专题28新定义与阅读理解创新型问题-2020年中考数学真题分项汇编（教师版）【全国通用】【jiaoyupan.com教育盘】.docx

2020年中考数学真题分项汇编（全国通用） 专题28新定义与阅读理解创新型问题 一．选择题（共4小题） 1．（2020•荆州）定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（　　） A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【分析】利用新定义得到（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，再把方程化为一般式后计算判别式的值，然后利用△＞0可判断方程根的情况． 【解析】∵x*k＝x（k为实数）是关于x的方程， ∴（x+k）（x﹣k）﹣1＝x， 整理得x2﹣x﹣k2﹣1＝0， ∵△＝（﹣1）2﹣4（﹣k2﹣1） ＝4k2+5＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 2．（2020•枣庄）对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b=1a-b2，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3=11-32=-18．则方程x⊗（﹣2）=2x-4-1的解是（　　） A．x＝4 B．x＝5 C．x＝6 D．x＝7 【分析】所求方程利用题中的新定义化简，求出解即可． 【解析】根据题意，得1x-4=2x-4-1， 去分母得：1＝2﹣（x﹣4）， 解得：x＝5， 经检验x＝5是分式方程的解． 故选：B． 3．（2020•潍坊）若定义一种新运算：a⊗b=a-b(a≥2b)a+b-6(a＜2b)，例如：3⊗1＝3﹣1＝2；5⊗4＝5+4﹣6＝3．则函数y＝（x+2）⊗（x﹣1）的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据a⊗b=a-b(a≥2b)a+b-6(a＜2b)，可得当x+2≥2（x﹣1）时，x≤4，分两种情况：当x≤4时和当x＞4时，分别求出一次函数的关系式，然后判断即可得出结论． 【解析】∵当x+2≥2（x﹣1）时，x≤4， ∴当x≤4时，（x+2）⊗（x﹣1）＝（x+2）﹣（x﹣1）＝x+2﹣x+1＝3， 即：y＝3， 当x＞4时，（x+2）⊗（x﹣1）＝（x+2）+（x﹣1）﹣6＝x+2+x﹣1﹣6＝2x﹣5， 即：y＝2x﹣5， ∴k＝2＞0， ∴当x＞4时，y＝2x﹣5，函数图象向上，y随x的增大而增大， 综上所述，A选项符合题意． 故选：A． 4．（2020•长沙）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P与加工煎炸时间t（单位：分钟）近似满足的函数关系为：p＝at2+bt+c（a≠0，a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（　　） A．3.50分钟 B．4.05分钟 C．3.75分钟 D．4.25分钟 【分析】将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系p＝at2+bt+c中，可得函数关系式为：p＝﹣0.2t2+1.5t﹣1.9，再根据加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标，求出即可得结论． 【解析】将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系p＝at2+bt+c中， 9a+3b+c=0.816a+4b+c=0.925a+5b+c=0.6， 解得a=-0.2b=1.5c=-1.9， 所以函数关系式为：p＝﹣0.2t2+1.5t﹣1.9， 由题意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标： t=-b2a=-1.52×(-0.2)=3.75， 则当t＝3.75分钟时，可以得到最佳时间． 故选：C． 二．填空题（共11小题） 5．（2020•临沂）我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点A（2，1）到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为　5-1　． 【分析】连接AO交⊙O于B，则线段AB的长度即为点A（2，1）到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离，根据勾股定理即可得到结论． 【解析】连接AO交⊙O于B， 则线段AB的长度即为点A（2，1）到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离， ∵点A（2，1）， ∴OA=22+12=5， ∵OB＝1， ∴AB=5-1， 即点A（2，1）到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为5-1， 故答案为：5-1． 6．（2020•十堰）对于实数m，n，定义运算m*n＝（m+2）2﹣2n．若2*a＝4*（﹣3），则a＝　﹣13　． 【分析】根据给出的新定义分别求出2*a与4*（﹣3）的值，根据2*a＝4*（﹣3）得出关于a的一元一次方程，求解即可． 【解析】∵m*n＝（m+2）2﹣2n， ∴2*a＝（2+2）2﹣2a＝16﹣2a，4*（﹣3）＝（4+2）2﹣2×（﹣3）＝42， ∵2*a＝4*（﹣3）， ∴16﹣2a＝42， 解得a＝﹣13， 故答案为：﹣13． 7．（2020•青海）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“⊕”如下：a⊕b=a+ba-b，如：3⊕2=3+23-2=5，那么12⊕4＝　2　． 【分析】先依据定义列出算式，然后再进行计算即可． 【解析】12⊕4=12+412-4=2． 故答案为：2． 8．（2020•湘潭）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图： 数字 形式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纵式 | || ||| |||| ||||| 横式 表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．示例如图：，则表示的数是　9167　． 【分析】根据算筹计数法来计数即可． 【解析】根据算筹计数法，表示的数是：9167 故答案为：9167． 9．（2020•长沙）某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A、B、C三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成以下三个步骤： 第一步，A同学拿出二张扑克牌给B同学； 第二步，C同学拿出三张扑克牌给B同学； 第三步，A同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学． 请你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为　7　． 【分析】本题是整式加减法的综合运用，设每人有牌x张，解答时依题意列出算式，求出答案． 【解析】设每人有牌x张，B同学从A同学处拿来二张扑克牌，又从C同学处拿来三张扑克牌后， 则B同学有（x+2+3）张牌， A同学有（x﹣2）张牌， 那么给A同学后B同学手中剩余的扑克牌的张数为：x+2+3﹣（x﹣2）＝x+5﹣x+2＝7． 故答案为：7． 10．（2020•常德）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式： x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）． 理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0， 因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解． 解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为　x＝2或x＝﹣1+2或x＝﹣1-2　． 【分析】将原方程左边变形为x3﹣4x﹣x+2＝0，再进一步因式分解得（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，据此得到两个关于x的方程求解可得． 【解析】∵x3﹣5x+2＝0， ∴x3﹣4x﹣x+2＝0， ∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0， ∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0， 则（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0， ∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0， 解得x＝2或x＝﹣1±2， 故答案为：x＝2或x＝﹣1+2或x＝﹣1-2． 11．（2020•衢州）定义a※b＝a（b+1），例如2※3＝2×（3+1）＝2×4＝8．则（x﹣1）※x的结果为　x2﹣1　． 【分析】根据规定的运算，直接代值后再根据平方差公式计算即可． 【解析】根据题意得： （x﹣1）※x＝（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1． 故答案为：x2﹣1． 12．（2020•枣庄）各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式S＝a+12b﹣1（a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克（Pick）定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积S＝　6　． 【分析】分别统计出多边形内部的格点数a和边界上的格点数b，再代入公式S＝a+12b﹣1，即可得出格点多边形的面积． 【解析】∵a表示多边形内部的格点数，b表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积， ∴a＝4，b＝6， ∴该五边形的面积S＝4+12×6﹣1＝6， 故答案为：6． 13．（2020•荆州）我们约定：（a，b，c）为函数y＝ax2+bx+c的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”．若关联数为（m，﹣m﹣2，2）的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为　（1，0）、（2，0）或（0，2）　． 【分析】根据题意令y＝0，将关联数（m，﹣m﹣2，2）代入函数y＝ax2+bx+c，则有mx2+（﹣m﹣2）x+2＝0，利用求根公式可得m，将m代入可得函数图象与x轴的交点坐标；令x＝0，可得y＝c＝2，即得这个函数图象上整交点的坐标（0，2）． 【解析】根据题意，令y＝0，将关联数（m，﹣m﹣2，2）代入函数y＝ax2+bx+c，则有mx2+（﹣m﹣2）x+2＝0， △＝（﹣m﹣2）2﹣4×2m＝（m﹣2）2＞0， ∴mx2+（﹣m﹣2）x+2＝0有两个根， 由求根公式可得x=m+2±(-m-2)2-8m2m x=m+2±|m-2|2m x1=m+2+(m-2)2m=1，此时m为不等于0的任意数，不合题意； x2=m+2+2-m2m=42m，当m＝1或2时符合题意；x2＝2或1； x3=m+2-m+22m=42m，当m＝1或2时符合题意；x3＝2或1； x4=m+2-2+m2m=1，此时m为不等于0的任意数，不合题意； 所以这个函数图象上整交点的坐标为（2，0），（1，0）； 令x＝0，可得y＝c＝2，即得这个函数图象上整交点的坐标（0，2）． 综上所述，这个函数图象上整交点的坐标为（2，0），（1，0）或（0，2）； 故答案为：（2，0），（1，0）或（0，2）． 14．（2020•乐山）我们用符号[x]表示不大于x的最大整数．例如：[1.5]＝1，[﹣1.5]＝﹣2．那么： （1）当﹣1＜[x]≤2时，x的取值范围是　0≤x＜3　； （2）当﹣1≤x＜2时，函数y＝x2﹣2a[x]+3的图象始终在函数y＝[x]+3的图象下方．则实数a的范围是　a＜-1或a≥32　． 【分析】（1）根据[x]表示不大于x的最大整数，解决问题即可． （2）由题意，构建不等式即可解决问题． 【解析】（1）由题意∵﹣1＜[x]≤2， ∴0≤x＜3， 故答案为0≤x＜3． （2）由题意：当﹣1≤x＜2时，函数y＝x2﹣2a[x]+3的图象始终在函数y＝[x]+3的图象下方， 则有x＝﹣1时，1+2a+3＜﹣1+3，解得a＜﹣1， 或x＜2时，4﹣2a+3≤1+3，解得a≥32， 故答案为a＜﹣1或a≥32． 15．（2020•泰州）以水平数轴的原点O为圆心，过正半轴Ox上的每一刻度点画同心圆，将Ox逆时针依次旋转30°、60°、90°、…、330°得到11条射线，构成如图所示的“圆”坐标系，点A、B的坐标分别表示为（5，0°）、（4，300°），则点C的坐标表示为　（3，240°）　． 【分析】直接利用坐标的意义进而表示出点C的坐标． 【解析】如图所示：点C的坐标表示为（3，240°）． 故答案为：（3，240°）． 三．解答题（共35小题） 16．（2020•湘潭）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心． （1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边△ABC的重心为点O，求△OBC与△ABC的面积． （2）性质探究：如图（二），已知△ABC的重心为点O，请判断ODOA、S△OBCS△ABC是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由． （3）性质应用：如图（三），在正方形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线AC于点M． ①若正方形ABCD的边长为4，求EM的长度； ②若S△CME＝1，求正方形ABCD的面积． 【分析】（1）连接DE，利用相似三角形证明ODAO=12，运用勾股定理求出AD的长，运用三角形面积公式求解即可； （2）根据（1）的证明可求解； （3）①证明△CME∽△ABM，得EMBM=12，再运用勾股定理求出BE的长即可解决问题； ②分别求出S△BMC和S△ABM即可求得正方形ABCD的面积． 【解析】（1）连接DE，如图， ∵点O是△ABC的重心， ∴AD，BE是BC，AC边上的中线， ∴D，E为BC，AC边上的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DE∥AB，DE=12AB， ∴△ODE∽△OAB， ∴ODOA=DEAB=12， ∵AB＝2，BD＝1，∠ADB＝90°， ∴AD=3，OD=33， ∴S△OBC=BC⋅OD2=2×332=33，S△ABC=BC⋅AD2=2×32=3； （2）由（1）可知，ODOA=12，是定值； 点O到BC的距离和点A到BC的距离之比为1：3， 则△OBC和△ABC的面积之比等于点O到BC的距离和点A到BC的距离之比， 故S△OBCS△ABC=13，是定值； （3）①∵四边形ABCD是正方形， ∴CD∥AB，AB＝BC＝CD＝4， ∴△CME～△AMB， ∴EMBM=CEAB， ∵E为CD的中点， ∴CE=12CD=2， ∴BE=BC2+CE2=25， ∴EMBM=12， ∴EMBE=13， 即EM=235； ②∴S△CME＝1，且MEBM=12， ∴S△BMC＝2， ∵MEBM=12， ∴S△CMES△AMB=(MEBM)2=14， ∴S△AMB＝4， ∴S△ABC＝S△BMC+S△ABM＝2+4＝6， 又S△ADC＝S△ABC， ∴S△ADC＝6， ∴正方形ABCD的面积为：6+6＝12． 17．（2020•徐州）我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果BCAB=ABAC，那么称点B为线段AC的黄金分割点．它们的比值为5-12． （1）在图①中，若AC＝20cm，则AB的长为　（105-10）　cm； （2）如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG．试说明：G是AB的黄金分割点； （3）如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E（AE＞DE），连接BE，作CF⊥BE，交AB于点F，延长EF、CB交于点P．他发现当PB与BC满足某种关系时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由． 【分析】（1）由黄金分割点的概念可得出答案； （2）延长EA，CG交于点M，由折叠的性质可知，∠ECM＝∠BCG，得出∠EMC＝∠ECM，则EM＝EC，根据勾股定理求出CE的长，由锐角三角函数的定义可出tan∠BCG=5-12，即BGBC=5-12，则可得出答案； （3）证明△ABE≌△BCF（ASA），由全等三角形的性质得出BF＝AE，证明△AEF∽△BPF，得出AEBP=AFBF，则可得出答案． 【解析】（1）∵点B为线段AC的黄金分割点，AC＝20cm， ∴AB=5-12×20＝（105-10）cm． 故答案为：（105-10）． （2）延长EA，CG交于点M， ∵四边形ABCD为正方形， ∴DM∥BC， ∴∠EMC＝∠BCG， 由折叠的性质可知，∠ECM＝∠BCG， ∴∠EMC＝∠ECM， ∴EM＝EC， ∵DE＝10，DC＝20， ∴EC=DE2+DC2=102+202=105， ∴EM＝105， ∴DM＝105+10， ∴tan∠DMC=DCDH=20105+10=25+1=5-12． ∴tan∠BCG=5-12， 即BGBC=5-12， ∴BGAB=5-12， ∴G是AB的黄金分割点； （3）当BP＝BC时，满足题意． 理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠BAE＝∠CBF＝90°， ∵BE⊥CF， ∴∠ABE+∠CBF＝90°， 又∵∠BCF+∠BFC＝90°， ∴∠BCF＝∠ABE， ∴△ABE≌△BCF（ASA）， ∴BF＝AE， ∵AD∥CP， ∴△AEF∽△BPF， ∴AEBP=AFBF， 当E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点时， ∵AE＞DE， ∴AFBF=BFAB， ∵BF＝AE，AB＝BC， ∴AFBF=BFAB=AEBC， ∴AEBP=AEBC， ∴BP＝BC． 18．（2020•株洲）如图所示，△OAB的顶点A在反比例函数y=kx（k＞0）的图象上，直线AB交y轴于点C，且点C的纵坐标为5，过点A、B分别作y轴的垂线AE、BF，垂足分别为点E、F，且AE＝1． （1）若点E为线段OC的中点，求k的值； （2）若△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，其面积小于3． ①求证：△OAE≌△BOF； ②把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|称为M（x1，y1），N（x2，y2）两点间的“ZJ距离”，记为d（M，N），求d（A，C）+d（A，B）的值． 【分析】（1）由点E为线段OC的中点，可得E点坐标为(0，52)，进而可知A点坐标为：A(1，52)，代入解析式即可求出k； （2）①由△OAB为等腰直角三角形，可得AO＝OB，再根据同角的余角相等可证∠AOE＝∠FBO，由AAS即可证明△OAE≌△BOF； ②由“ZJ距离”的定义可知d（M，N）为MN两点的水平离与垂直距离之和，故d（A，C）+d（A，B）＝BF+CF，即只需求出B点坐标即可，设点A（1，m），由△OAE≌△BOF可得B（m，﹣1），进而代入直线AB解析式求出k值即可解答． 【解析】（1）∵点E为线段OC的中点，OC＝5， ∴OE=12OC=52，即：E点坐标为(0，52)， 又∵AE⊥y轴，AE＝1， ∴A(1，52)， ∴k=1×52=52． （2）①在△OAB为等腰直角三角形中，AO＝OB，∠AOB＝90°， ∴∠AOE+∠FOB＝90°， 又∵BF⊥y轴， ∴∠FBO+∠FOB＝90°， ∴∠AOE＝∠FBO， 在△OAE和△BOF中， ∠AEO=∠OFB=90°∠AOE=∠FBOAO=BO， ∴△OAE≌△BOF（AAS）， ②解：设点A坐标为（1，m）， ∵△OAE≌△BOF， ∴BF＝OE＝m，OF＝AE＝1， ∴B（m，﹣1）， 设直线AB解析式为：lAB：y＝kx+5，将AB两点代入得： 则k+5=mkm+5=-1． 解得k1=-3m1=2，k2=-2m2=3． 当m＝2时，OE＝2，OA=5，S△AOB=52＜3，符合； ∴d（A，C）+d（A，B）＝AE+CE+（BF﹣AE）+（OE+OF）＝1+CE+OE﹣1+OE+1＝1+CE+2OE＝1+CO+OE＝1+5+2＝8， 当m＝3时，OE＝3，OA=10，S△AOB＝5＞3，不符，舍去； 综上所述：d（A，C）+d（A，B）＝8． 19．（2020•宁波）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角． （1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E． （2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，AD=BD，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角． （3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径． ①求∠AED的度数； ②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积． 【分析】（1）由角平分线的定义可得出结论； （2）由圆内接四边形的性质得出∠FDC+∠FBC＝90°，得出∠FDE＝∠FBC，证得∠ABF＝∠FBC，证出∠ACD＝∠DCT，则CE是△ABC的外角平分线，可得出结论； （3）①连接CF，由条件得出∠BFC＝∠BAC，则∠BFC＝2∠BEC，得出∠BEC＝∠FAD，证明△FDE≌△FDA（AAS），由全等三角形的性质得出DE＝DA，则∠AED＝∠DAE，得出∠ADC＝90°，则可求出答案； ②过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，证得△EGA∽△ADC，得出AEAC=AGCD，求出ADAC=45，设AD＝4x，AC＝5x，则有（4x）2+52＝（5x）2，解得x=53，求出ED，CE的长，求出DM，由等腰直角三角形的性质求出FM，根据三角形的面积公式可得出答案． 【解析】（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD， ∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD=12（∠ACD﹣∠ABC）=12∠A=12α， （2）如图1，延长BC到点T， ∵四边形FBCD内接于⊙O， ∴∠FDC+∠FBC＝180°， 又∵∠FDE+∠FDC＝180°， ∴∠FDE＝∠FBC， ∵DF平分∠ADE， ∴∠ADF＝∠FDE， ∵∠ADF＝∠ABF， ∴∠ABF＝∠FBC， ∴BE是∠ABC的平分线， ∵AD=BD， ∴∠ACD＝∠BFD， ∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°， ∴∠DCT＝∠BFD， ∴∠ACD＝∠DCT， ∴CE是△ABC的外角平分线， ∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角． （3）①如图2，连接CF， ∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角， ∴∠BAC＝2∠BEC， ∵∠BFC＝∠BAC， ∴∠BFC＝2∠BEC， ∵∠BFC＝∠BEC+∠FCE， ∴∠BEC＝∠FCE， ∵∠FCE＝∠FAD， ∴∠BEC＝∠FAD， 又∵∠FDE＝∠FDA，FD＝FD， ∴△FDE≌△FDA（AAS）， ∴DE＝DA， ∴∠AED＝∠DAE， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC＝90°， ∴∠AED+∠DAE＝90°， ∴∠AED＝∠DAE＝45°， ②如图3，过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠FAC＝∠EBC=12∠ABC＝45°， ∵∠AED＝45°， ∴∠AED＝∠FAC， ∵∠FED＝∠FAD， ∴∠AED﹣∠FED＝∠FAC﹣∠FAD， ∴∠AEG＝∠CAD， ∵∠EGA＝∠ADC＝90°， ∴△EGA∽△ADC， ∴AEAC=AGCD， ∵在Rt△ABG中，AG=22AB=42， 在Rt△ADE中，AE=2AD， ∴2ADAC=425， ∴ADAC=45， 在Rt△ADC中，AD2+DC2＝AC2， ∴设AD＝4x，AC＝5x，则有（4x）2+52＝（5x）2， ∴x=53， ∴ED＝AD=203， ∴CE＝CD+DE=353， ∵∠BEC＝∠FCE， ∴FC＝FE， ∵FM⊥CE， ∴EM=12CE=356， ∴DM＝DE﹣EM=56， ∵∠FDM＝45°， ∴FM＝DM=56， ∴S△DEF=12DE•FM=259． 20．（2020•陕西）问题提出 （1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D．过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是　CF、DE、DF　． 问题探究 （2）如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8．P是AB上一点，且PB=2PA，连接AP，BP．∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长． 问题解决 （3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB．P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D．连接AD，BD．过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，垂足分别为E，F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）． ①求y与x之间的函数关系式； ②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．试求当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积． 【分析】（1）证明四边形CEDF是正方形，即可得出结果； （2）连接OP，由AB是半圆O的直径，PB=2PA，得出∠APB＝90°，∠AOP＝60°，则∠ABP＝30°，同（1）得四边形PECF是正方形，得PF＝CF，在Rt△APB中，PB＝AB•cos∠ABP＝43，在Rt△CFB中，BF=CFtan∠ABC=3CF，推出PB＝CF+BF，即可得出结果； （3）①同（1）得四边形DEPF是正方形，得出PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A′PF，PA′＝PA，则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF，证∠A′PB＝90°，得出S△PAE+S△PBF＝S△PA′B=12PA′•PB=12x（70﹣x），在Rt△ACB中，AC＝BC＝352，S△ACB=12AC2＝1225，由y＝S△PA′B+S△ACB，即可得出结果； ②当AP＝30时，A′P＝30，PB＝40，在Rt△A′PB中，由勾股定理得A′B=A'P2+PB2=50，由S△A′PB=12A′B•PF=12PB•A′P，求PF，即可得出结果． 【解析】（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC， ∴四边形CEDF是矩形， ∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC， ∴DE＝DF， ∴四边形CEDF是正方形， ∴CE＝CF＝DE＝DF， 故答案为：CF、DE、DF； （2）连接OP，如图2所示： ∵AB是半圆O的直径，PB=2PA， ∴∠APB＝90°，∠AOP=13×180°＝60°， ∴∠ABP＝30°， 同（1）得：四边形PECF是正方形， ∴PF＝CF， 在Rt△APB中，PB＝AB•cos∠ABP＝8×cos30°＝8×32=43， 在Rt△CFB中，BF=CFtan∠ABC=CFtan30°=CF33=3CF， ∵PB＝PF+BF， ∴PB＝CF+BF， 即：43=CF+3CF， 解得：CF＝6﹣23； （3）①∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°， ∵CA＝CB， ∴∠ADC＝∠BDC， 同（1）得：四边形DEPF是正方形， ∴PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°， ∴将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A′PF，PA′＝PA，如图3所示： 则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF， ∴∠A′PF+∠BPF＝90°，即∠A′PB＝90°， ∴S△PAE+S△PBF＝S△PA′B=12PA′•PB=12x（70﹣x）， 在Rt△ACB中，AC＝BC=22AB=22×70＝352， ∴S△ACB=12AC2=12×（352）2＝1225， ∴y＝S△PA′B+S△ACB=12x（70﹣x）+1225=-12x2+35x+1225； ②当AP＝30时，A′P＝30，PB＝AB﹣AP＝70﹣30＝40， 在Rt△A′PB中，由勾股定理得：A′B=A'P2+PB2=302+402=50， ∵S△A′PB=12A′B•PF=12PB•A′P， ∴12×50×PF=12×40×30， 解得：PF＝24， ∴S四边形PEDF＝PF2＝242＝576（m2）， ∴当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积为576m2． 21．（2020•咸宁）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形． 理解： （1）若四边形ABCD是对余四边形，则∠A与∠C的度数之和为　90°或270°　； 证明： （2）如图1，MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，AM，CN相交于点D． 求证：四边形ABCD是对余四边形； 探究： （3）如图2，在对余四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，探究线段AD，CD和BD之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由． 【分析】（1）对余四边形的定义即可得出结果； （2）由圆周角定理得出∠BAM+∠BCN＝90°，即∠BAD+∠BCD＝90°，即可得出结论； （3）对余四边形的定义得出∠ADC＝30°，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD，则△BCD≌△BAF，∠FBD＝60°，得出BF＝BD，AF＝CD，∠BDC＝∠BFA，则△BFD是等边三角形，得出BF＝BD＝DF，易证∠BFA+∠ADB＝30°，由∠FBD+∠BFA+∠ADB+∠AFD+∠ADF＝180°，得出∠AFD+∠ADF＝90°，则∠FAD＝90°，由勾股定理即可得出结果． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是对余四边形， ∴∠A+∠C＝90°或∠A+∠C＝360°﹣90°＝270°， 故答案为：90°或270°； （2）证明：∵MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上， ∴∠BAM+∠BCN＝90°， 即∠BAD+∠BCD＝90°， ∴四边形ABCD是对余四边形； （3）解：线段AD，CD和BD之间数量关系为：AD2+CD2＝BD2，理由如下： ∵对余四边形ABCD中，∠ABC＝60°， ∴∠ADC＝30°， ∵AB＝BC， ∴将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD，如图3所示： ∴△BCD≌△BAF，∠FBD＝60° ∴BF＝BD，AF＝CD，∠BDC＝∠BFA， ∴△BFD是等边三角形， ∴BF＝BD＝DF， ∵∠ADC＝30°， ∴∠ADB+∠BDC＝30°， ∴∠BFA+∠ADB＝30°， ∵∠FBD+∠BFA+∠ADB+∠AFD+∠ADF＝180°， ∴60°+30°+∠AFD+∠ADF＝180°， ∴∠AFD+∠ADF＝90°， ∴∠FAD＝90°， ∴AD2+AF2＝DF2， ∴AD2+CD2＝BD2． 22．（2020•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB＝1． 给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A'B'（A'，B′分别为点A，B的对应点），线段AA'长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”． （1）如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是　P1P2∥P3P4　；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点　P3　的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”； （2）若点A，B都在直线y=3x+23上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1的最小值； （3）若点A的坐标为（2，32），记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围． 【分析】（1）根据平移的性质，以及线段AB到⊙O的“平移距离”的定义判断即可． （2）如图1中，作等边△OEF，点E在x轴上，OE＝EF＝OF＝1，设直线y=3x+23交x轴于M，交y轴于N．则M（﹣2，0），N（0，23），过点E作EH⊥MN于H，解直角三角形求出EH即可判断． （3）如图2中，以A为圆心1为半径作⊙A，作直线OA交⊙O于M，交⊙A于N，以OA，AB为邻边构造平行四边形ABDO，以OD为边构造等边△ODB′和等边△OB′A′，则AB∥A′B′，AA′的长即为线段AB到⊙O的“平移距离”，点A′与M重合时，AA′的值最小，当点B与N重合时，AA′的长最大，如图3中，过点A′作A′H⊥OA于H． 解直角三角形求出AA′即可． 【解析】（1）如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是P1P2∥P3P4；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点P3的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”． 故答案为：P1P2∥P3P4，P3． （2）如图1中，作等边△OEF，点E在x轴上，OE＝EF＝OF＝1， 设直线y=3x+23交x轴于M，交y轴于N．则M（﹣2，0），N（0，23）， 过点E作EH⊥MN于H， ∵OM＝2，ON＝23， ∴tan∠NMO=3， ∴∠NMO＝60°， ∴EH＝EM•sin60°=32， 观察图象可知，线段AB到⊙O的“平移距离”为d1的最小值为32． （3）如图2中，以A为圆心1为半径作⊙A，作直线OA交⊙O于M，交⊙A于N， 以OA，AB为邻边构造平行四边形ABDO，以OD为边构造等边△ODB′，等边△OB′A′，则AB∥A′B′，AA′的长即为线段AB到⊙O的“平移距离”， 当点A′与M重合时，AA′的值最小，最小值＝OA﹣OM=52-1=32， 当点B与N重合时，AA′的长最大，如图3中，过点A′作A′H⊥OA于H． 由题意A′H=32，AH=12+52=3， ∴AA′的最大值=(32)2+32=392， ∴32≤d2≤392． 23．（2020•怀化）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形． （1）下面四边形是垂等四边形的是　④　；（填序号） ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形 （2）图形判定：如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，过点D作BD垂线交BC的延长线于点E，且∠DBC＝45°，证明：四边形ABCD是垂等四边形． （3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形ABCD内接于⊙O中，∠BCD＝60°．求⊙O的半径． 【分析】（1）根据垂等四边形的性质对每个图形判断即可； （2）根据已知条件可证明四边形ACED是平行四边形，即可得到AC＝DE，再根据等腰直角三角形的性质即可得到结果； （3）过点O作OE⊥BD，根据面积公式可求得BD的长，根据垂径定理和锐角三角函数即可得到⊙O的半径． 【解析】（1）①平行四边形的对角线互相平分但不垂直和相等，故不是垂等四边形； ②矩形对角线相等但不垂直，故不是垂等四边形； ③菱形的对角线互相垂直但不相等，故不是垂等四边形； ④正方形的