2012年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）（含解析版）(2).doc

2012年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则（　　） A．A⊊B B．B⊊A C．A=B D．A∩B=∅ 2．（5分）复数z=的共轭复数是（　　） A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i 3．（5分）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1，x2，…，xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（　　） A．﹣1 B．0 C． D．1 4．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（　　） A． B． C． D． 5．（5分）已知正三角形ABC的顶点A（1，1），B（1，3），顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=﹣x+y的取值范围是（　　） A．（1﹣，2） B．（0，2） C．（﹣1，2） D．（0，1+） 6．（5分）如果执行下边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，an，输出A，B，则（　　） A．A+B为a1，a2，…，an的和 B．为a1，a2，…，an的算术平均数 C．A和B分别是a1，a2，…，an中最大的数和最小的数 D．A和B分别是a1，a2，…，an中最小的数和最大的数 7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（　　） A．6 B．9 C．12 D．18 8．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（　　） A．π B．4π C．4π D．6π 9．（5分）已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ=（　　） A． B． C． D． 10．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（　　） A． B． C．4 D．8 11．（5分）当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是（　　） A．（0，） B．（，1） C．（1，） D．（，2） 12．（5分）数列{an}满足an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，则{an}的前60项和为（　　） A．3690 B．3660 C．1845 D．1830 　 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．（5分）曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为　 　． 14．（5分）等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+3S2=0，则公比q=　 　． 15．（5分）已知向量夹角为45°，且，则=　 　． 16．（5分）设函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m=　 　． 　 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA． （1）求A； （2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c． 18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理． （Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式． （Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表： 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 （i）假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数； （ii）若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率． 19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点． （Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC （Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比． 20．（12分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点； （1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程； （2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值． 21．（12分）设函数f（x）=ex﹣ax﹣2． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值． 22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明： （1）CD=BC； （2）△BCD∽△GBD． 23．选修4﹣4；坐标系与参数方程 已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）． （1）求点A，B，C，D的直角坐标； （2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围． 24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2| ①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集； ②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围． 　 2012年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标） 参考答案与试题解析 　 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则（　　） A．A⊊B B．B⊊A C．A=B D．A∩B=∅ 【考点】18：集合的包含关系判断及应用．菁优网版权所有 【专题】5J：集合． 【分析】先求出集合A，然后根据集合之间的关系可判断 【解答】解：由题意可得，A={x|﹣1＜x＜2}， ∵B={x|﹣1＜x＜1}， 在集合B中的元素都属于集合A，但是在集合A中的元素不一定在集合B中，例如x= ∴B⊊A． 故选：B． 【点评】本题主要考查了集合之间关系的判断，属于基础试题． 　 2．（5分）复数z=的共轭复数是（　　） A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i 【考点】A1：虚数单位i、复数；A5：复数的运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】利用复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，把复数化为a+bi的形式，然后求法共轭复数即可． 【解答】解：复数z====﹣1+i． 所以复数的共轭复数为：﹣1﹣i． 故选：D． 【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力． 　 3．（5分）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1，x2，…，xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（　　） A．﹣1 B．0 C． D．1 【考点】BS：相关系数．菁优网版权所有 【专题】29：规律型． 【分析】所有样本点（xi，yi）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，故这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1． 【解答】解：由题设知，所有样本点（xi，yi）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上， ∴这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1， 故选：D． 【点评】本题主要考查样本的相关系数，是简单题． 　 4．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（　　） A． B． C． D． 【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率． 【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形， ∴|PF2|=|F2F1| ∵P为直线x=上一点 ∴ ∴ 故选：C． 【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题． 　 5．（5分）已知正三角形ABC的顶点A（1，1），B（1，3），顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=﹣x+y的取值范围是（　　） A．（1﹣，2） B．（0，2） C．（﹣1，2） D．（0，1+） 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】由A，B及△ABC为正三角形可得，可求C的坐标，然后把三角形的各顶点代入可求z的值，进而判断最大与最小值，即可求解范围 【解答】解：设C（a，b），（a＞0，b＞0） 由A（1，1），B（1，3），及△ABC为正三角形可得，AB=AC=BC=2 即（a﹣1）2+（b﹣1）2=（a﹣1）2+（b﹣3）2=4 ∴b=2，a=1+即C（1+，2） 则此时直线AB的方程x=1，AC的方程为y﹣1=（x﹣1）， 直线BC的方程为y﹣3=﹣（x﹣1） 当直线x﹣y+z=0经过点A（1，1）时，z=0，经过点B（1，3）z=2，经过点C（1+，2）时，z=1﹣ ∴ 故选：A． 【点评】考查学生线性规划的理解和认识，考查学生的数形结合思想．属于基本题型． 　 6．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，an，输出A，B，则（　　） A．A+B为a1，a2，…，an的和 B．为a1，a2，…，an的算术平均数 C．A和B分别是a1，a2，…，an中最大的数和最小的数 D．A和B分别是a1，a2，…，an中最小的数和最大的数 【考点】E7：循环结构．菁优网版权所有 【专题】5K：算法和程序框图． 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出a1，a2，…，an中最大的数和最小的数． 【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序， 可知，该程序的作用是：求出a1，a2，…，an中最大的数和最小的数 其中A为a1，a2，…，an中最大的数，B为a1，a2，…，an中最小的数 故选：C． 【点评】本题主要考查了循环结构，解题的关键是建立数学模型，根据每一步分析的结果，选择恰当的数学模型，属于中档题． 　 7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（　　） A．6 B．9 C．12 D．18 【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可． 【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3； 底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形， 此几何体的体积为V=×6×3×3=9． 故选：B． 【点评】本题考查三视图与几何体的关系，考查几何体的体积的求法，考查计算能力． 　 8．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（　　） A．π B．4π C．4π D．6π 【考点】LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球的体积． 【解答】解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为， 所以球的半径为：=． 所以球的体积为：=4π． 故选：B． 【点评】本题考查球的体积的求法，考查空间想象能力、计算能力． 　 9．（5分）已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ=（　　） A． B． C． D． 【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】通过函数的对称轴求出函数的周期，利用对称轴以及φ的范围，确定φ的值即可． 【解答】解：因为直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴， 所以T==2π．所以ω=1，并且sin（+φ）与sin（+φ）分别是最大值与最小值，0＜φ＜π， 所以φ=． 故选：A． 【点评】本题考查三角函数的解析式的求法，注意函数的最值的应用，考查计算能力． 　 10．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（　　） A． B． C．4 D．8 【考点】KI：圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题． 【分析】设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，由C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，，能求出C的实轴长． 【解答】解：设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0）， y2=16x的准线l：x=﹣4， ∵C与抛物线y2=16x的准线l：x=﹣4交于A，B两点， ∴A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2）， 将A点坐标代入双曲线方程得=4， ∴a=2，2a=4． 故选：C． 【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化． 　 11．（5分）当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是（　　） A．（0，） B．（，1） C．（1，） D．（，2） 【考点】7J：指、对数不等式的解法．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题． 【分析】由指数函数和对数函数的图象和性质，将已知不等式转化为不等式恒成立问题加以解决即可 【解答】解：∵0＜x≤时，1＜4x≤2 要使4x＜logax，由对数函数的性质可得0＜a＜1， 数形结合可知只需2＜logax， ∴ 即对0＜x≤时恒成立 ∴ 解得＜a＜1 故选：B． 【点评】本题主要考查了指数函数和对数函数的图象和性质，不等式恒成立问题的一般解法，属基础题 　 12．（5分）数列{an}满足an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，则{an}的前60项和为（　　） A．3690 B．3660 C．1845 D．1830 【考点】8E：数列的求和．菁优网版权所有 【专题】54：等差数列与等比数列． 【分析】由题意可得 a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97，变形可得 a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，…利用 数列的结构特征，求出{an}的前60项和． 【解答】解：由于数列{an}满足an+1+（﹣1）n an=2n﹣1，故有 a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5， a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97． 从而可得 a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a11+a9=2，a12+a10=40，a15+a13=2，a16+a14=56，… 从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2， 从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列． {an}的前60项和为 15×2+（15×8+）=1830， 故选：D． 【点评】本题主要考查数列求和的方法，等差数列的求和公式，注意利用数列的结构特征，属于中档题． 　 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．（5分）曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为　y=4x﹣3　． 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】先求导函数，求出切线的斜率，再求切线的方程． 【解答】解：求导函数，可得y′=3lnx+4， 当x=1时，y′=4， ∴曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为y﹣1=4（x﹣1），即y=4x﹣3． 故答案为：y=4x﹣3． 【点评】本题考查导数的几何意义，考查点斜式求直线的方程，属于基础题． 　 14．（5分）等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+3S2=0，则公比q=　﹣2　． 【考点】89：等比数列的前n项和．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】由题意可得，q≠1，由S3+3S2=0，代入等比数列的求和公式可求q 【解答】解：由题意可得，q≠1 ∵S3+3S2=0 ∴ ∴q3+3q2﹣4=0 ∴（q﹣1）（q+2）2=0 ∵q≠1 ∴q=﹣2 故答案为：﹣2 【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，解题中要注意公比q是否为1 　 15．（5分）已知向量夹角为45°，且，则=　3　． 【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；9S：数量积表示两个向量的夹角．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题． 【分析】由已知可得，=，代入|2|====可求 【解答】解：∵，=1 ∴= ∴|2|==== 解得 故答案为：3 【点评】本题主要考查了向量的数量积 定义的应用，向量的数量积性质||=是求解向量的模常用的方法 　 16．（5分）设函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m=　2　． 【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；16：压轴题． 【分析】函数可化为f（x）==，令，则为奇函数，从而函数的最大值与最小值的和为0，由此可得函数f（x）=的最大值与最小值的和． 【解答】解：函数可化为f（x）==， 令，则为奇函数， ∴的最大值与最小值的和为0． ∴函数f（x）=的最大值与最小值的和为1+1+0=2． 即M+m=2． 故答案为：2． 【点评】本题考查函数的最值，考查函数的奇偶性，解题的关键是将函数化简，转化为利用函数的奇偶性解题． 　 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA． （1）求A； （2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c． 【考点】HU：解三角形．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】（1）由正弦定理有：sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，可以求出A； （2）有三角形面积以及余弦定理，可以求出b、c． 【解答】解：（1）c=asinC﹣ccosA，由正弦定理有： sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，即sinC•（sinA﹣cosA﹣1）=0， 又，sinC≠0， 所以sinA﹣cosA﹣1=0，即2sin（A﹣）=1， 所以A=； （2）S△ABC=bcsinA=，所以bc=4， a=2，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即4=b2+c2﹣bc， 即有， 解得b=c=2． 【点评】本题综合考查了三角公式中的正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式的综合应用，诱导公式与辅助角公式在三角函数化简中的应用是求解的基础，解题的关键是熟练掌握基本公式 　 18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理． （Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式． （Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表： 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 （i）假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数； （ii）若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率． 【考点】36：函数解析式的求解及常用方法；BB：众数、中位数、平均数；CS：概率的应用．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；5I：概率与统计． 【分析】（Ⅰ）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数； （Ⅱ）（i）这100天的日利润的平均数，利用100天的销售量除以100即可得到结论； （ii）当天的利润不少于75元，当且仅当日需求量不少于16枝，故可求当天的利润不少于75元的概率． 【解答】解：（Ⅰ）当日需求量n≥17时，利润y=85；当日需求量n＜17时，利润y=10n﹣85；（4分） ∴利润y关于当天需求量n的函数解析式（n∈N*）（6分） （Ⅱ）（i）这100天的日利润的平均数为元；（9分） （ii）当天的利润不少于75元，当且仅当日需求量不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7．（12分） 【点评】本题考查函数解析式的确定，考查概率知识，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题． 　 19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点． （Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC （Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比． 【考点】L2：棱柱的结构特征；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；14：证明题． 【分析】（Ⅰ）由题意易证DC1⊥平面BDC，再由面面垂直的判定定理即可证得平面BDC1⊥平面BDC； （Ⅱ）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，易求V1=××1×1=，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1，于是可得（V﹣V1）：V1=1：1，从而可得答案． 【解答】证明：（1）由题意知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C， ∴BC⊥平面ACC1A1，又DC1⊂平面ACC1A1， ∴DC1⊥BC． 由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°， ∴∠CDC1=90°，即DC1⊥DC，又DC∩BC=C， ∴DC1⊥平面BDC，又DC1⊂平面BDC1， ∴平面BDC1⊥平面BDC； （2）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，由题意得V1=××1×1=， 又三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1， ∴（V﹣V1）：V1=1：1， ∴平面BDC1分此棱柱两部分体积的比为1：1． 【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，着重考查线面垂直的判定定理的应用与棱柱、棱锥的体积，考查分析，表达与运算能力，属于中档题． 　 20．（12分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点； （1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程； （2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值． 【考点】J1：圆的标准方程；K8：抛物线的性质；KI：圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；16：压轴题． 【分析】（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，由△ABD的面积S△ABD=，知=，由此能求出圆F的方程． （2）由对称性设，则点A，B关于点F对称得：，得：，由此能求出坐标原点到m，n距离的比值． 【解答】解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p 点A到准线l的距离， ∵△ABD的面积S△ABD=， ∴=， 解得p=2，所以F坐标为（0，1）， ∴圆F的方程为x2+（y﹣1）2=8． （2）由题设，则， ∵A，B，F三点在同一直线m上， 又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称． 由点A，B关于点F对称得： 得：，直线，切点 直线 坐标原点到m，n距离的比值为． 【点评】本题考查抛物线与直线的位置关系的综合应用，具体涉及到抛物线的简单性质、圆的性质、导数的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化． 　 21．（12分）设函数f（x）=ex﹣ax﹣2． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值． 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；16：压轴题；32：分类讨论；35：转化思想． 【分析】（Ⅰ）求函数的单调区间，可先求出函数的导数，由于函数中含有字母a，故应按a的取值范围进行分类讨论研究函数的单调性，给出单调区间； （II）由题设条件结合（I），将不等式，（x﹣k） f´（x）+x+1＞0在x＞0时成立转化为k＜（x＞0）成立，由此问题转化为求g（x）=在x＞0上的最小值问题，求导，确定出函数的最小值，即可得出k的最大值； 【解答】解：（I）函数f（x）=ex﹣ax﹣2的定义域是R，f′（x）=ex﹣a， 若a≤0，则f′（x）=ex﹣a≥0，所以函数f（x）=ex﹣ax﹣2在（﹣∞，+∞）上单调递增． 若a＞0，则当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）=ex﹣a＜0； 当x∈（lna，+∞）时，f′（x）=ex﹣a＞0； 所以，f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增． （II）由于a=1，所以，（x﹣k） f´（x）+x+1=（x﹣k） （ex﹣1）+x+1 故当x＞0时，（x﹣k） f´（x）+x+1＞0等价于k＜（x＞0）① 令g（x）=，则g′（x）= 由（I）知，当a=1时，函数h（x）=ex﹣x﹣2在（0，+∞）上单调递增， 而h（1）＜0，h（2）＞0， 所以h（x）=ex﹣x﹣2在（0，+∞）上存在唯一的零点， 故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为α，则有α∈（1，2） 当x∈（0，α）时，g′（x）＜0；当x∈（α，+∞）时，g′（x）＞0； 所以g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（α）． 又由g′（α）=0，可得eα=α+2所以g（α）=α+1∈（2，3） 由于①式等价于k＜g（α），故整数k的最大值为2． 【点评】本题考查利用导数求函数的最值及利用导数研究函数的单调性，解题的关键是第一小题应用分类的讨论的方法，第二小题将问题转化为求函数的最小值问题，本题考查了转化的思想，分类讨论的思想，考查计算能力及推理判断的能力，综合性强，是高考的重点题型，难度大，计算量也大，极易出错． 　 22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明： （1）CD=BC； （2）△BCD∽△GBD． 【考点】N4：相似三角形的判定．菁优网版权所有 【专题】14：证明题． 【分析】（1）根据D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，可得DE∥BC，证明四边形ADCF是平行四边形，即可得到结论； （2）证明两组对应角相等，即可证得△BCD～△GBD． 【解答】证明：（1）∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点 ∴DF∥BC，AD=DB ∵AB∥CF，∴四边形BDFC是平行四边形 ∴CF∥BD，CF=BD ∴CF∥AD，CF=AD ∴四边形ADCF是平行四边形 ∴AF=CD ∵，∴BC=AF，∴CD=BC． （2）由（1）知，所以． 所以∠BGD=∠DBC． 因为GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC． 所以△BCD～△GBD． 【点评】本题考查几何证明选讲，考查平行四边形的证明，考查三角形的相似，属于基础题． 　 23．选修4﹣4；坐标系与参数方程 已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）． （1）求点A，B，C，D的直角坐标； （2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围． 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；Q8：点的极坐标和直角坐标的互化；QL：椭圆的参数方程．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；16：压轴题． 【分析】（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标； （2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围． 【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为 点A，B，C，D的直角坐标为 （2）设P（x0，y0），则为参数） t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ ∵sin2φ∈[0，1] ∴t∈[32，52] 【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查圆的参数方程的运用，属于中档题． 　 24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2| ①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集； ②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围． 【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有 【专题】17：选作题；59：不等式的解法及应用；5T：不等式． 【分析】①不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求． ②原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围． 【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即 ，可得x≤1； ，可得x∈∅； ，可得x≥4． 取并集可得不等式的解集为 {x|x≤1或x≥4}． （2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立， 等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立． 故当 1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0， 故a的取值范围为[﹣3，0]． 【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题． 第28页（共28页）