向量,则因为=(0,-2,-1),=(1,2,-1),所以不妨设y=1,可得n2=(-4,1,-2).,因此有cos=-,于是sin=.所以二面角C-EM-N的正弦值为.(3)=(-2,2,2).依题意,设AH=h(0h4),则H(0,0,h),进而可得=(-1,-2,h),由已知,得|cos|=,整理得10h2-21h+8=0,解得h=或h=.所以线段AH的长为或.,考点二空间角和空间距离,考向一空间角问题的求解方法,1.(2022湖南娄底双峰一中摸底,8)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1D1的中点,过A1C1且与CD1平行的平面交平面C1CM于直线l,则直线l与AB所成角的余弦值是()A.B.C.D.答案D,2.(2022重庆江津质检,5)如图,二面角的棱上有A、B两点,直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB,已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2,则该二面角的大小为()A.30B.45C.60D.90答案C,3.(多选)(2023届浙江嘉兴基础测试,10)如图,在正四面体ABCD中,E、F分别为AB、CD的中点,则()A.直线EF与AB所成的角为B.直线EF与AD所成的角为C.直线EF与平面BCD所成的角的正弦值为D.直线EF与平面ABD所成的角的正弦值为答案ABC,4.(多选)(2022重庆涪陵高级中学冲刺卷二,12)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PD平面ABCD,点E是棱PC的中点,PD=AB,则()A.ACPBB.直线AE与平面PAB所成角的正弦值是C.异面直线AD与PB所成的角是D.四棱锥P-ABCD的体积与其外接球的体积的比值是答案ABD,5.(2020天津,17,15分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1平面ABC,ACBC,AC=BC=2,CC1=3,点D,E分别在棱AA1和棱CC1上,且AD=1,CE=2,M为棱A1B1的中点.(1)求证:C1MB1D;(2)求二面角B-B1E-D的正弦值;(3)求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值.,解析 以C为原点,分别以,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图),可得C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,3),A1(2,0,3),B1(0,2,3),D(2,0,1),E(0,0,2),M(1,1,3).(1)证明:=(1,1,0),=(2,-2,-2),从而=2-2+0=0,所以C1MB1D.,(2)依题意知,=(2,0,0)是平面BB1E的一个法向量,=(0,2,1),=(2,0,-1).设n=(x,y,z)为平面DB1E的法向量,则即不妨设x=1,可得n=(1,-1,2).因此有cos=,于是sin=.所以二面角B-B1E-D的正弦值为.,(3)=(-2,2,0).由(2)知n=(1,-1,2)为平面DB1E的一个法向量,于是cos=-.所以直线AB与平面DB1E所成角的正弦值为.,考向二利用等体积法、向量法求空间距离,1.(2022湖北七校联合体联考,6)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,ACB=90,侧棱AA1=3,D,E分别是CC1与A1B的中点,点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G,则点A1到平面ABD的距离为()A.B.C.D.2答案A,2.(多选)(2023届重庆南开中学月考,11)在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在棱DC上运动(不与顶点重合),则点B到平面AD1P的距离可以是()A.B.C.2D.答案CD,3.(2022湖南株洲质检,13)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为BB1,CD的中点,则点F到平面A1D1E的距离为.答案,4.(2022新高考,19,12分)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4,A1BC的面积为2.(1)求A到平面A1BC的距离;(2)设D为A1C的中点,AA1=AB,平面A1BC平面ABB1A1,求二面角A-BD-C的正弦值.,解析(1)由题意知=,设A到平面A1BC的距离为h,则=h=h=,解得h=.故A到平面A1BC的距离为.(2)连接AB1,由直棱柱及AA1=AB知四边形ABB1A1为正方形,故AB1A1B,A1B=AA1,又平面A1BC平面ABB1A1,平面A1BC平面ABB1A1=A1B,AB1平面ABB1A1,AB1平面A1BC,又BC平面A1BC,AB1BC,易知BCBB1,AB1,BB1平面ABB1A1,AB1BB1=B1,BC平面ABB1A1,AB,A1B平面ABB1A1,BCAB,BCA1B,=BCABAA1=BCA=4,=BCA1B=BCAA1=2,解得BC=AA1=2.解法一(几何法):过A作AEBD于E,连接CE.易得AC=2,A1C=2.D为A1C的中点,A1AC为直角三角形,A1AC=90,AD=DC=,又AB=BC=2,BD=BD,ABDCBD.CEBD,又AE平面ABD,CE平面CBD,AEC为二面角A-BD-C的平面角.,在直角三角形A1BC中,有BD=A1C=,易得AE=EC=.在AEC中,由余弦定理的推论得cosAEC=-,sinAEC=,即二面角A-BD-C的正弦值为.解法二(向量法):以B为坐标原点,BC,BA,BB1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,2,0),B(0,0,0),C(2,0,0),D(1,1,1),=(0,2,0),=(1,1,1),=(-1,1,1),设平面ABD的法向量为n1=(x1,y1,z1),则即取x1=1,则z1=-1,故n1=(1,0,-1),设平面BDC的法向量为n2=(x2,y2,z2),则即取y2=1,则z2=-1,x2=0,故n2=(0,1,-1),cos=.sin=,二面角A-BD-C的正弦值为.,5.(2022广东茂名检测,18)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形,E,F分别是BC,CC1的中点.(1)求证:平面AEF平面B1BCC1;(2)若EFC=30,求点C到平面AEF的距离.,解析(1)证明:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1平面ABC,又AE平面ABC,AEBB1.ABC为等边三角形,E为BC的中点,AEBC,又BB1BC=B,BB1,BC平面B1BCC1,AE平面B1BCC1,AE平面AEF,平面AEF平面B1BCC1.(2)在RtEFC中,EFC=30,EC=1,EF=2,FC=.设点C到平面AEF的距离为d,由(1)知AE面B1BCC1,则由VA-EFC=VC-AEF,即AEECFC=dAEEF,解得d=.,6.(2022江苏涟水一中测试,18)如图1,AD,BC是等腰梯形CDEF的两条高,AD=AE=CD=2,点M是线段AE的中点,将该等腰梯形沿着两条高AD,BC折叠成如图2所示的四棱锥P-ABCD(E,F重合,记为点P).(1)求证:BMDP;(2)求点M到平面BDP的距离h.图1,图2,解析(1)证明:因为ADEF,所以ADAP,ADAB,又APAB=A,AP,AB平面ABP,所以AD平面ABP.因为BM平面ABP,所以ADBM.由已知得,AB=AP=BP=2,所以ABP是等边三角形,又因为点M是AP的中点,所以BMAP.因为ADAP=A,AD,AP平面ADP,所以BM平面ADP.因为DP平面ADP,所以BMDP.(2)取BP的中点N,连接DN,因为AD平面ABP,AB=AP=AD=2,所以DP=BD=2,所以DNBP.所以在RtDPN中,DN=,所以SDBP=BPDN=2=,因为AD平面ABP,所以VD-BMP=ADSBMP.因为VM-BDP=VD-BMP,所以hSBDP=ADSBMP,又SBMP=SABP=AB2=22=,所以h=,即点M到平面BDP的距离为.,考法一求解直线与平面所成角的方法,考向一用几何法求直线与平面所成的角,1.(多选)(2022新高考,9,5分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,则()A.直线BC1与DA1所成的角为90B.直线BC1与CA1所成的角为90C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45答案ABD,2.(2013山东,4,5分)已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为的正三角形.若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为()A.B.C.D.答案B,3.(2014四川,8,5分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O为线段BD的中点.设点P在线段CC1上,直线OP与平面A1BD所成的角为,则sin 的取值范围是()A.B.C.D.答案B,4.(2022全国甲,理7,文9,5分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30,则()A.AB=2ADB.AB与平面AB1C1D所成的角为30C.AC=CB1D.B1D与平面BB1C1C所成的角为45答案D,5.(2022全国甲理,18,12分)在四棱锥P-ABCD中,PD底面ABCD,CDAB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=.(1)证明:BDPA;(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值.,解析(1)证明:过D作DHAB,垂足为H,则AH=,又AD=1,所以DH=.易知BH=,所以BD=,在ABD中,AD2+BD2=AB2,所以ADBD.因为PD平面ABCD,BD平面ABCD,所以PDBD,又因为PDAD=D,所以BD平面PAD,又PA平面PAD,所以BDPA.,(2)连接PH.设点D到平面PAB的距离为h,由VD-PAB=VP-ABD得SPABh=SABDPD,所以h=.由(1)易知SABD=2=,由PD平面ABCD,AB平面ABCD,DH平面ABCD,得PDAB,PDDH,又ABDH,DHPD=D,所以AB平面PDH,所以ABPH.在RtPDH中,PH=,SPAB=2=,h=.,设直线PD与平面PAB所成的角为,则sin=.故直线PD与平面PAB所成的角的正弦值为.,考向二用向量法求直线与平面所成的角,1.(2022浙江慈溪中学开学考,13)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=1,AB=2,则直线AA1与平面B1CD1所成角的正弦值为.答案,2.(2022天津西青月考,13)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点在侧面BCC1B1(包括边界)上运动,满足APBD1,记直线C1P与平面ACB1所成角为,则sin 的取值范围是.答案,3.(2020新高考,20,12分)如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.(1)证明:l平面PDC;(2)已知PD=AD=1,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.,