历届(1-23)希望杯数学竞赛初一七年级真题及答案(最新整理WORD版).doc

“希望杯”全国数学竞赛 （第1-23届） 初一年级/七年级 第一/二试题 目 录 1.希望杯第一届（1990年）初中一年级第一试试题 003-005 2.希望杯第一届（1990年）初中一年级第二试试题 010-012 3.希望杯第二届（1991年）初中一年级第一试试题 016-020 4.希望杯第二届（1991年）初中一年级第二试试题 022-026 5.希望杯第三届（1992年）初中一年级第一试试题 029-032 6.希望杯第三届（1992年）初中一年级第二试试题 034-040 7.希望杯第四届（1993年）初中一年级第一试试题 043-050 8.希望杯第四届（1993年）初中一年级第二试试题 050-058 9.希望杯第五届（1994年）初中一年级第一试试题 057-066 10.希望杯第五届（1994年）初中一年级第二试试题 063-073 11.希望杯第六届（1995年）初中一年级第一试试题 070-080 12希望杯第六届（1995年）初中一年级第二试试题 077-087 13.希望杯第七届（1996年）初中一年级第一试试题 086-098 14.希望杯第七届（1996年）初中一年级第二试试题 91-105 15.希望杯第八届（1997年）初中一年级第一试试题 99-113 16.希望杯第八届（1997年）初中一年级第二试试题 106-120 17.希望杯第九届（1998年）初中一年级第一试试题 114-129 18.希望杯第九届（1998年）初中一年级第二试试题 123-138 19.希望杯第十届（1999年）初中一年级第二试试题 130-147 20.希望杯第十届（1999年）初中一年级第一试试题 148-151 21.希望杯第十一届（2000年）初中一年级第一试试题 143-161 22.希望杯第十一届（2000年）初中一年级第二试试题 150-169 23.希望杯第十二届（2001年）初中一年级第一试试题 154-174 24.希望杯第十二届（2001年）初中一年级第二试试题 158-178 25.希望杯第十三届（2002年）初中一年级第一试试题 164-184 26.希望杯第十三届（2001年）初中一年级第二试试题 168-189 27.希望杯第十四届（2003年）初中一年级第一试试题 175-196 28.希望杯第十四届（2003年）初中一年级第二试试题 179-200 29.希望杯第十五届（2004年）初中一年级第一试试题 183 30.希望杯第十五届（2004年）初中一年级第二试试题 184 31.希望杯第十六届（2005年）初中一年级第一试试题 213-218 32.希望杯第十六届（2005年）初中一年级第二试试题 184 33.希望杯第十七届（2006年）初中一年级第一试试题 228-233 34.希望杯第十七届（2006年）初中一年级第二试试题 234-238 35.希望杯第十八届（2007年）初中一年级第一试试题 242-246 26.希望杯第十八届（2007年）初中一年级第二试试题 248-251 37.希望杯第十九届（2008年）初中一年级第一试试题 252-256 38.希望杯第十九届（2008年）初中一年级第二试试题 257-262 39.希望杯第二十届（2009年）初中一年级第一试试题 263-266 20.希望杯第二十届（2009年）初中一年级第二试试题 267-271 21.希望杯第二十一届（2010年）初中一年级第一试试题 274-276 22.希望杯第二十二届（2011年）初中一年级第二试试题 285-288 23.希望杯第二十三届（2012年）初中一年级第二试试题 288-301 希望杯第一届（1990年）初中一年级第1试试题 一、选择题（每题1分，共10分） 1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( ) A．a，b都是0． B．a，b之一是0．C．a，b互为相反数．D．a，b互为倒数． 2．下面的说法中正确的是 ( ) A．单项式与单项式的和是单项式．B．单项式与单项式的和是多项式． C．多项式与多项式的和是多项式．D．整式与整式的和是整式． 3．下面说法中不正确的是 ( ) A. 有最小的自然数． B．没有最小的正有理数． C．没有最大的负整数． D．没有最大的非负数． 4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( ) A．a，b同号． B．a，b异号．C．a＞0． D．b＞0． 5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( ) A．2个． B．3个．C．4个． D．无数个． 6．有四种说法： 甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身； 丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身． 这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( ) A．0个． B．1个．C．2个． D．3个． 7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是 ( ) A．a大于－a．B．a小于－a．C．a大于－a或a小于－a．D．a不一定大于－a． 8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( ) A．乘以同一个数．B．乘以同一个整式．C．加上同一个代数式．D．都加上1． 9．杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( ) A．一样多． B．多了．C．少了． D．多少都可能． 10．轮船往返于一条河的两码头之间，如果船本身在静水中的速度是固定的，那么，当这条河的水流速度增大时，船往返一次所用的时间将( ) A．增多． B．减少．C．不变． D．增多、减少都有可能． 二、填空题（每题1分，共10分） 1. ______． 2．198919902－198919892=______． 3.=________. 4. 关于x的方程的解是_________. 5．1－2＋3－4+5－6+7－8+…+4999－5000=______． 6.当x=-时,代数式(3x3－5x2+6x－1)－(x3－2x2+x－2)+(－2x3+3x2+1)的值是____． 7．当a=－0.2，b=0.04时，代数式的值是______. 8．含盐30%的盐水有60千克，放在秤上蒸发，当盐水变为含盐40%时，秤得盐水的重是______克． 9.制造一批零件,按计划18天可以完成它的.如果工作4天后,工作效率提高了,那么完成这批零件的一半，一共需要______天． 10．现在4点5分，再过______分钟，分针和时针第一次重合． 答案与提示 一、选择题 1．C 2．D 3．C 4．D 5．C 6．B 7．D 8．D 9．C 10．A 提示： 1．令a=2，b=－2，满足2+(－2)=0，由此 2．x2，2x2，x3都是单项式．两个单项式x3，x2之和为x3+x2是多项式，排除A．两个单项式x2，2x2之和为3x2是单项式，排除B．两个多项式x3+x2与x3－x2之和为2x3是个单项式，排除C，因此选D． 3．1是最小的自然数，A正确．可以找到正 所以C“没有最大的负整数”的说法不正确．写出扩大自然数列，0，1，2，3，…，n，…，易知无最大非负数，D正确．所以不正确的说法应选C． 5．在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2，－1，0共4个．选C． 6．由12=1，13=1可知甲、乙两种说法是正确的．由(－1)3=－1，可知丁也是正确的说法．而负数的平方均为正数，即负数的平方一定大于它本身，所以“负数平方不一定大于它本身”的说法不正确．即丙不正确．在甲、乙、丙、丁四个说法中，只有丙1个说法不正确．所以选B． 7．令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D． 8．对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数．所以排除A． 我们考察方程x－2=0，易知其根为x=2．若该方程两边同乘以一个整式x－1，得(x－1)(x－2)=0，其根为x=1及x=2，不与原方程同解，排除B．若在方程x－2=0两边加上同一个代数式去了原方程x=2的根．所以应排除C．事实上方程两边同时加上一个常数，新方程与原方程同解，对D，这里所加常数为1，因此选D． 9．设杯中原有水量为a，依题意可得， 第二天杯中水量为a×(1－10%)=0.9a； 第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a； 第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为 所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C． 10．设两码头之间距离为s，船在静水中速度为a，水速为v0，则往返一次所用时间为 设河水速度增大后为v，(v＞v0)则往返一次所用时间为 由于v－v0＞0，a+v0＞a－v0，a+v＞a－v 所以(a+v0)(a+v)＞(a－v0)(a－v) ∴t0－t＜0，即t0＜t．因此河水速增大所用时间将增多，选A． 二、填空题 提示： 2．198919902－198919892 =(19891990+19891989)×(19891990－19891989) =(19891990+19891989)×1=39783979． 3．由于(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) =(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) =(22－1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) =(24－1)(24+1)(28+1)(216+1) =(28－1)(28+1)(216+1) =(216－1)(216+1)=232－1． 2(1+x)－(x－2)=8,2+2x－x+2=8解得；x=4 5．1－2+3－4+5－6+7－8+…+4999－5000 =(1－2)+(3－4)+(5－6)+(7－8)+…+(4999－5000) =－2500． 6．(3x3－5x2+6x－1)－(x3－2x2+x－2)+(－2x3+3x2+1)=5x+2 7．注意到： 当a=－0.2，b=0.04时，a2－b=(－0.2)2－0.04=0，b+a+0.16=0.04－0.2+0.16=0． 8．食盐30%的盐水60千克中含盐60×30%（千克）设蒸发变成含盐为40%的水重x克，即0.001x千克，此时，60×30%=(0.001x)×40% 解得：x=45000（克）． 10．在4时整，时针与分针针夹角为120°即 希望杯第一届（1990年）初中一年级第2试试题 一、选择题（每题1分，共5分） 以下每个题目里给出的A，B，C，D四个结论中有且仅有一个是正确的．请你在括号填上你认为是正确的那个结论的英文字母代号． 1．某工厂去年的生产总值比前年增长a%，则前年比去年少的百分数是 ( ) A．a%． B．(1+a)%． C. D. 2．甲杯中盛有2m毫升红墨水，乙杯中盛有m毫升蓝墨水，从甲杯倒出a毫升到乙杯里, 0＜a＜m，搅匀后，又从乙杯倒出a毫升到甲杯里，则这时 ( ) A．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少． B．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多． C．甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同． D．甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定． 3.已知数x=100,则( ) A．x是完全平方数．B．(x－50)是完全平方数． C．(x－25)是完全平方数．D．(x+50)是完全平方数． 4．观察图1中的数轴：用字母a，b，c依次表示点A，B，C对应的数,则的大小关系是( ) A.; B.<<; C. <<; D. <<. 5．x=9，y=－4是二元二次方程2x2+5xy+3y2=30的一组整数解，这个方程的不同的整数解共有 ( ) A．2组． B．6组．C．12组． D．16组． 二、填空题（每题1分，共5分） 1．方程|1990x－1990|=1990的根是______． 2．对于任意有理数x，y，定义一种运算*，规定x*y=ax+by－cxy，其中的a，b，c表示已知数，等式右边是通常的加、减、乘运算．又知道1*2=3，2*3=4，x*m=x（m≠0），则m的数值是______． 3．新上任的宿舍管理员拿到20把钥匙去开20个房间的门，他知道每把钥匙只能开其中的一个门，但不知道每把钥匙是开哪一个门的钥匙，现在要打开所有关闭着的20个房间，他最多要试开______次． 4．当m=______时，二元二次六项式6x2+mxy－4y2－x+17y－15可以分解为两个关于x，y的二元一次三项式的乘积． 5．三个连续自然数的平方和（填“是”或“不是”或“可能是”）______某个自然数的平方． 三、解答题（写出推理、运算的过程及最后结果．每题5分，共15分） 1．两辆汽车从同一地点同时出发，沿同一方向同速直线行驶，每车最多只能带24桶汽油，途中不能用别的油，每桶油可使一辆车前进60公里，两车都必须返回出发地点，但是可以不同时返回，两车相互可借用对方的油．为了使其中一辆车尽可能地远离出发地点，另一辆车应当在离出发地点多少公里的地方返回？离出发地点最远的那辆车一共行驶了多少公里？ 2．如图2，纸上画了四个大小一样的圆，圆心分别是A，B，C，D，直线m通过A，B，直线n通过C，D，用S表示一个圆的面积，如果四个圆在纸上盖住的总面积是5(S－1)，直线m，n之间被圆盖住的面积是8，阴影部分的面积S1，S2，S3满足关系式S3=S1=S2,求S． 3.求方程的正整数解. 答案与提示 一、选择题 1．D 2．C 3．C 4．C 5．D 提示： 1．设前年的生产总值是m，则去年的生产总值是 前年比去年少 这个产值差占去年的应选D． 2．从甲杯倒出a毫升红墨水到乙杯中以后： 再从乙杯倒出a毫升混合墨水到甲杯中以后： 乙杯中含有的红墨水的数量是 ① 乙杯中减少的蓝墨水的数量是 ② ∵①=②∴选C． ∴x－25=(10n+2+5)2 可知应当选C． 4．由所给出的数轴表示（如图3）： 可以看出 ∴①＜②＜③，∴选C． 5．方程2x2+5xy+3y2=30可以变形为(2x+3y)(x+y)=1·2·3·5 ∵x，y是整数， ∴2x+3y，x+y也是整数． 由下面的表 可以知道共有16个二元一次方程组，每组的解都是整数，所以有16组整数组，应选D． 二、填空题 提示： 1．原方程可以变形为|x－1|=1，即x-1=1或-1，∴x=2或0． 2．由题设的等式x*y=ax+by-cxy 及x*m=x(m≠0) 得a·0+bm-c·0·m=0， ∴bm=0． ∵m≠0，∴b=0． ∴等式改为x*y=ax-cxy． ∵1*2=3，2*3=4， 解得a=5，c=1． ∴题设的等式即x*y=5x-xy． 在这个等式中，令x=1，y=m，得5-m=1，∴m=4． 3．∵打开所有关闭着的20个房间， ∴最多要试开 4．利用“十字相乘法”分解二次三项式的知识，可以判定给出的二元二次六项式 6x2+mxy-4y2-x+17y-15 中划波浪线的三项应当这样分解： 3x -5 2x +3 现在要考虑y，只须先改写作 然后根据-4y2，17y这两项式，即可断定是： 由于(3x+4y-5)(2x-y+3)=6x2+5xy-4y2-x+17y-15就是原六项式，所以m=5． 5．设三个连续自然数是a-1，a，a+1，则它们的平方和是(a-1)2+a2+(a+1)2=3a2+2， 显然，这个和被3除时必得余数2． 另一方面，自然数被3除时，余数只能是0或1或2，于是它们可以表示成 3b，3b+1，3b+2（b是自然数）中的一个，但是它们的平方 (3b)2=9b2 (3b+1)2=9b2+6b+1， (3b+2)2=9b2+12b+4 =(9b2+12b+3)+1 被3除时，余数要么是0，要么是1，不能是2，所以三个连续自然数平方和不是某个自然数的平方． 三、解答题 1．设两辆汽车一为甲一为乙，并且甲用了x升汽油时即回返，留下返程需的x桶汽油，将多余的(24-2x)桶汽油给乙．让乙继续前行，这时，乙有(24-2x)+(24-x)=48-3x桶汽油，依题意，应当有48-3x≤24，∴x≥8． 甲、乙分手后，乙继续前行的路程是 这个结果中的代数式30(48-4x)表明，当x的值愈小时，代数式的值愈大，因为x≥8，所以当x=8时，得最大值30(48-4·8)=480（公里）， 因此，乙车行驶的路程一共是2(60·8+480)=1920（公里）． 2．由题设可得 即2S-5S3=8……② ∴x，y，z都＞1， 因此，当1＜x≤y≤z时，解 (x，y，z)共(2，4，12)，(2，6，6)， (3，3，6)，(3，4，4)四组． 由于x，y，z在方程中地位平等．所以可得如下表所列的15组解． 希望杯第二届（1991年）初中一年级第1试试题 一、选择题（每题1分，共15分） 以下每个题目的A，B，C，D四个结论中，仅有一个是正确的，请在括号内填上正确的那个结论的英文字母代号． 1．数1是 ( ) A．最小整数． B．最小正数．C．最小自然数． D．最小有理数． 2．若a＞b，则 ( ) A.; B．-a＜-b．C．|a|＞|b|． D．a2＞b2． 3．a为有理数，则一定成立的关系式是 ( ) A．7a＞a． B．7+a＞a．C．7+a＞7． D．|a|≥7． 4．图中表示阴影部分面积的代数式是( ) A．ad+bc．B．c(b-d)+d(a-c)．C．ad+c(b-d)．D．ab-cd． 5．以下的运算的结果中，最大的一个数是( ) A．(-13579)+0.2468; B.(-13579)+; C.(-13579)×; D.(-13579)÷ 6．3.1416×7.5944+3.1416×(-5.5944)的值是 ( ) A．6.1632． B．6.2832．C．6.5132． D．5.3692． 7.如果四个数的和的是8,其中三个数分别是-6,11,12,则笫四个数是( ) A．16． B．15． C．14． D．13． 8.下列分数中,大于-且小于-的是( ) A.-; B.-; C.-; D.-. 9.方程甲:(x-4)=3x与方程乙:x-4=4x同解,其根据是( ) A.甲方程的两边都加上了同一个整式x．B.甲方程的两边都乘以x; C. 甲方程的两边都乘以; D. 甲方程的两边都乘以. 10．如图: ，数轴上标出了有理数a，b，c的位置,其中O是原点,则的大小关系是( ) A.; B.>>; C. >>; D. >>. 11.方程的根是( ) A．27． B．28． C．29． D．30． 12.当x=,y=-2时,代数式的值是( ) A．-6． B．-2． C．2． D．6． 13．在-4，-1，-2.5，-0.01与-15这五个数中，最大的数与绝对值最大的那个数的乘积是( ) A．225． B．0.15．C．0.0001． D．1． 14.不等式的解集是( ) A．x＜16． B．x＞16．C．x＜1． D.x>-. 15．浓度为p%的盐水m公斤与浓度为q%的盐水n公斤混合后的溶液浓度是 ( ) A.; B.; C.;D.. 二、填空题（每题1分，共15分） 1． 计算：(-1)+(-1)-(-1)×(-1)÷(-1)=______． 2． 计算：-32÷6×=_______. 3． 计算：=__________. 4． 求值：(-1991)-|3-|-31||=______． 5． 计算:=_________. 6．n为正整数，1990n-1991的末四位数字由千位、百位、十位、个位、依次排列组成的四位数是8009．则n的最小值等于______． 7. 计算：=_______. 8. 计算：[(-1989)+(-1990)+(-1991)+(-1992)+(-1993)]=________. 9.在(-2)5,(-3)5,,中,最大的那个数是________. 10．不超过(-1.7)2的最大整数是______． 11.解方程 12.求值:=_________. 13．一个质数是两位数，它的个位数字与十位数字的差是7，则这个质数是______． 14.一个数的相反数的负倒数是,则这个数是_______. 15．如图11，a，b，c，d，e，f均为有理数．图中各行，各列、两条对角线上三个数之和都相等,则=____. 答案与提示 一、选择题 1．C 2．B 3．B 4．C 5．C 6．B 7．B 8．B 9．C 10．B 11．D 12．A 13．B 1 4．A 15．D 提示： 1．整数无最小数，排除A；正数无最小数，排除B；有理数无最小数，排除D．1是最小自然数．选C． 有|2|＜|-3|，排除C；若2＞-3有22＜(-3)2，排除D；事实上，a＞b必有-a＜-b．选B． 3．若a=0，7×0=0排除A；7+0=7排除C|0|＜7排除D，事实上因为7＞0，必有7+a＞0+a=a．选B． 4．把图形补成一个大矩形，则阴影部分面积等于ab-(a-c)(b-d)=ab-[ab-ad-c(b-d)]=ab-ab+ad+c(b-d)=ad+c(b-d)．选C． 5．运算结果对负数来说绝对值越小其值越大。 6．3.1416×7.5944+3.1416×(-5.5944) =3.1416(7.5944-5.5944)=2×3.1416 =6.2832．选B． 为32．第四个数数=32-(-6+11+12)=15．选B． 新方程x-4=4x与原方程同解．选C． 13．-4，-1，-2.5，-0.01与-15中最大的数是-0.01，绝对值最大的数是-15，(-0.01)×(-15)=0.15．选B． 15．设混合溶液浓度为x，则m×p%+n×q%=(m+n)x． 二、填空题 提示： 1．(-1)+(-1)-(-1)×(-1)÷(-1)=(-2)-(-1)=-1． 4．(-1991)-|3-|-31||=-1991-28=-2019． 6．1990n的末四位数字应为1991+8009的末四位数字．即为0000，即1990n末位至少要4个0，所以n的最小值为4． (-1993)]=-1991． 10．(-1.7)2=2.89，不超过2.89的最大整数为2． 去分母得 4(2x-1)-(10x+1)=3(2x+1)-12． 8x-4-10x-1=6x+3-12． 8x-10x-6x=3-12+4+1． 13．十位数比个位数大7的两位数有70，81，92，个位数比十位数大7的两位数有18，29，其中只有29是质数． b+d+7=-1+3+7=9，所以各行各列两条对角线上三个数之和等于9．易求得a=4，e=1，c=5，f=0． 希望杯第二届（1991年）初中一年级第2试试题 一、 选择题（每题1分，共10分） 1．设a，b为正整数（a＞b）．p是a，b的最大公约数，q是a，b的最小公倍数．则p，q，a，b的大小关系是 ( ) A．p≥q≥a＞b． B．q≥a＞b≥p． C．q≥p≥a＞b． D．p≥a＞b≥q． 2．一个分数的分子与分母都是正整数，且分子比分母小1,若分子和分母都减去1,则所得分数为小于的正数,则满足上述条件的分数共有( ) A．5个． B．6个． C．7个． D．8个． 3.下列四个等式:=0,ab=0,a2=0,a2+b2=0中，可以断定a必等于0的式子共有 ( ) A．3个． B．2个． C．1个． D．0个． 4．a为有理数．下列说法中正确的是( ) A．(a+1) 2的值是正数．B．a2+1的值是正数．C．-(a+1)2的值是负数．D．-a2+1的值小于1． 5.如果1<x<2,则代数式的值是( ) A．-1． B．1． C．2． D．3． 6．a，b，c均为有理数．在下列 甲：若a＞b，则ac2＞bc2．乙：若ac2＞bc2，则a＞b．两个结论中， ( ) A．甲、乙都真． B．甲真，乙不真．C．甲不真，乙真． D．甲、乙都不真． 7．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示,式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为 ( ) A．2a+3b-c． B．3b-c．C．b+c． D．c-b． 8．①若a=0，b≠0，方程ax=b无解．②若a=0，b≠0，不等式ax＞b无解．③若a≠0,则方程ax=b有唯一解x=;④若a≠0,则不等式ax>b的解为x>.则( ) A．①、②、③、④都正确．B．①、③正确，②、④不正确． C．①、③不正确，②、④正确．D．①、②、③、④都不正确． 9.若abc=1,则的值是( ) A．1． B．0． C．-1． D．-2． 10．有一份选择题试卷共六道小题．其得分标准是：一道小题答对得8分，答错得0分，不答得2分．某同学共得了20分，则他( ) A．至多答对一道小题．B．至少答对三道小题． C．至少有三道小题没答．D．答错两道小题． 二、填空题（每题1分，共10分） 1． 绝对值大于13并且小于15.9的所有整数的乘积等于______． 2． 单项式与是同类项,则m=________. 3． 化简:=_________. 4． 现在弟弟的年龄是哥哥年龄的,而9年前弟弟的年龄只是哥哥的,则哥哥现在的年趟龄是_____. 5． 某同学上学时步行，放学回家乘车往返全程共用了1.5小时，若他上学、下学都乘车．则只需0.5小时．若他上学、下学都步行，则往返全程要用______小时． 6． 四个连续正整数的倒数之和是,则这四个正整数两两乘积之和等于______． 7．1.23452+0.76552+2.469×0.7655=______． 8.在计算一个正整数乘以的运算时,某同学误将错写为3.57,结果与正确答案相差14,则正确的乘积是_______. 9．某班学生人数不超过50人．元旦上午全班学生的去参加歌咏比赛, 全班学生的去玩乒乓球,而其余学生都去看电影,则看电影的学生有________人. 10．游泳者在河中逆流而上．于桥A下面将水壶遗失被水冲走．继续前游20分钟后他发现水壶遗失，于是立即返回追寻水壶．在桥A下游距桥A 2公里的桥B下面追到了水壶．那么该河水流的速度是每小时______公里． 三、解答题（每题5分，共10分，要求：写出完整的推理、计算过程，语言力求简明，字迹与绘图力求清晰、工整） 1.有一百名小运动员所穿运动服的号码恰是从1到100这一百个自然数，问从这100名运动员中至少要选出多少人，才能使在被选出的人中必有两人，他们运动服的号码数相差9？请说明你的理由． 2．少年科技组制成一台单项功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数x1，只显示不运算，接着再输入整数x2后则显示|x1-x2|的结果，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差取绝对值的运算，现小明将从1到1991这一千九百九十一个整数随意地一个一个地输入，全部输入完毕之后显示的最后结果设为p．试求出p的最大值，并说明理由． 答案与提示 一、选择题 1．B 2．A 3．A 4．B 5．B 6．C 7．C 8．B 9．A 10．D 提示： 1．两个自然数的最小公倍数一定不小于两数中较大者．两个自然数的最大公约数一定不大于两数中较小者．所以q≥a＞b≥p．选B． ，也有a必为0．所以a必为0的式子共有3个． 选A． 4．a=-1时(a+1)2=0，A不真；a=-1时-(a+1)2=0，C也不真；a=0时-a2+1=1，D不真；只有对任意有理数a，a2+1＞0成立．选B． 5．当1＜x＜2时，x＞0，x-1＞0，x-2＜0． ∴|x|=x，|x-1|=x-1，|x-2|=2-x． =-1-(-1)+1=1．选B． 6．若c=0，甲不正确．对于乙，若ac2＞bc2，可推出c≠0，∴c2＞0，进而推出a＞b，乙正确．选C． c-b>0，|b-c|=c-b．∴|a|+|b|+|a+b|+|b-c|=-a+b+a+b+c-b=b+c．选C． 8．若a=0，b=-1，0x＞-1，可见②无解不 9．abc=1，则a，b，c均不为0． 选A． 10．设选对x题，不选的有z题，选错的有y题．依题意有x+y+z=6，8x+2z=20(x≥0，y≥0，z≥0，且都为整数）．解之得x=2，y=2，z=2，选D． 二、填空题 提示： 1．绝对值大于13而小于15.9的所有整数是-15，-14，14，15，其乘积为(-14)(-15)(14)(15)=44100． 3．令n=19901990，n-1=19901989，19901991=n+1． 则分母199019912-19901989×19901991=(n+1)2-(n-1)(n+1)=2(n+1)． 5．设步行速度为x，乘车速度为y，学校到家路程为s，则 6．设所求的四个连续整数分别为a，a+1， ∴a=2不合题设条件． 和为3×4+3×5+3×6+4×5+4×6+5×6=119． 7．令x=1.2345，y=0.7655，则2xy=2.469×0.7655，1.23452+0.76552+2.469×0.7655=(x+y)2=(1.2345+0.7655)2=22=4 9．显然全班人数被9整除，也被4整除，所以被4和9的最小公倍36整除，但全班人数小于50，可见全班总计36人，看电影的同学为36-8-9=19． 10．设该河水速每小时x公里．游泳者每小时 解得x=3．即该河水速每小时3公里． 三、解答题 1．若选出54个人，他们的号码是1，2，…，8，9，19，20，…，26，27，37，38…，44，45，55，56，…，62，63，73，74，…，80，81，91，92…，98，99．的时候，任两个人号码数之差均不等于9． 可见，所选的人数必≥55才有可能． 我们证明，至少要选出55人时一定存在两个运动员号码之差恰是9． 被选出的55人有55个不同号码数，由于55=6×9+1，所以其中必有7个号码数被9除余数是相同的．但由1—100这一百个自然数中，被9除余数相同的数最多为12个数．因此7个数中一定有两个是“大小相邻”的，它们的差等于9． 所以至少要选出55名小运动员，才能使其中必有两人运动服的号码数相差9． 2．由于输入的数都是非负数．当x1≥0，x2≥0时，|x1-x2|不超过x1，x2中最大的数．对x1≥0，x2≥0，x3≥0，则||x1-x2|-x3|不超过x1，x2，x3中最大的数．小明输入这1991个数设次序是x1，x2，…，x1991，相当于计算：||…||x1-x2|-x3|……-x1990|-x1991|=P．因此P的值≤1991． 另外从运算奇偶性分析，x1，x2为整数． |x1-x2|与x1+x2奇偶性相同．因此P与x1+x2+…+x1991的奇偶性相同． 但x1+x2+…+x1991=1+2+…1991=偶数．于是断定P≤1990．我们证明P可以取到1990． 对1，2，3，4，按如下次序|||1-3|-4|-2|=0． |||(4k+1)-(4k+3)|(4k+4)|-(4k+2)=|0，对k=0，1，2，…均成立．因此，1-1988可按上述办法依次输入最后显示结果为0．而后||1989-1990|-1991|=1990． 所以P的最大值为1990． 希望杯第三届（1992年）初中一年级第1试试题 一、选择题（每题1分，共10分） 1.有理数-一定不是( ) A．正整数． B．负整数．C．负分数． D．0． 2．下面给出的四对单项式中，是同类项的一对是 ( ) A.x2y与-3x2z; B.3.22m2n3与n3m2; C.0.2a2b与0.2ab2; D.11abc与ab. 3．(x-1)-(1-x)+(x+1)等于 ( ) A．3x-3． B．x-1．C．3x-1． D．x-3． 4．两个10次多项式的和是 ( ) A．20次多项式．B．10次多项式．C．100次多项式．D．不高于10次的多项式． 5．若a+1＜0，则在下列每组四个数中，按从小到大的顺序排列的一组是 ( ) A．a，-1，1，-a．B．-a，-1，1，a．C．-1，-a，a，1．D．-1，a，1，-a． 6．a=-123.4-(-123.5)，b=123.4-123.5，c=123.4-(-123.5)，则 ( ) A．c＞b＞a． B．c＞a＞b．C．a＞b＞c． D．b＞c＞a． 7．若a＜0，b＞0，且|a|＜|b|，那么下列式子中结果是正数的是 ( ) A．(a-b)(ab+a)． B．(a+b)(a-b)．C．(a+b)(ab+a)． D．(ab-b)(a+b)． 8．从2a+5b减去4a-4b的一半，应当得到( ) A．4a-b． B．b-a．C．a-9b． D．7b． 9．a，b，c，m都是有理数，并且a+2b+3c=m，a+b+2c=m，那么b与c ( ) A．互为相反数． B．互为倒数． C．互为负倒数． D．相等． 10．张梅写出了五个有理数，前三个有理数的平均值为15，后两个有理数的平均值是10，那么张梅写出的五个有理数的平均值是 ( ) A.5; B.8; C.12; D.13. 二、填空题（每题1分，共10分） 1． 2+(-3)+(-4)+5+6+(-7)+(-8)+9+10+(-11)+(-12)+13+14+15=______． 2． =_________________. 3.=_________________. 4.若P=a2+3ab+b2，Q=a2-3ab+b2，则代入到代数式P-[Q-2P-(-P-Q)]中，化简后，是______． 5.1992-{1991-1992[1991-1990(1991-1992)1990]}=_______________. 6.六个单项式15a2,xy,a2b3,0.11m3,-abc,-的数字系数之和等于_____________. 7．小华写出四个有理数，其中每三数之和分别为2，17，-1，-3，那么小华写出的四个有理数的乘积等于______． 8．一种小麦磨成面粉后，重量要减