四川省2023届高三数学9月联合诊断考试试题理含解析.doc

四川省2023届高三数学9月联合诊断考试试题 理（含解析） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已如集合 ，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用集合的交集运算求解 【详解】由可得中，则 答案选A 【点睛】本题考查集合的交集运算，整体简单，需注意数集与范围集合相交最终为数集 2.若 ，则 A. B. C. -1 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】 需对运算公式进行变形，由，再进行化简即可 【详解】由 答案选D 【点睛】本题考查复数的基本运算，处理技巧在于变形成除法运算形式 3.某运动队由足球运动员18人，篮球运动员12人，乒乓球运动员6人组成（每人只参加一项），现从这些运动员中抽取一个容量为 的样本，若分别采用系统抽样法和分层抽样法，都不用删除个体，那么样本容量 的最小值为 A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】 从系统抽样和分层抽样的特点考虑，系统抽样相当于等间距抽样，分层抽样相当于按比例抽样 【详解】由题已知，总体样本容量为36人，当样本容量为时，系统抽样的样距为，分层抽样的样比为，则采用分层抽样抽取的足球运动员人数为，篮球运动员人数为，乒乓球运动员人数为，可知是6的整数倍，最小值为6 答案选A 【点睛】本题考查了分层抽样和系统抽样的应用问题，解题时应对两种抽样方法进行分析和讨论，以便求出样本容量 4. 的展开式中的系数为 A. 124 B. 135 C. 615 D. 625 【答案】B 【解析】 【分析】 可采用分类讨论法；当第一个因式取1时，后面因式应取对应的通项；当第一个因式取时，后面因式应取对应的通项，将两种情况对应的系数相加即可 【详解】当第一个因式取1时，后面因式应取对应的通项：，，对应系数为126 当第一个因式取时，后面因式应取对应的通项：， 对应系数为9 所以 的展开式中的系数为；126+9=135 答案选B 【点睛】本题考查二项式定理某一项的项的系数求法，由于表达式是由两个因式构成，所以解题时应该对前面因式中每一项进行拆分，采用分类讨论法，可简化运算难度 5.在等比数列 中， ，若 ，则 A. 5 B. 6 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】 先求出公比，再根据通项公式直接求值 【详解】由， ， 答案选D 【点睛】本题考查等比数列基本量的求法，先求，再求通项，属于基础题型 6.设函数的导函数为，若为偶函数，且在上存在极大值，则的图像可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 若为偶函数，则为奇函数，故排除B、D. 又在上存在极大值，故排除A选项， 本题选择C选项. 7.曲线 在点 处的切线方程为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先对曲线求导，再根据点斜式写出切线方程即可 【详解】由，，所以过点切线方程为 答案选B 【点睛】本题考查在曲线上某一点切线方程的求法，相对比较简单，一般解题步骤为：先求曲线导数表达式，求出，最终表示出切线方程 8.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的值分别为，则输出的值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 依据流程图中的运算程序，可知第一步，则；第二步程序继续运行，则；第三步程序继续运行；则，运算程序结束，输出，应选答案C。 9.若函数 有唯一的零点，则实数 的值是 A. -4 B. 2 C. 2 D. -4或2 【答案】B 【解析】 【分析】 由表达式可判断为偶函数，又函数存在唯一零点，可求出值，再对值进行分类讨论判断是否符合题意即可 【详解】分析表达式特点可知，函数为偶函数， 有唯一一个零点，，即，解得或 当时,, 在上单调递增,符合题意;  当时,,作出和的函数图象如图所示:   由图象可知有三个零点,不符合题意;  综上, 答案选B 【点睛】本题考法为结合函数零点存在情况求参，分析函数特点求出值，再验证值的合理性，最后的处理步骤用到了数形结合思想，是处理零点问题常用基本思想 10.设双曲线 的左焦点为 ，直线 过点且与双曲线 在第二象限交点为 ， ，其中为坐标原点，则双曲线的离心率为 A. B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意，画出图像，结合双曲线基本性质和三角形几何知识进行求解即可 详解】如图所示： 直线 过点 ，半焦距 为中点， 又为中位线 由点到直线距离公式可得， 由勾股定理可得： 再由双曲线第一定义可得：=2， 双曲线的离心率 答案选D 【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，突破口在于利用找出中点A，结合圆锥曲线基本性质和几何关系解题是近年来高考题中常考题型，往往在解题中需要添加辅助线 11.已知定义在上的函数满足：函数的图象关于直线对称，且当成立(是函数的导函数), 若，，, 则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由导数性质推导出当x∈（﹣∞，0）或x∈（0，+∞）时，函数y=xf（x）单调递减．由此能求出结果． 【详解】∵ 函数的图象关于直线对称，∴关于轴对称， ∴函数为奇函数.因为， ∴当时，，函数单调递减， 当时，函数单调递减. ，， ， ，故选A 【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造， 构造， 构造， 构造等 12.设定义且为常数），若 ， .下述四个命题： ① 不存在极值； ②若函数 与函数 的图象有两个交点，则 ； ③若在 上是减函数，则实数 的取值范围是 ； ④若 ，则在的图象上存在两点，使得在这两点处的切线互相垂直 A. ①③④ B. ②③④ C. ②③ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】 对命题①：直接求的导数，采用零点存在定理判断是否存在极值即可 对②若函数 与函数 的图象有两个交点，则函数一定与相切，通过联立方程求解即可 对③④，需要先求出的导函数，根据导函数特点去判断两命题是否成立 【详解】对命题①：，，即，使得， 存在极值，命题①错 对命题②，画出 与函数的图像，如图所示： 设切点横坐标为，此时，命题②正确 对于命题③：,则, 若在上是减函数,则对于恒成立, 即恒成立, , 恒成立, , ; 即实数a的取值范围是,故③正确 对命题④：当时,, 设是曲线上的任意两点, , ,  不成立. 的曲线上不存的两点,使得过这两点的切线点互相垂直。命题④错误 正确命题为②③，答案选C 【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考察了函数极值，零点，单调性等知识点，综合性强，难度中等，解题方法主要以数形结合、根据导数来研究函数的单调性和极值为主 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 13.已如向量 ，若 ，则________ 【答案】 【解析】 【分析】 利用向量的坐标运算分别表示出和的表达式，再根据求出值即可 【详解】，，，由可得 ，解得 答案为： 【点睛】本题考点为利用向量的坐标运算表示模长和数量积，进行基本运算，需要加以理解的是模长和数量积都是数值的具体体现 14.已知等差数列，的首项 ，公差 .其前 项和为 ，若 ，则 ________ 【答案】5 【解析】 【分析】 根据题意，求出数列的通项公式，再根据算出值 【详解】由 ，公差，得，再由，可得 答案为： 【点睛】本题考查等差数列基本量的求法，需熟记公式 15.如图，在第一象限内，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数y=lo，的图像上，且矩形的边分别平行两坐标轴，若A点的纵坐标是2，则D点的坐标是 。 【答案】 【解析】 试题分析：因为A点的纵坐标是2，即，即D点的横坐标，且B点的纵坐标是2。即，即B点的横坐标，亦即C点的横坐标，则，即C 点的纵坐标是 则D点的坐标是 考点：函数的图像和性质 16.已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于、两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为__________． 【答案】 【解析】 分析：设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m，再由椭圆的定义和周长的求法，可得m，再由勾股定理，可得a，c的方程，求得，开方得答案． 详解：如图，设|F1F2|=2c，|AF1|=m， 若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形， 则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m， 由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a， 即有4a=2m+m，即m=2（2﹣）a， 则|AF2|=2a﹣m=（2﹣2）a， 在直角三角形AF1F2中， |F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2， 即4c2=4（2﹣）2a2+4（﹣1）2a2， ∴c2=（9﹣6）a2， 则e2==9﹣6=， ∴e=． 故答案为：． 点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a，c，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 17.我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准：（单位：吨），用水量不超过的部分按平价收费，超过的部分按议价收费，为了了解全布市民用用水量分布情况，通过袖样，获得了100位居民某年的月用水量（单位：吨），将数据按照 …… 分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图 （1）求频率分布直方图中的值； （2）若该市政府看望使85%的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由。 【答案】（1）0.30；（2）估计月用水量标准为2.9吨，85%的居民每月的用水量不超过标准 【解析】 【分析】 （1）利用频率分直方图中的矩形面积的和为1求即可 （2）先大体估计一下所在的区间，再根据区间的频率之和为0.85，求解的值 【详解】（1）由直方图，可得 ， 解得. （2）因为前6组频率之和为 而前5组的频率之和为 所以. 由 解得.因此，估计月用水量标准为2.9吨，85%的居民每月的用水量不超过标准. 【点睛】本题考察了频率分布直方图中各个基本量的计算关系，需熟记的是，频率分布直方图中矩形面积之和为1；在横坐标上需找具体某一点计算符合条件概率值的方法一般为：先通过估算确定具体所在区间，再根据矩形面积为概率值的特点，列出公式进行求解 18.的内角的对边分别为 ，已知，且为锐角。 （1）求； （2）若 ，求 面积的最大值 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）采用三角函数基本公式对进行化简，再结合为锐角，可