2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅱ）（含解析版）.doc

2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）=（　　） A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i 2．（5分）设集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则B=（　　） A．{1，﹣3} B．{1，0} C．{1，3} D．{1，5} 3．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（　　） A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 4．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（　　） A．90π B．63π C．42π D．36π 5．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（　　） A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9 6．（5分）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（　　） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 7．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（　　） A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 8．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（5分）若双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为（　　） A．2 B． C． D． 10．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 11．（5分）若x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（　　） A．﹣1 B．﹣2e﹣3 C．5e﹣3 D．1 12．（5分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+）的最小值是（　　） A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．（5分）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次．X表示抽到的二等品件数，则DX=　 　． 14．（5分）函数f（x）=sin2x+cosx﹣（x∈[0，]）的最大值是　 　． 15．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=3，S4=10，则 =　 　． 16．（5分）已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|=　 　． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分。 17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2． （1）求cosB； （2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b． 18．（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图： （1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率； （2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关： 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法 （3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）． 附： P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 K2=． 19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点． （1）证明：直线CE∥平面PAB； （2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值． 20．（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：+y2=1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足=． （1）求点P的轨迹方程； （2）设点Q在直线x=﹣3上，且•=1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F． 21．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0． （1）求a； （2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 　 （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4． （1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|•|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程； （2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值． 　 [选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．已知a＞0，b＞0，a3+b3=2．证明： （1）（a+b）（a5+b5）≥4； （2）a+b≤2． 　 2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ） 参考答案与试题解析 　 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）=（　　） A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i 【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚数单位i的幂运算性质，求出结果． 【解答】解：===2﹣i， 故选：D． 【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数． 　 2．（5分）设集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则B=（　　） A．{1，﹣3} B．{1，0} C．{1，3} D．{1，5} 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；4O：定义法；5J：集合． 【分析】由交集的定义可得1∈A且1∈B，代入二次方程，求得m，再解二次方程可得集合B． 【解答】解：集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}． 若A∩B={1}，则1∈A且1∈B， 可得1﹣4+m=0，解得m=3， 即有B={x|x2﹣4x+3=0}={1，3}． 故选：C． 【点评】本题考查集合的运算，主要是交集的求法，同时考查二次方程的解法，运用定义法是解题的关键，属于基础题． 　 3．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（　　） A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 【考点】89：等比数列的前n项和．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列． 【分析】设塔顶的a1盏灯，由题意{an}是公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式列出方程，能求出结果． 【解答】解：设塔顶的a1盏灯， 由题意{an}是公比为2的等比数列， ∴S7==381， 解得a1=3． 故选：B． 【点评】本题考查等比数列的首项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用． 　 4．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（　　） A．90π B．63π C．42π D．36π 【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何． 【分析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，即可求出几何体的体积． 【解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半， V=π•32×10﹣•π•32×6=63π， 故选：B． 【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 5．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（　　） A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式． 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值即可． 【解答】解：x、y满足约束条件的可行域如图： z=2x+y 经过可行域的A时，目标函数取得最小值， 由解得A（﹣6，﹣3）， 则z=2x+y 的最小值是：﹣15． 故选：A． 【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力． 　 6．（5分）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（　　） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；49：综合法；5O：排列组合． 【分析】把工作分成3组，然后安排工作方式即可． 【解答】解：4项工作分成3组，可得：=6， 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成， 可得：6×=36种． 故选：D． 【点评】本题考查排列组合的实际应用，注意分组方法以及排列方法的区别，考查计算能力． 　 7．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（　　） A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 【考点】F4：进行简单的合情推理．菁优网版权所有 【专题】2A：探究型；35：转化思想；48：分析法；5M：推理和证明． 【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案 【解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话， 甲不知自己的成绩 →乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩） →乙看到了丙的成绩，知自己的成绩 →丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩， 给甲看乙丙成绩，甲不知道自已的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，则甲是良，假定乙丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自已的成绩了．给乙看丙成绩，乙没有说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道自己成绩．给丁看甲成绩，因为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自已的成绩了 故选：D． 【点评】本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，属于中档题． 　 8．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图． 【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，K值，当K=7时，程序终止即可得到结论． 【解答】解：执行程序框图，有S=0，K=1，a=﹣1，代入循环， 第一次满足循环，S=﹣1，a=1，K=2； 满足条件，第二次满足循环，S=1，a=﹣1，K=3； 满足条件，第三次满足循环，S=﹣2，a=1，K=4； 满足条件，第四次满足循环，S=2，a=﹣1，K=5； 满足条件，第五次满足循环，S=﹣3，a=1，K=6； 满足条件，第六次满足循环，S=3，a=﹣1，K=7； K≤6不成立，退出循环输出S的值为3． 故选：B． 【点评】本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查，比较基础． 　 9．（5分）若双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为（　　） A．2 B． C． D． 【考点】KC：双曲线的性质；KJ：圆与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可． 【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0， 圆（x﹣2）2+y2=4的圆心（2，0），半径为：2， 双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2， 可得圆心到直线的距离为：=， 解得：，可得e2=4，即e=2． 故选：A． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，圆的方程的应用，考查计算能力． 　 10．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有 【专题】31：数形结合；4O：定义法；5G：空间角． 【分析】【解法一】设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，得出AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出AC、MQ，MP和∠MNP的余弦值即可． 【解法二】通过补形的办法，把原来的直三棱柱变成直四棱柱，解法更简洁． 【解答】解：【解法一】如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点， 则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角 （因异面直线所成角为（0，]）， 可知MN=AB1=， NP=BC1=； 作BC中点Q，则△PQM为直角三角形； ∵PQ=1，MQ=AC， △ABC中，由余弦定理得 AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC =4+1﹣2×2×1×（﹣） =7， ∴AC=， ∴MQ=； 在△MQP中，MP==； 在△PMN中，由余弦定理得 cos∠MNP===﹣； 又异面直线所成角的范围是（0，]， ∴AB1与BC1所成角的余弦值为． 【解法二】如图所示， 补成四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，求∠BC1D即可； BC1=，BD==， C1D=， ∴+BD2=， ∴∠DBC1=90°， ∴cos∠BC1D==． 故选：C． 【点评】本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查了空间中的平行关系应用问题，是中档题． 　 11．（5分）若x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（　　） A．﹣1 B．﹣2e﹣3 C．5e﹣3 D．1 【考点】6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用． 【分析】求出函数的导数，利用极值点，求出a，然后判断函数的单调性，求解函数的极小值即可． 【解答】解：函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1， 可得f′（x）=（2x+a）ex﹣1+（x2+ax﹣1）ex﹣1， x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1的极值点， 可得：f′（﹣2）=（﹣4+a）e﹣3+（4﹣2a﹣1）e﹣3=0，即﹣4+a+（3﹣2a）=0． 解得a=﹣1． 可得f′（x）=（2x﹣1）ex﹣1+（x2﹣x﹣1）ex﹣1， =（x2+x﹣2）ex﹣1，函数的极值点为：x=﹣2，x=1， 当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＞0函数是增函数，x∈（﹣2，1）时，函数是减函数， x=1时，函数取得极小值：f（1）=（12﹣1﹣1）e1﹣1=﹣1． 故选：A． 【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查计算能力． 　 12．（5分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+）的最小值是（　　） A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1 【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有 【专题】31：数形结合；4R：转化法；5A：平面向量及应用． 【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可． 【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点， 则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0）， 设P（x，y），则=（﹣x，﹣y），=（﹣1﹣x，﹣y），=（1﹣x，﹣y）， 则•（+）=2x2﹣2y+2y2=2[x2+（y﹣）2﹣] ∴当x=0，y=时，取得最小值2×（﹣）=﹣， 故选：B． 【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解决本题的关键． 　 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．（5分）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次．X表示抽到的二等品件数，则DX=　1.96　． 【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；5I：概率与统计． 【分析】判断概率满足的类型，然后求解方差即可． 【解答】解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，p=0.02，n=100， 则DX=npq=np（1﹣p）=100×0.02×0.98=1.96． 故答案为：1.96． 【点评】本题考查离散性随机变量的期望与方差的求法，判断概率类型满足二项分布是解题的关键． 　 14．（5分）函数f（x）=sin2x+cosx﹣（x∈[0，]）的最大值是　1　． 【考点】HW：三角函数的最值．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；33：函数思想；4J：换元法；51：函数的性质及应用；57：三角函数的图像与性质． 【分析】同角的三角函数的关系以及二次函数的性质即可求出． 【解答】解：f（x）=sin2x+cosx﹣=1﹣cos2x+cosx﹣， 令cosx=t且t∈[0，1]， 则y=﹣t2+t+=﹣（t﹣）2+1， 当t=时，f（t）max=1， 即f（x）的最大值为1， 故答案为：1 【点评】本题考查了同角的三角函数的关系以及二次函数的性质，属于基础题 　 15．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=3，S4=10，则 =　　． 【考点】85：等差数列的前n项和；8E：数列的求和．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列． 【分析】利用已知条件求出等差数列的前n项和，然后化简所求的表达式，求解即可． 【解答】解：等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=3，S4=10，S4=2（a2+a3）=10， 可得a2=2，数列的首项为1，公差为1， Sn=，=， 则 =2[1﹣++…+]=2（1﹣）=． 故答案为：． 【点评】本题考查等差数列的求和，裂项消项法求和的应用，考查计算能力． 　 16．（5分）已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|=　6　． 【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】求出抛物线的焦点坐标，推出M坐标，然后求解即可． 【解答】解：抛物线C：y2=8x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点， 可知M的横坐标为：1，则M的纵坐标为：， |FN|=2|FM|=2=6． 故答案为：6． 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力． 　 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分。 17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2． （1）求cosB； （2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b． 【考点】GS：二倍角的三角函数；HP：正弦定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；58：解三角形． 【分析】（1）利用三角形的内角和定理可知A+C=π﹣B，再利用诱导公式化简sin（A+C），利用降幂公式化简8sin2，结合sin2B+cos2B=1，求出cosB， （2）由（1）可知sinB=，利用勾面积公式求出ac，再利用余弦定理即可求出b． 【解答】解：（1）sin（A+C）=8sin2， ∴sinB=4（1﹣cosB）， ∵sin2B+cos2B=1， ∴16（1﹣cosB）2+cos2B=1， ∴16（1﹣cosB）2+cos2B﹣1=0， ∴16（cosB﹣1）2+（cosB﹣1）（cosB+1）=0， ∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0， ∴cosB=； （2）由（1）可知sinB=， ∵S△ABC=ac•sinB=2， ∴ac=， ∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2×× =a2+c2﹣15=（a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4， ∴b=2． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的面积公式，二倍角公式和同角的三角函数的关系，属于中档题 　 18．（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图： （1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率； （2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关： 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法 （3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）． 附： P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 K2=． 【考点】B8：频率分布直方图；BE：用样本的数字特征估计总体的数字特征；BL：独立性检验．菁优网版权所有 【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5I：概率与统计． 【分析】（1）由题意可知：P（A）=P（BC）=P（B）P（C），分布求得发生的频率，即可求得其概率； （2）完成2×2列联表：求得观测值，与参考值比较，即可求得有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关： （3）根据频率分布直方图即可求得其中位数． 【解答】解：（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”， 由P（A）=P（BC）=P（B）P（C）， 则旧养殖法的箱产量低于50kg：（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62， 故P（B）的估计值0.62， 新养殖法的箱产量不低于50kg：（0.068+0.046+0.010+0.008）×5=0.66， 故P（C）的估计值为， 则事件A的概率估计值为P（A）=P（B）P（C）=0.62×0.66=0.4092； ∴A发生的概率为0.4092； （2）2×2列联表： 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 总计 旧养殖法 62 38 100 新养殖法 34 66 100 总计 96 104 200 则K2=≈15.705， 由15.705＞6.635， ∴有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关； （3）由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图的面积： （0.004+0.020+0.044）×5=0.34， 箱产量低于55kg的直方图面积为： （0.004+0.020+0.044+0.068）×5=0.68＞0.5， 故新养殖法产量的中位数的估计值为：50+≈52.35（kg）， 新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35（kg）． 【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查独立性检验，考查计算能力，属于中档题． 　 19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点． （1）证明：直线CE∥平面PAB； （2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值． 【考点】LS：直线与平面平行；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有 【专题】31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角． 【分析】（1）取PA的中点F，连接EF，BF，通过证明CE∥BF，利用直线与平面平行的判定定理证明即可． （2）利用已知条件转化求解M到底面的距离，作出二面角的平面角，然后求解二面角M﹣AB﹣D的余弦值即可． 【解答】（1）证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点， 所以EFAD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，∴BC∥AD， ∴BCEF是平行四边形，可得CE∥BF，BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB， ∴直线CE∥平面PAB； （2）解：四棱锥P﹣ABCD中， 侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD， ∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点． 取AD的中点O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，设AD=2，则AB=BC=1，OP=， ∴∠PCO=60°，直线BM与底面ABCD所成角为45°， 可得：BN=MN，CN=MN，BC=1， 可得：1+BN2=BN2，BN=，MN=， 作NQ⊥AB于Q，连接MQ，AB⊥MN， 所以∠MQN就是二面角M﹣AB﹣D的平面角，MQ= =， 二面角M﹣AB﹣D的余弦值为：=． 【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力． 　 20．（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：+y2=1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足=． （1）求点P的轨迹方程； （2）设点Q在直线x=﹣3上，且•=1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F． 【考点】J3：轨迹方程；KL：直线与椭圆的综合．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；48：分析法；5A：平面向量及应用；5B：直线与圆． 【分析】（1）设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），设P（x，y），运用向量的坐标运算，结合M满足椭圆方程，化简整理可得P的轨迹方程； （2）设Q（﹣3，m），P（cosα，sinα），（0≤α＜2π），运用向量的数量积的坐标表示，可得m，即有Q的坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求得OQ，PF的斜率，由两直线垂直的条件：向量数量积为0，即可得证． 【解答】解：（1）设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0）， 设P（x，y），由点P满足=． 可得（x﹣x0，y）=（0，y0）， 可得x﹣x0=0，y=y0， 即有x0=x，y0=， 代入椭圆方程+y2=1，可得+=1， 即有点P的轨迹方程为圆x2+y2=2； （2）证明：设Q（﹣3，m），P（cosα，sinα），（0≤α＜2π）， •=1，可得（cosα，sinα）•（﹣3﹣cosα，m﹣sinα）=1， 即为﹣3cosα﹣2cos2α+msinα﹣2sin2α=1， 当α=0时，上式不成立，则0＜α＜2π， 解得m=， 即有Q（﹣3，）， 椭圆+y2=1的左焦点F（﹣1，0）， 由•=（﹣1﹣cosα，﹣sinα）•（﹣3，） =3+3cosα﹣3（1+cosα）=0． 可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F． 另解：设Q（﹣3，t），P（m，n），由•=1， 可得（m，n）•（﹣3﹣m，t﹣n）=﹣3m﹣m2+nt﹣n2=1， 又P在圆x2+y2=2上，可得m2+n2=2， 即有nt=3+3m， 又椭圆的左焦点F（﹣1，0）， •=（﹣1﹣m，﹣n）•（﹣3，t）=3+3m﹣nt =3+3m﹣3﹣3m=0， 则⊥， 可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F． 【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用坐标转移法和向量的加减运算，考查圆的参数方程的运用和直线的斜率公式，以及向量的数量积的坐标表示和两直线垂直的条件：向量数量积为0，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 　 21．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0． （1）求a； （2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 【考点】6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用． 【分析】（1）通过分析可知f（x）≥0等价于h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0，进而利用h′（x）=a﹣可得h（x）min=h（），从而可得结论； （2）通过（1）可知f（x）=x2﹣x﹣xlnx，记t（x）=f′（x）=2x﹣2﹣lnx，解不等式可知t（x）min=t（）=ln2﹣1＜0，从而可知f′（x）=0存在两根x0，x2，利用f（x）必存在唯一极大值点x0及x0＜可知f（x0）＜，另一方面可知f（x0）＞f（）=． 【解答】（1）解：因为f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx=x（ax﹣a﹣lnx）（x＞0）， 则f（x）≥0等价于h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0，求导可知h′（x）=a﹣． 则当a≤0时h′（x）＜0，即y=h（x）在（0，+∞）上单调递减， 所以当x0＞1时，h（x0）＜h（1）=0，矛盾，故a＞0． 因为当0＜x＜时h′（x）＜0、当x＞时h′（x）＞0， 所以h（x）min=h（）， 又因为h（1）=a﹣a﹣ln1=0， 所以=1，解得a=1； 另解：因为f（1）=0，所以f（x）≥0等价于f（x）在x＞0时的最小值为f（1）， 所以等价于f（x）在x=1处是极小值， 所以解得a=1； （2）证明：由（1）可知f（x）=x2﹣x﹣xlnx，f′（x）=2x﹣2﹣lnx， 令f′（x）=0，可得2x﹣2﹣lnx=0，记t（x）=2x﹣2﹣lnx，则t′（x）=2﹣， 令t′（x）=0，解得：x=， 所以t（x）在区间（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增， 所以t（x）min=t（）=ln2﹣1＜0，从而t（x）=0有解，即f′（x）=0存在两根x0，x2， 且不妨设f′（x）在（0，x0）上为正、在（x0，x2）上为负、在（x2，+∞）上为正， 所以f（x）必存在唯一极大值点x0，且2x0﹣2﹣lnx0=0， 所以f（x0）=﹣x0﹣x0lnx0=﹣x0+2x0﹣2=x0﹣， 由x0＜可知f（x0）＜（x0﹣）max=﹣+=； 由f′（）＜0可知x0＜＜， 所以f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，）上单调递减， 所以f（x0）＞f（）=； 综上所述，f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题． 　 （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4． （1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|•|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程； （2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值． 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有 【专题】38：对应思想；49：综合法；5S：坐标系和参数方程． 【分析】（1）设P（x，y），利用相似得出M点坐标，根据|OM|•|OP|=16列方程化简即可； （2）求出曲线C2的圆心和半径，得出B到OA的最大距离，即可得出最大面积． 【解答】解：（1）曲线C1的直角坐标方程为：x=4， 设P（x，y），M（4，y0），则，∴y0=， ∵|OM||OP|=16， ∴=16， 即（x2+y2）（1+）=16， ∴x4+2x2y2+y4=16x2，即（x2+y2）2=16x2， 两边开方得：x2+y2=4x， 整理得：（x﹣2）2+y2=4（x≠0）， ∴点P的轨迹C2的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2=4（x≠0）． （2）点A的直角坐标为A（1，），显然点A在曲线C2上，|OA|=2， ∴曲线C2的圆心（2，0）到弦OA的距离d==， ∴△AOB的最大面积S=|OA|•（2+）=2+． 【点评】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，轨迹方程的求解，直线与圆的位置关系，属于中档题． 　 [选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．已知a＞0，b＞0，a3+b3=2．证明： （1）（a+b）（a5+b5）≥4； （2）a+b≤2． 【考点】R6：不等式的证明．菁优网版权所有 【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式． 【分析】（1）由柯西不等式即可证明， （2）由a3+b3=2转化为=ab，再由均值不等式可得：=ab≤（）2，即可得到（a+b）3≤2，问题得以证明． 【解答】证明：（1）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（+）2=（a3+b3）2≥4， 当且仅当=，即a=b=1时取等号， （2）∵a