2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅲ）（含解析版）.doc

2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ） 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（　　） A．[2，3] B．（﹣∞，2]∪[3，+∞） C．[3，+∞） D．（0，2]∪[3，+∞） 2．（5分）若z=1+2i，则=（　　） A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i 3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（　　） A．30° B．45° C．60° D．120° 4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（　　） A．各月的平均最低气温都在0℃以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均最高气温高于20℃的月份有5个 5．（5分）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（　　） A． B． C．1 D． 6．（5分）已知a=，b=，c=，则（　　） A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA等于（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（　　） A．18+36 B．54+18 C．90 D．81 10．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（　　） A．4π B． C．6π D． 11．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（　　） A． B． C． D． 12．（5分）定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（　　） A．18个 B．16个 C．14个 D．12个 　 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为　 　． 14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移　 　个单位长度得到． 15．（5分）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程是　 　． 16．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=　 　． 　 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12分）已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan，其中λ≠0． （1）证明{an}是等比数列，并求其通项公式； （2）若S5=，求λ． 18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图． 注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014． （Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明； （Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量． 附注： 参考数据：yi=9.32，tiyi=40.17，=0.55，≈2.646． 参考公式：相关系数r=， 回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： =，=﹣． 19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点． （1）证明：MN∥平面PAB； （2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值． 20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点． （Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ； （Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程． 21．（12分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A． （Ⅰ）求f′（x）； （Ⅱ）求A； （Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A． 　 请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲] 22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点． （1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小； （2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD． 　 [选修4-4：坐标系与参数方程] 23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2． （1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程； （2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标． 　 [选修4-5：不等式选讲] 24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a． （1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集； （2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围． 　 2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ） 参考答案与试题解析 　 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（　　） A．[2，3] B．（﹣∞，2]∪[3，+∞） C．[3，+∞） D．（0，2]∪[3，+∞） 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】37：集合思想；4O：定义法；5J：集合． 【分析】求出S中不等式的解集确定出S，找出S与T的交集即可． 【解答】解：由S中不等式解得：x≤2或x≥3，即S=（﹣∞，2]∪[3，+∞）， ∵T=（0，+∞）， ∴S∩T=（0，2]∪[3，+∞）， 故选：D． 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 　 2．（5分）若z=1+2i，则=（　　） A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i 【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数． 【分析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可． 【解答】解：z=1+2i，则===i． 故选：C． 【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力． 　 3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（　　） A．30° B．45° C．60° D．120° 【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；41：向量法；49：综合法；5A：平面向量及应用． 【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值． 【解答】解：，； ∴； 又0°≤∠ABC≤180°； ∴∠ABC=30°． 故选：A． 【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角． 　 4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（　　） A．各月的平均最低气温都在0℃以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均最高气温高于20℃的月份有5个 【考点】F4：进行简单的合情推理．菁优网版权所有 【专题】31：数形结合；4A：数学模型法；5M：推理和证明． 【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可． 【解答】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上，正确 B．七月的平均温差大约在10°左右，一月的平均温差在5°左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10°，正确 D．平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，故D错误， 故选：D． 【点评】本题主要考查推理和证明的应用，根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图，利用图象法进行判断是解决本题的关键． 　 5．（5分）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（　　） A． B． C．1 D． 【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；56：三角函数的求值． 【分析】将所求的关系式的分母“1”化为（cos2α+sin2α），再将“弦”化“切”即可得到答案． 【解答】解：∵tanα=， ∴cos2α+2sin2α====． 故选：A． 【点评】本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题． 　 6．（5分）已知a=，b=，c=，则（　　） A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 【考点】4Y：幂函数的单调性、奇偶性及其应用．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用． 【分析】b==，c==，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得到答案． 【解答】解：∵a==， b=， c==， 综上可得：b＜a＜c， 故选：A． 【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档． 　 7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图． 【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a，b，s，n的值，当s=20时满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4． 【解答】解：模拟执行程序，可得 a=4，b=6，n=0，s=0 执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1 不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=10，n=2 不满足条件s＞16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3 不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=20，n=4 满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4． 故选：B． 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的a，b，s的值是解题的关键，属于基础题． 　 8．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA等于（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 【考点】HT：三角形中的几何计算．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；44：数形结合法；58：解三角形． 【分析】作出图形，令∠DAC=θ，依题意，可求得cosθ===，sinθ=，利用两角和的余弦即可求得答案． 【解答】解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC=θ， ∵在△ABC中，B=，BC边上的高AD=h=BC=a， ∴BD=AD=a，CD=a， 在Rt△ADC中，cosθ===，故sinθ=， ∴cosA=cos（+θ）=coscosθ﹣sinsinθ=×﹣×=﹣． 故选：C． 【点评】本题考查解三角形中，作出图形，令∠DAC=θ，利用两角和的余弦求cosA是关键，也是亮点，属于中档题． 　 9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（　　） A．18+36 B．54+18 C．90 D．81 【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何． 【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，进而得到答案． 【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱， 其底面面积为：3×6=18， 侧面的面积为：（3×3+3×）×2=18+18， 故棱柱的表面积为：18×2+18+18=54+18． 故选：B． 【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键． 　 10．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（　　） A．4π B． C．6π D． 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何． 【分析】根据已知可得直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，代入球的体积公式，可得答案． 【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8， ∴AC=10． 故三角形ABC的内切圆半径r==2， 又由AA1=3， 故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为， 此时V的最大值=， 故选：B． 【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键． 　 11．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（　　） A． B． C． D． 【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+a），分别令x=﹣c，x=0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值． 【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0）， 设直线AE的方程为y=k（x+a）， 令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka）， 设OE的中点为H，可得H（0，）， 由B，H，M三点共线，可得kBH=kBM， 即为=， 化简可得=，即为a=3c， 可得e==． 另解：由△AMF∽△AEO， 可得=， 由△BOH∽△BFM， 可得==， 即有=即a=3c， 可得e==． 故选：A． 【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 　 12．（5分）定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（　　） A．18个 B．16个 C．14个 D．12个 【考点】8B：数列的应用．菁优网版权所有 【专题】16：压轴题；23：新定义；38：对应思想；4B：试验法． 【分析】由新定义可得，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当m=4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案． 【解答】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有： 0，0，0，0，1，1，1，1； 0，0，0，1，0，1，1，1； 0，0，0，1，1，0，1，1； 0，0，0，1，1，1，0，1； 0，0，1，0，0，1，1，1； 0，0，1，0，1，0，1，1； 0，0，1，0，1，1，0，1； 0，0，1，1，0，1，0，1； 0，0，1，1，0，0，1，1； 0，1，0，0，0，1，1，1； 0，1，0，0，1，0，1，1； 0，1，0，0，1，1，0，1； 0，1，0，1，0，0，1，1； 0，1，0，1，0，1，0，1．共14个． 故选：C． 【点评】本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压轴题． 　 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为　　． 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】59：不等式的解法及应用． 【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y轴的截距最大值． 【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大， 由得D（1，）， 所以z=x+y的最大值为1+； 故答案为：． 【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目标函数，确定求最值的条件． 　 14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移　　个单位长度得到． 【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有 【专题】33：函数思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质． 【分析】令f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），则f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ），依题意可得2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），由﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），可得答案． 【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣）， ∴f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）（φ＞0）， 令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣）， 则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z）， 即φ=﹣2kπ（k∈Z）， 当k=0时，正数φmin=， 故答案为：． 【点评】本题考查函数y=sinx的图象变换得到y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象，得到﹣φ=2kπ﹣（k∈Z）是关键，也是难点，属于中档题． 　 15．（5分）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程是　2x+y+1=0　． 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；51：函数的性质及应用；52：导数的概念及应用． 【分析】由偶函数的定义，可得f（﹣x）=f（x），即有x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程． 【解答】解：f（x）为偶函数，可得f（﹣x）=f（x）， 当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，即有 x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，f′（x）=﹣3， 可得f（1）=ln1﹣3=﹣3，f′（1）=1﹣3=﹣2， 则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程为y﹣（﹣3）=﹣2（x﹣1）， 即为2x+y+1=0． 故答案为：2x+y+1=0． 【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，同时考查函数的奇偶性的定义和运用，考查运算能力，属于中档题． 　 16．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=　4　． 【考点】J8：直线与圆相交的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5B：直线与圆． 【分析】先求出m，可得直线l的倾斜角为30°，再利用三角函数求出|CD|即可． 【解答】解：由题意，|AB|=2，∴圆心到直线的距离d=3， ∴=3， ∴m=﹣ ∴直线l的倾斜角为30°， ∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点， ∴|CD|==4． 故答案为：4． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础． 　 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12分）已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan，其中λ≠0． （1）证明{an}是等比数列，并求其通项公式； （2）若S5=，求λ． 【考点】87：等比数列的性质；8H：数列递推式．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列． 【分析】（1）根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系进行递推，结合等比数列的定义进行证明求解即可． （2）根据条件建立方程关系进行求解就可． 【解答】解：（1）∵Sn=1+λan，λ≠0． ∴an≠0． 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=1+λan﹣1﹣λan﹣1=λan﹣λan﹣1， 即（λ﹣1）an=λan﹣1， ∵λ≠0，an≠0．∴λ﹣1≠0．即λ≠1， 即=，（n≥2）， ∴{an}是等比数列，公比q=， 当n=1时，S1=1+λa1=a1， 即a1=， ∴an=•（）n﹣1． （2）若S5=， 则若S5=1+λ[•（）4]=， 即（）5=﹣1=﹣， 则=﹣，得λ=﹣1． 【点评】本题主要考查数列递推关系的应用，根据n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1的关系进行递推是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力． 　 18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图． 注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014． （Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明； （Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量． 附注： 参考数据：yi=9.32，tiyi=40.17，=0.55，≈2.646． 参考公式：相关系数r=， 回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： =，=﹣． 【考点】BK：线性回归方程．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；5I：概率与统计． 【分析】（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案； （2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016年对应的t值为9，代入可预测2016年我国生活垃圾无害化处理量． 【解答】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下： ∵r==≈≈≈0.993， ∵0.993＞0.75， 故y与t之间存在较强的正相关关系； （2）==≈≈0.103， =﹣≈1.331﹣0.103×4≈0.92， ∴y关于t的回归方程=0.10t+0.92， 2016年对应的t值为9， 故=0.10×9+0.92=1.82， 预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨． 【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时要细心． 　 19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点． （1）证明：MN∥平面PAB； （2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值． 【考点】LS：直线与平面平行；MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；35：转化思想；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角． 【分析】（1）法一、取PB中点G，连接AG，NG，由三角形的中位线定理可得NG∥BC，且NG=，再由已知得AM∥BC，且AM=BC，得到NG∥AM，且NG=AM，说明四边形AMNG为平行四边形，可得NM∥AG，由线面平行的判定得到MN∥平面PAB； 法二、证明MN∥平面PAB，转化为证明平面NEM∥平面PAB，在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，由已知PA⊥底面ABCD，可得PA∥NE，通过求解直角三角形得到ME∥AB，由面面平行的判定可得平面NEM∥平面PAB，则结论得证； （2）连接CM，证得CM⊥AD，进一步得到平面PNM⊥平面PAD，在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．然后求解直角三角形可得直线AN与平面PMN所成角的正弦值． 【解答】（1）证明：法一、如图，取PB中点G，连接AG，NG， ∵N为PC的中点， ∴NG∥BC，且NG=， 又AM=，BC=4，且AD∥BC， ∴AM∥BC，且AM=BC， 则NG∥AM，且NG=AM， ∴四边形AMNG为平行四边形，则NM∥AG， ∵AG⊂平面PAB，NM⊄平面PAB， ∴MN∥平面PAB； 法二、 在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME， 在△ABC中，由已知AB=AC=3，BC=4，得cos∠ACB=， ∵AD∥BC， ∴cos，则sin∠EAM=， 在△EAM中， ∵AM=，AE=， 由余弦定理得：EM==， ∴cos∠AEM=， 而在△ABC中，cos∠BAC=， ∴cos∠AEM=cos∠BAC，即∠AEM=∠BAC， ∴AB∥EM，则EM∥平面PAB． 由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AC，又NE⊥AC， ∴NE∥PA，则NE∥平面PAB． ∵NE∩EM=E， ∴平面NEM∥平面PAB，则MN∥平面PAB； （2）解：在△AMC中，由AM=2，AC=3，cos∠MAC=，得CM2=AC2+AM2﹣2AC•AM•cos∠MAC=． ∴AM2+MC2=AC2，则AM⊥MC， ∵PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAD， ∴平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD=AD， ∴CM⊥平面PAD，则平面PNM⊥平面PAD． 在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角． 在Rt△PAC中，由N是PC的中点，得AN==， 在Rt△PAM中，由PA•AM=PM•AF，得AF=， ∴sin． ∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为． 【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查数学转化思想方法，考查了空间想象能力和计算能力，是中档题． 　 20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点． （Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ； （Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程． 【考点】J3：轨迹方程；K8：抛物线的性质．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明∠PRA=∠PQF，即可证明AR∥FQ； （Ⅱ）利用△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求出N的坐标，利用点差法求AB中点的轨迹方程． 【解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF， 由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°， ∴∠PFQ=90°， ∵R是PQ的中点， ∴RF=RP=RQ， ∴△PAR≌△FAR， ∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA， ∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR， ∴∠FQB=∠PAR， ∴∠PRA=∠PQF， ∴AR∥FQ． （Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）， F（，0），准线为 x=﹣， S△PQF=|PQ|=|y1﹣y2|， 设直线AB与x轴交点为N， ∴S△ABF=|FN||y1﹣y2|， ∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍， ∴2|FN|=1，∴xN=1，即N（1，0）． 设AB中点为M（x，y），由得=2（x1﹣x2）， 又=， ∴=，即y2=x﹣1． ∴AB中点轨迹方程为y2=x﹣1． 【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题． 　 21．（12分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A． （Ⅰ）求f′（x）； （Ⅱ）求A； （Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A． 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4J：换元法；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用；56：三角函数的求值． 【分析】（Ⅰ）根据复合函数的导数公式进行求解即可求f′（x）； （Ⅱ）讨论a的取值，利用分类讨论的思想方法，结合换元法，以及一元二次函数的最值的性质进行求解； （Ⅲ）由（I），结合绝对值不等式的性质即可证明：|f′（x）|≤2A． 【解答】（I）解：f′（x）=﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx． （II）当a≥1时，|f（x）|=|acos2x+（a﹣1）（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）|（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）（|cosx|+1）|≤a+2（a﹣1）=3a﹣2=f（0），因此A=3a﹣2． 当0＜a＜1时，f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1）=2acos2x+（a﹣1）cosx﹣1， 令g（t）=2at2+（a﹣1）t﹣1， 则A是|g（t）|在[﹣1，1]上的最大值，g（﹣1）=a，g（1）=3a﹣2， 且当t=时，g（t）取得极小值，极小值为g（）=﹣﹣1=﹣，（二次函数在对称轴处取得极值） 令﹣1＜＜1，得a＜（舍）或a＞． ①当0＜a≤时，g（t）在（﹣1，1）内无极值点，|g（﹣1）|=a，|g（1）|=2﹣3a，|g（﹣1）|＜|g（1）|， ∴A=2﹣3a， ②当＜a＜1时，由g（﹣1）﹣g（1）=2（1﹣a）＞0，得g（﹣1）＞g（1）＞g（）， 又|g（）|﹣|g（﹣1）|=＞0， ∴A=|g（）|=， 综上，A=． （III）证明：由（I）可得：|f′（x）|=|﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx|≤2a+|a﹣1|， 当0＜a≤时，|f′（x）|＜1+a≤2﹣4a＜2（2﹣3a）=2A， 当＜a＜1时，A==++＞1， ∴|f′（x）|≤1+a≤2A， 当a≥1时，|f′（x）|≤3a﹣1≤6a﹣4=2A， 综上：|f′（x）|≤2A． 【点评】本题主要考查函数的导数以及函数最值的应用，求函数的导数，以及换元法，转化法转化为一元二次函数是解决本题的关键．综合性较强，难度较大． 　 请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲] 22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点． （1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小； （2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD． 【考点】NC：与圆有关的比例线段．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明． 【分析】（1）连接PA，PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，运用圆的性质和四点共圆的判断，可得E，C，D，F共圆，再由圆内接四边形的性质，即可得到所求∠PCD的度数； （2）运用圆的定义和E，C，D，F共圆，可得G为圆心，G在CD的中垂线上，即可得证． 【解答】（1）解：连接PB，BC， 设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3， ∠PBA=∠4，∠PAB=∠5， 由⊙O中的中点为P，可得∠4=∠5， 在△EBC中，∠1=∠2+∠3， 又∠D=∠3+∠4，∠2=∠5， 即有∠2=∠4，则∠D=∠1， 则四点E，C，D，F共圆， 可得∠EFD+∠PCD=180°， 由∠PFB=∠EFD=2∠PCD， 即有3∠PCD=180°， 可得∠PCD=60°； （2）证明：由C，D，E，F共圆， 由EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G 可得G为圆心，即有GC=GD， 则G在CD的中垂线，又CD为圆G的弦， 则OG⊥CD． 【点评】本题考查圆内接四边形的性质和四点共圆的判断，以及圆的垂径定理的运用，考查推理能力，属于中档题． 　 [选修4-4：坐标系与参数方程] 23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2． （1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程； （2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标． 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程；5S：坐标系和参数方程． 【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C1的普通方程，运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得C2的直角坐标方程； （2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P的直角坐标． 另外：设P（cosα，sinα），由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和P的坐标． 【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数）， 移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1， 即有椭圆C1：+y2=1； 曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2， 即有ρ（sinθ+cosθ）=2， 由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0， 即有C2的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0； （2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时， |PQ|取得最值． 设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0， 联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0， 由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0， 解得t=±2，