带p-Laplace算子和...式分数阶微分方程解的存在性_郭秀凤.pdf

高校应用数学学报2023,38(1):64-72带p-Laplace算子和反周期边界条件的隐式分数阶微分方程解的存在性郭秀凤,曾慧丹,韩江峰(广西财经学院 数学与数量经济学院,广西南宁 530003)摘要:利用经典的Schaefer不动点定理研究带有p-Laplace算子的隐式分数阶微分方程反周期边值问题.在适当的假设条件下,得到隐式方程和隐式分数阶微分方程解的存在性结果,并举例说明结果的应用.关键词:隐式分数阶微分方程;p-Laplace算子;不动点定理;反周期边界条件;解的存在性中图分类号:O175.14文献标识码:A文章编号:1000-4424(2023)01-0064-091引言分数阶微积分主要用于处理任意阶导数的问题.分数阶微分方程常出现在许多科学领域和工程系统的数学建模中,如化学,空气动力学,控制理论,生物物理学等(见1-3).相关的最新进展可参阅4-6及其文献.近三十多年来,关于带有p-Laplace算子和各类边界条件的边值问题的相关研究获得了很多重要结果,然而带有p-Laplace算子的分数阶微分方程边值问题的研究近十年才开始.例如Chen等研究分数阶p-Laplace微分方程反周期边值问题7.Han等研究带有广义p-Laplace算子的分数阶微分方程特征值问题8,更多研究见9-13及其文献.此外，随着反周期条件在各种情况下的出现，反周期问题也受到了广泛的关注(见14-16),例如(偏)微分方程插值问题和脉冲问题中的反周期三角多项式.由于分数阶微积分和p-Laplace算子都起源于许多共同的应用领域,是一个很值得研究的内容,而且尚有大量问题亟待解决和进行深入研究.据笔者所知,带有p-Laplace算子的隐式分数阶微分方程的边值问题还没有相关的研究文献.因此,本文将研究带有p-Laplace算子的非线性隐收稿日期:2021-08-05修回日期:2022-10-11*通讯作者,E-mail:基金项目:国家自然科学基金(12001120);广西自然科学基金(2021GXNSFAA075022);广西高校中青年教师科研基础能力提升项目(2020KY16017;2021KY0647);广西财经学院创新团队支持计划经费;统计学广西一流学科建设项目DOI:10.13299/ki.amjcu.002253郭秀凤等:带p-Laplace算子和反周期边界条件的隐式分数阶微分方程解的存在性65式分数阶微分方程反周期边值问题D0+p(D0+u(t)=f(t,u(t),D0+u(t),D0+p(D0+u(t),t 0,1,u(0)=u(1),D0+u(0)=D0+u(1),(1)其中p(s)=|s|p2s(p 1)为p-Laplace算子,p是可逆的(即(p)1=q,1p+1q=1),0 1,0 1,1 0次Riemann-Liouville分数阶积分的定义为I0+x(t)=1()t0(t s)1x(s)ds.定定定义义义2.21-2函数x在区间(0,+)上的 0阶Riemann-Liouville分数阶导数定义为LD0+x(t)=1(n )dndtnt0 x(s)(t s)n+1ds,n=+1.定定定义义义2.31-2函数x在区间(0,+)上的 0 阶修正的Caputo分数阶导数定义为D0+x(t)=LD0+(x(t)n1k=0tkk!x(k)(0),n=+1.假设ACa,b表示区间a,b上的全体绝对连续函数构成的函数空间,对于n N+,记ACna,b=x:a,b R|x Cn1a,b 且 x(n1)ACa,b.注注注2.11-2若x ACn0,+),那么修正的Caputo分数阶导数可转化为经典的Caputo分数阶导数,即CD0+x(t)=1(n )t0 x(n)(s)(t s)+1nds,n=+1.显然,常数的经典Caputo导数为0.引引引理理理2.12设 0，x ACn0,+),则I0+D0+x(t)=I0+CD0+x(t)=x(t)+c0+c1t+.+cn1tn1成立,其中ci R,i=0,1,n 1;n=+1.注注注2.2以上分数阶导数的关系为:当x ACn0,+)时,LD0+x(t)=D0+x(t)=CD0+x(t).定定定理理理2.1(见17,Arzel a-Ascoli定理)集合M C(J,R1)相对列紧的充要条件是(1)集合M一致有界,即存在常数K 0,使得对一切u M,都有|u(t)|K,t J;(2)集合M等度连续,即对任意 0,存在 =()0,使得当t1,t2 J,|t1t2|时,对任给u M,都有|u(t1)u(t2)|.定定定理理理2.2(见18-19,Schaefer不动点定理)令X为Banach空间,且T:X X是一个全连续算子.如果集合E=u X|u=Tu,0 0使得|f(t,x(t),y(t),z1(t)f(t,x(t),y(t),z2(t)|Lft0|z1(s)z2(s)|ds,t 0,1.那么,对给定的x,y C0,1,存在唯一解w C0,1 使得w(t)=f(t,x(t),y(t),w(t),t 0,1.(3)证证证算子:C0,1 C0,1定义为w(t)=f(t,x(t),y(t),w(t),x,y,w C0,1,t 0,1.则根据条件(H1)可知,对任意w1,w2 C0,1,有|w1(t)w2(t)|Lft0|w1(s)w2(s)|ds Lftmax|w1(s)w2(s)|:s 0,t.于是对每一个n N+,由数学归纳法可得|nw1(t)nw2(t)|(Lft)nn!max|w1(s)w2(s)|:s 0,t.因此knw1 nw2kLnfn!kw1 w2k.这意味着存在n0使得n0是压缩算子.故根据Banach压缩不动点定理可知,存在唯一的一个不动点w C0,1为方程(3)的唯一解.郭秀凤等:带p-Laplace算子和反周期边界条件的隐式分数阶微分方程解的存在性67接着,为研究问题(1)解的存在性,根据引理3.1和引理3.2,定义算子T:X X为Tu(t)=I0+q(F1y(t)+F2y(t)=t0(t s)1()q(s0(s )1()y()d 10(1 )12()y()d)ds10(1 s)12()q(s0(s )1()y()d 10(1 )12()y()d)ds,t 0,1.其中y C0,1满足方程y(t)=f(t,u(t),D0+u(t),y(t),t 0,1.(4)显然算子T的不动点是问题(1)的解.引引引理理理3.3如果引理3.2的假设条件成立,那么算子T:X X是全连续的.证证证首先,证明算子T:X X是连续的.令un为X的一个子列且un u(n ),只需证kTun Tuk 0(n ).不妨假设yn,y C0,1 是方程(4)对应于un,u的解,即yn(t)=f(t,un(t),D0+un(t),yn(t),t 0,1,n=1,2,y(t)=f(t,u(t),D0+u(t),y(t),t 0,1.再将以上两个式子相减,并利用假设条件(H1)可得|yn(t)y(t)|=|f(t,un(t),D0+un(t),yn(t)f(t,un(t),D0+un(t),y(t)+f(t,un(t),D0+un(t),y(t)f(t,u(t),D0+u(t),y(t)|Lft0|yn(s)y(s)|ds+|f(t,un(t),D0+un(t),y(t)f(t,u(t),D0+u(t),y(t)|Lft0eLf(ts)(|f(s,un(s),D0+un(s),y(s)f(s,u(s),D0+u(s),y(s)|)ds+|f(t,un(t),D0+un(t),y(t)f(t,u(t),D0+u(t),y(t)|,t 0,1.由于 f:0,1 R3 R是连续函数且un u(n ),可知limn|f(t,un(t),D0+un(t),y(t)f(t,u(t),D0+u(t),y(t)|=0 对 t 0,1一致成立.于是 limnyn(t)=y(t)对t 0,1一致成立.再由q的连续性和Lebesgue控制收敛定理可知limnTun(t)=limn(I0+q(F1yn(t)+F2yn(t)=I0+q(F1y(t)+F2y(t)=Tu(t)对 t 0,1一致成立,(5)所以当n 时,kTun Tuk 0在X上成立且limnD0+Tun(t)=limnD0+(I0+q(F1yn(t)+F2yn(t)=limnq(F1yn(t)=q(F1y(t)=D0+Tu(t)对t 0,1一致成立.(6)因此当n 时,kD0+TunD0+Tuk 0在X上也成立.故由(5)和(6)可知,kTunTuk 0在X成立.即证明了T:X X是连续的.其次,设 X为有界集,往证T()和D0+T()是C0,1上的相对紧集.显然,对任68高 校 应 用 数 学 学 报第38卷第1期意的u ,存在实数M0 0,使得kuk M0.又因为f是连续函数,故存在M1 0,使得|f(t,u(t),D0+u(t),0)|M1对所有t 0,1和u 成立,所以|y(t)|f(t,u(t),D0+u(t),y(t)f(t,u(t),D0+u(t),0)|+|f(t,u(t),D0+u(t),0)|Lft0|y(s)|ds+M1Lft0eLf(ts)M1ds+M1=M1eLf,t 0,1,|F1y(t)|t0(t s)1()|y(s)|ds+10(1 s)12()|y(s)|ds 3M1eLf2(+1):=L,t 0,1,|F2y(t)|10(1 s)12()q(|F1y(s)|)ds Lq12(+1),t 0,1.因此根据q(s)(q满足1q+1p=1)的单调性,对于t 0,1和u ,有|Tu(t)|t0(t s)1()q(|F1y(s)|)ds+|F2y(t)|3Lq12(+1),|D0+Tu(t)|=|D0+(I0+q(F1y(t)+F2y(t)|=|q(I0+y(t)+F1y(t)|Lq1.故kTuk3Lq12(+1)且kD0+Tuk Lq1.因此T()和D0+T()在C0,1上均一致有界.进一步,t1,t2 0,1,0 t1 t2的情形,可类似讨论),u ,有|Tu(t2)Tu(t1)|=1()t10(t2 s)1(t1 s)1q(F1y(s)ds+1()t2t1(t2 s)1q(F1y(s)dsLq1()t10|(t2 s)1(t1 s)1|ds+t2t1(t2 s)1ds=Lq1(+1)t1 t2+2(t2 t1).由于t在0,1上是一致连续的,故Tu(t)在0,1上一致连续.所以T()C0,1等度连续.类似于以上讨论,对0 t1 0上一致连续,可知D0+Tu(t)=q(F1y(t)一致连续.所以D0+T()X也是等度连续的.则T()和D0+T()都是C0,1上的相对紧集.最后,证明T是X上的相对紧算子.假设un X是有界序列.由定理2.1可知存在Tun中的一个子序列Tunk在C0,1上是按范数kuk收敛的,即 limkkTunk Tuk=0.进而可以选出一个子序列D0+Tuni D0+Tunk在C0,1上是按范数kD0+uk收敛的.因郭秀凤等:带p-Laplace算子和反周期边界条件的隐式分数阶微分方程解的存在性69此 limikD0+Tuni D0+Tuk=0.所以在X上 limikTuni Tuk=0,即T是X上的相对紧算子.综合上述讨论,可知算子T:X X是全连续的.证明完毕.接下来,在给出主要结论之前,还需要以下假设条件.(H2)存在非负函数1,2,3 C0,1使得|f(t,u,v,0)|1(t)+2(t)|u|p1+3(t)|v|p1,t 0,1,u,v R.定定定理理理3.1假设f:0,1 R3 R 为连续函数,并且满足假设条件(H1)和(H2).如果3peLfmaxk2k,k3k2p(+1)(+1)p1 0使得对u 有kuk M.这就证明了是有界的.再根据引理3.3可知,算子T:X X是全连续的.所以由定理2.2,T至少存在一个不动点,即隐式分数阶微分方程(1)存在一个解.证毕.定定定理理理3.2假设f:0,1 R3