带两个形状参数的五次三角Bézier曲线_张丹丹.pdf

带带两两个个形形状状参参数数的的五五次次三三角角 曲曲线线张丹丹（安徽开放大学安庆分校，安徽 安庆）摘 要给出一组带两个形状参数，的五次三角基函数，基于此基函数定义了带两个形状参数的五次三角 曲线得到的新曲线不仅有 曲线的几何特性，而且还可以对曲线造型进行自由的调整，并且分析了形状参数的几何意义，讨论了曲线间的，光滑拼接条件所得曲线能精确地表示椭圆弧和抛物线弧关键词三角 曲线；形状参数；曲线设计；连续中图分类号 文献标志码 文章编号（）引言在计算机辅助几何设计（）中曲线曲面是重要的研究问题其中，曲线、样条曲线因其自身的良好性质在工业设计中被广泛应用但是，曲线形状不能被灵活修改，并且不能精确地表示一些二次曲线虽然非均匀有理 样条（）解决了这些问题，但在实际中应用该方法求积、求导计算过程极其复杂为更好地满足需求，研究者在三角函数空间中找出新的构造方法基于函数空间，生成了著名的 曲线，它具有 曲线类似的几何特性，并能精确地表示圆弧曲线分别定义了带参数的二次、三次三角曲线，能够对曲线的形状进行调整，并能精确地表示二次曲线吴晓勤等分析了带参数的二次三角 曲线，并且讨论了两曲线间的 和 拼接杨联强等研究了带参数的三次三角 曲线，这些曲线能精确地表示椭圆弧和抛物线弧李军成等讨论了带两个形状参数的类三次三角 曲线，给出了曲线间的，光滑拼接条件，当选取适当的形状参数时，曲线段可在连接点达到 拼接喻德生等定义了四次三角 曲线，给出了两曲线间的，连续条件，并讨论了其在实际中的应用本文构造了带两个形状参数，的五次三角 曲线，调整参数，取值，能对曲线的形状进行调控，并给出了两段曲线间的，光滑拼接条件，该曲线能够精确地表示椭圆弧和抛物线弧 基函数定义 当，关于 的函数：，（）（）（），（）（）（），（）（）（）（），（）（）（）（），（）（）（），（）（）（）（）称为带形状参数，的五次三角多项式基函数收稿日期基金项目安徽省高校自然科学研究重点项目“中曲线曲面研究及其在造型设计中的应用”（）。作者简介张丹丹，女，副教授，硕士，从事计算数学研究。式（）中的基函数具有如下性质非负性：当，时，（），权性：，（）对称性：，（），端点性质：，（），（），（），（），（），（），（）（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），单调性：当 递增时，（）单调递减，（）和，（）单调递增；当 递增时，（）和，（）单调递增，（）单调递减图 为 时基函数图像图 时基函数图像 五次三角 曲线与性质定义 给定 个控制顶点 ，对 ，定义曲线：（），（），（）称式（）为带两个形状参数的五次三角 曲线由基函数性质，可以得出该曲线具有下列几何性质性质 端点性质：（），（）（）（），（）（）性质 对称性：由基函数的对称性可知，当曲线的控制顶点，保持位置不变时，新曲线与原曲线是相同的性质 凸包性：由五次三角 基函数的非负性可知，该曲线在由控制多边形所形成的凸包内 形状参数的几何意义对于给定控制顶点，式（）定义的带两个形状参数的五次三角 曲线，当 固定，逐渐增大时，曲线靠近控制顶点；当 固定，逐渐增大时，曲线靠近 如图（）所示固定 改变，曲线从上到下为参数 时，参数 ，时的曲线；如图（）所示固定 改变，曲线从上到下为参数 时，参数 ，时的曲线（）固定 改变 （）固定 改变 图 五次三角 曲线 曲线的连续设两条曲线（），（），（），（），且 ，（）的参数为，（）的参数为，其中，定理 若 与 共线且方向相同，即 ，且 ，则曲线（）与（）满足 连续证明（）（）（），（）（）当 ，时，（）即曲线（）与（）满足 连续图 为两曲线连续图 两曲线 连续 图 两曲线 连续定理 当 时，在满足 连续时，若 ，则曲线（）与（）满足 连续证明 当 ，时，（），当 时，（），即曲线（）与（）满足 连续图 为两曲线 连续 应用实例 椭圆弧、圆弧表示设，为控制多边形的顶点，当 ，时，取 （，），（，），则该五次三角 曲线可表示为（）（），（）（）其中，则椭圆方程为 当 时，曲线表示为一段圆弧图 为椭圆弧的表示图 椭圆弧的表示 抛物线弧的表示设，为控制多边形的顶点，当 ，时，取（，），()，()，()，则该五次三角 曲线可表示为（），（）其中，则抛物线方程为 图 给出了抛物线弧的表示图 抛物线弧的表示 结语综上所述，在传统的五次三角 曲线的基础上，引入两个形状参数，通过改变参数的取值，可灵活改变曲线的形状，并且该曲线能精确表示一些二次曲线进一步，可以探讨将该曲线推广到曲面形式，以及更高次的三角 曲线参考文献朱心雄自由曲线曲面造型技术北京：科学出版社，王国瑾，汪国昭，郑建民计算机辅助几何设计北京：高等教育出版社，柏林：施普林格出版社，：，（）：，（）：，（）：吴晓勤，韩旭里，罗善明带形状参数的二次三角 曲线工程图学学报，（）：杨联强，邬弘毅带形状参数的三次三角 曲线合肥工业大学学报，（）：李军成，宋来忠，龙志文带两个形状参数的类三次三角 曲线计算机应用与软件，（）：喻德生，徐迎博，曾接贤一类双参数类四次三角 曲线及其扩展计算机工程与应用，（）：（，）：，：；（责任编辑：周巧姝）