2013年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）（含解析版）(3).doc

2013年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（5分）=（　　） A．﹣8 B．8 C．﹣8i D．8i 3．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1 4．（5分）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（　　） A．（﹣1，1） B． C．（﹣1，0） D． 5．（5分）函数f（x）=log2（1+）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=（　　） A． B． C．2x﹣1（x∈R） D．2x﹣1（x＞0） 6．（5分）已知数列{an}满足3an+1+an=0，a2=﹣，则{an}的前10项和等于（　　） A．﹣6（1﹣3﹣10） B． C．3（1﹣3﹣10） D．3（1+3﹣10） 7．（5分）（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是（　　） A．5 B．8 C．12 D．18 8．（5分）椭圆C：的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 9．（5分）若函数f（x）=x2+ax+是增函数，则a的取值范围是（　　） A．[﹣1，0] B．[﹣1，+∞） C．[0，3] D．[3，+∞） 10．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（　　） A． B． C． D． 11．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k=（　　） A． B． C． D．2 12．（5分）已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中不正确的是（　　） A．y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称 B． C． D．f（x）既是奇函数，又是周期函数 　 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．（5分）已知α是第三象限角，sinα=﹣，则cotα=　 　． 14．（5分）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有　 　种．（用数字作答） 15．（5分）记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是　 　． 16．（5分）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，，则球O的表面积等于　 　． 　 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）等差数列{an}的前n项和为Sn．已知S3=a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项式． 18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac． （Ⅰ）求B． （Ⅱ）若sinAsinC=，求C． 19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形． （Ⅰ）证明：PB⊥CD； （Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的大小． 20．（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判． （Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率； （Ⅱ）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望． 21．（12分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为． （I）求a，b； （II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|=|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列． 22．（12分）已知函数． （I）若x≥0时，f（x）≤0，求λ的最小值； （II）设数列{an}的通项an=1+． 　 2013年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版） 参考答案与试题解析 　 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点】13：集合的确定性、互异性、无序性；1A：集合中元素个数的最值．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】利用已知条件，直接求出a+b，利用集合元素互异求出M中元素的个数即可． 【解答】解：因为集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}， 所以a+b的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8， 所以M中元素只有：5，6，7，8．共4个． 故选：B． 【点评】本题考查集合中元素个数的最值，集合中元素的互异性的应用，考查计算能力． 　 2．（5分）=（　　） A．﹣8 B．8 C．﹣8i D．8i 【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有 【分析】复数分子、分母同乘﹣8，利用1的立方虚根的性质（），化简即可． 【解答】解： 故选：A． 【点评】复数代数形式的运算，是基础题． 　 3．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1 【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．菁优网版权所有 【专题】5A：平面向量及应用． 【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出． 【解答】解：∵，． ∴=（2λ+3，3），． ∵， ∴=0， ∴﹣（2λ+3）﹣3=0，解得λ=﹣3． 故选：B． 【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键． 　 4．（5分）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（　　） A．（﹣1，1） B． C．（﹣1，0） D． 【考点】33：函数的定义域及其求法．菁优网版权所有 【专题】51：函数的性质及应用． 【分析】原函数的定义域，即为2x+1的范围，解不等式组即可得解． 【解答】解：∵原函数的定义域为（﹣1，0）， ∴﹣1＜2x+1＜0，解得﹣1＜x＜﹣． ∴则函数f（2x+1）的定义域为． 故选：B． 【点评】考查复合函数的定义域的求法，注意变量范围的转化，属简单题． 　 5．（5分）函数f（x）=log2（1+）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=（　　） A． B． C．2x﹣1（x∈R） D．2x﹣1（x＞0） 【考点】4R：反函数．菁优网版权所有 【专题】51：函数的性质及应用． 【分析】把y看作常数，求出x：x=，x，y互换，得到y=log2（1+）的反函数．注意反函数的定义域． 【解答】解：设y=log2（1+）， 把y看作常数，求出x： 1+=2y，x=，其中y＞0， x，y互换，得到y=log2（1+）的反函数：y=， 故选：A． 【点评】本题考查对数函数的反函数的求法，解题时要认真审题，注意对数式和指数式的相互转化． 　 6．（5分）已知数列{an}满足3an+1+an=0，a2=﹣，则{an}的前10项和等于（　　） A．﹣6（1﹣3﹣10） B． C．3（1﹣3﹣10） D．3（1+3﹣10） 【考点】89：等比数列的前n项和．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列． 【分析】由已知可知，数列{an}是以﹣为公比的等比数列，结合已知可求a1，然后代入等比数列的求和公式可求 【解答】解：∵3an+1+an=0 ∴ ∴数列{an}是以﹣为公比的等比数列 ∵ ∴a1=4 由等比数列的求和公式可得，S10==3（1﹣3﹣10） 故选：C． 【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题 　 7．（5分）（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是（　　） A．5 B．8 C．12 D．18 【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】由题意知利用二项展开式的通项公式写出展开式的通项，令x的指数为2，写出出展开式中x2的系数，第二个因式y2的系数，即可得到结果． 【解答】解：（x+1）3的展开式的通项为Tr+1=C3rxr 令r=2得到展开式中x2的系数是C32=3， （1+y）4的展开式的通项为Tr+1=C4ryr 令r=2得到展开式中y2的系数是C42=6， （1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是：3×6=18， 故选：D． 【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，本题解题的关键是写出二项式的展开式，所有的这类问题都是利用通项来解决的． 　 8．（5分）椭圆C：的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【考点】I3：直线的斜率；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】由椭圆C：可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）．设P（x0，y0）（x0≠±2），代入椭圆方程可得．利用斜率计算公式可得，再利用已知给出的的范围即可解出． 【解答】解：由椭圆C：可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）． 设P（x0，y0）（x0≠±2），则，得． ∵=，=， ∴==， ∵， ∴，解得． 故选：B． 【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、斜率的计算公式、不等式的性质等是解题的关键． 　 9．（5分）若函数f（x）=x2+ax+是增函数，则a的取值范围是（　　） A．[﹣1，0] B．[﹣1，+∞） C．[0，3] D．[3，+∞） 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 【专题】53：导数的综合应用． 【分析】由函数在（，+∞）上是增函数，可得≥0在（，+∞）上恒成立，进而可转化为a≥﹣2x在（，+∞）上恒成立，构造函数求出﹣2x在（，+∞）上的最值，可得a的取值范围． 【解答】解：∵在（，+∞）上是增函数， 故≥0在（，+∞）上恒成立， 即a≥﹣2x在（，+∞）上恒成立， 令h（x）=﹣2x， 则h′（x）=﹣﹣2， 当x∈（，+∞）时，h′（x）＜0，则h（x）为减函数． ∴h（x）＜h（）=3 ∴a≥3． 故选：D． 【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，是导数的综合应用，难度中档． 　 10．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（　　） A． B． C． D． 【考点】MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；16：压轴题；5G：空间角；5H：空间向量及应用． 【分析】设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，CD与平面BDC1所成角为θ， 则sinθ=||，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可． 【解答】解：设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系， 如下图所示： 则D（0，0，2），C1（1，0，0），B（1，1，2），C（1，0，2）， =（1，1，0），=（1，0，﹣2），=（1，0，0）， 设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，则，即，取=（2，﹣2，1）， 设CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ=||=， 故选：A． 【点评】本题考查直线与平面所成的角，考查空间向量的运算及应用，准确理解线面角与直线方向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键． 　 11．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k=（　　） A． B． C． D．2 【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；K8：抛物线的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），代入抛物线方程，利用=（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）=0，即可求出k的值． 【解答】解：由抛物线C：y2=8x得焦点（2，0）， 由题意可知：斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2）， 代入抛物线方程，得到k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，△＞0， 设A（x1，y1），B（x2，y2）． ∴x1+x2=4+，x1x2=4． ∴y1+y2=，y1y2=﹣16， 又=0， ∴=（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）==0 ∴k=2． 故选：D． 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题． 　 12．（5分）已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中不正确的是（　　） A．y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称 B． C． D．f（x）既是奇函数，又是周期函数 【考点】H1：三角函数的周期性；HW：三角函数的最值．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；57：三角函数的图像与性质． 【分析】根据函数图象关于某点中心对称或关于某条直线对称的公式，对A、B两项加以验证，可得它们都正确．根据二倍角的正弦公式和同角三角函数的关系化简，得f（x）=2sinx（1﹣sin2x），再换元：令t=sinx，得到关于t的三次函数，利用导数研究此函数的单调性可得f（x）的最大值为，故C不正确；根据函数周期性和奇偶性的定义加以验证，可得D项正确．由此可得本题的答案． 【解答】解：对于A，因为f（π+x）=cos（π+x）sin（2π+2x）=﹣cosxsin2x， f（π﹣x）=cos（π﹣x）sin（2π﹣2x）=cosxsin2x，所以f（π+x）+f（π﹣x）=0， 可得y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称，故A正确； 对于B，因为f（+x）=cos（+x）sin（π+2x）=﹣sinx（﹣sin2x）=sinxsin2x， f（﹣x）=cos（﹣x）sin（π﹣2x）=sinxsin2x，所以f（+x）=f（﹣x）， 可得y=f（x）的图象关于直线x=对称，故B正确； 对于C，化简得f（x）=cosxsin2x=2cos2xsinx=2sinx（1﹣sin2x）， 令t=sinx，f（x）=g（t）=2t（1﹣t2），﹣1≤t≤1， ∵g（t）=2t（1﹣t2）的导数g'（t）=2﹣6t2=2（1+t）（1﹣t） ∴当t∈（﹣1，﹣）时或t∈（，1）时g'（t）＜0，函数g（t）为减函数； 当t∈（﹣，）时g'（t）＞0，函数g（t）为增函数． 因此函数g（t）的最大值为t=﹣1时或t=时的函数值， 结合g（﹣1）=0＜g（）=，可得g（t）的最大值为． 由此可得f（x）的最大值为而不是，故C不正确； 对于D，因为f（﹣x）=cos（﹣x）sin（﹣2x）=﹣cosxsin2x=﹣f（x），所以f（x）是奇函数． 因为f（2π+x）=cos（2π+x）sin（4π+2x）=cosxsin2x=f（x）， 所以2π为函数的一个周期，得f（x）为周期函数．可得f（x）既是奇函数，又是周期函数，得D正确． 综上所述，只有C项不正确． 故选：C． 【点评】本题给出三角函数式，研究函数的奇偶性、单调性和周期性．着重考查了三角恒等变换公式、利用导数研究函数的单调性和函数图象的对称性等知识，属于中档题． 　 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．（5分）已知α是第三象限角，sinα=﹣，则cotα=　2　． 【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．菁优网版权所有 【专题】56：三角函数的求值． 【分析】根据α是第三象限的角，得到cosα小于0，然后由sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，进而求出cotα的值． 【解答】解：由α是第三象限的角，得到cosα＜0， 又sinα=﹣，所以cosα=﹣=﹣ 则cotα==2 故答案为：2 【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道基础题．学生做题时注意α的范围． 　 14．（5分）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有　480　种．（用数字作答） 【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】排列好甲、乙两人外的4人，然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位中即可． 【解答】解：6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法：排列好甲、乙两人外的4人，有中方法， 然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位，有种方法， 所以共有：=480． 故答案为：480． 【点评】本题考查了乘法原理，以及排列的简单应用，插空法解答不相邻问题． 　 15．（5分）记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是　[，4]　． 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】16：压轴题；59：不等式的解法及应用． 【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件 的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入y=a（x+1）中，求出y=a（x+1）对应的a的端点值即可． 【解答】解：满足约束条件 的平面区域如图示： 因为y=a（x+1）过定点（﹣1，0）． 所以当y=a（x+1）过点B（0，4）时，得到a=4， 当y=a（x+1）过点A（1，1）时，对应a=． 又因为直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点． 所以≤a≤4． 故答案为：[，4] 【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解． 　 16．（5分）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，，则球O的表面积等于　16π　． 【考点】LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有 【专题】16：压轴题；5F：空间位置关系与距离． 【分析】正确作出图形，利用勾股定理，建立方程，即可求得结论． 【解答】解：如图所示，设球O的半径为r，AB是公共弦，∠OCK是面面角 根据题意得OC=，CK= 在△OCK中，OC2=OK2+CK2，即 ∴r2=4 ∴球O的表面积等于4πr2=16π 故答案为16π 【点评】本题考查球的表面积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 　 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）等差数列{an}的前n项和为Sn．已知S3=a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项式． 【考点】85：等差数列的前n项和；88：等比数列的通项公式．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列． 【分析】由，结合等差数列的求和公式可求a2，然后由，结合等差数列的求和公式进而可求公差d，即可求解通项公式 【解答】解：设数列的公差为d 由得，3 ∴a2=0或a2=3 由题意可得， ∴ 若a2=0，则可得d2=﹣2d2即d=0不符合题意 若a2=3，则可得（6﹣d）2=（3﹣d）（12+2d） 解可得d=0或d=2 ∴an=3或an=2n﹣1 【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，等比数列的性质的简单应用，属于基础试题 　 18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac． （Ⅰ）求B． （Ⅱ）若sinAsinC=，求C． 【考点】GP：两角和与差的三角函数；HR：余弦定理．菁优网版权所有 【专题】58：解三角形． 【分析】（I）已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，整理后得到关系式，利用余弦定理表示出cosB，将关系式代入求出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数； （II）由（I）得到A+C的度数，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A﹣C），变形后将cos（A+C）及2sinAsinC的值代入求出cos（A﹣C）的值，利用特殊角的三角函数值求出A﹣C的值，与A+C的值联立即可求出C的度数． 【解答】解：（I）∵（a+b+c）（a﹣b+c）=（a+c）2﹣b2=ac， ∴a2+c2﹣b2=﹣ac， ∴cosB==﹣， 又B为三角形的内角， 则B=120°； （II）由（I）得：A+C=60°，∵sinAsinC=，cos（A+C）=， ∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC﹣sinAsinC+2sinAsinC=cos（A+C）+2sinAsinC=+2×=， ∴A﹣C=30°或A﹣C=﹣30°， 则C=15°或C=45°． 【点评】此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键． 　 19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形． （Ⅰ）证明：PB⊥CD； （Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的大小． 【考点】LW：直线与平面垂直；M5：共线向量与共面向量．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5G：空间角． 【分析】（I）取BC的中点E，连接DE，过点P作PO⊥平面ABCD于O，连接OA、OB、OD、OE．可证出四边形ABED是正方形，且O为正方形ABED的中心．因此OE⊥OB，结合三垂线定理，证出OE⊥PB，而OE是△BCD的中位线，可得OE∥CD，因此PB⊥CD； （II）由（I）的结论，证出CD⊥平面PBD，从而得到CD⊥PD．取PD的中点F，PC的中点G，连接FG，可得FG∥CD，所以FG⊥PD．连接AF，可得AF⊥PD，因此∠AFG为二面角A﹣PD﹣C的平面角，连接AG、EG，则EG∥PB，可得EG⊥OE．设AB=2，可求出AE、EG、AG、AF和FG的长，最后在△AFG中利用余弦定理，算出∠AFG=π﹣arccos，即得二面角A﹣PD﹣C的平面角大小． 【解答】解：（I）取BC的中点E，连接DE，可得四边形ABED是正方形 过点P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OA、OB、OD、OE ∵△PAB与△PAD都是等边三角形，∴PA=PB=PD，可得OA=OB=OD 因此，O是正方形ABED的对角线的交点，可得OE⊥OB ∵PO⊥平面ABCD，得直线OB是直线PB在内的射影，∴OE⊥PB ∵△BCD中，E、O分别为BC、BD的中点，∴OE∥CD，可得PB⊥CD； （II）由（I）知CD⊥PO，CD⊥PB ∵PO、PB是平面PBD内的相交直线，∴CD⊥平面PBD ∵PD⊂平面PBD，∴CD⊥PD 取PD的中点F，PC的中点G，连接FG， 则FG为△PCD有中位线，∴FG∥CD，可得FG⊥PD 连接AF，由△PAD是等边三角形可得AF⊥PD，∴∠AFG为二面角A﹣PD﹣C的平面角 连接AG、EG，则EG∥PB ∵PB⊥OE，∴EG⊥OE， 设AB=2，则AE=2，EG=PB=1，故AG==3 在△AFG中，FG=CD=，AF=，AG=3 ∴cos∠AFG==﹣，得∠AFG=π﹣arccos， 即二面角A﹣PD﹣C的平面角大小是π﹣arccos． 【点评】本题给出特殊的四棱锥，求证直线与直线垂直并求二面角平面角的大小，着重考查了线面垂直的判定与性质、三垂线定理和运用余弦定理求二面的大小等知识，属于中档题． 　 20．（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判． （Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率； （Ⅱ）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望． 【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有 【专题】5I：概率与统计． 【分析】（I）令A1表示第2局结果为甲获胜，A2表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负，A表示第4局甲当裁判，分析其可能情况，每局比赛的结果相互独立且互斥，利用独立事件、互斥事件的概率求解即可． （II）X的所有可能值为0，1，2．分别求出X取每一个值的概率，列出分布列后求出期望值即可． 【解答】解：（I）令A1表示第2局结果为甲获胜．A2表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负．A表示第4局甲当裁判． 则A=A1•A2，P（A）=P（A1•A2）=P（A1）P（A2）=； （Ⅱ）X的所有可能值为0，1，2．令A3表示第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜． B1表示第1局结果为乙获胜，B2表示第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜，B3表示第3局乙参加比赛时，结果为乙负， 则P（X=0）=P（B1B2）=P（B1）P（B2）P（）=． P（X=2）=P（B3）=P（）P（B3）=． P（X=1）=1﹣P（X=0）﹣P（X=2）=． 从而EX=0×+1×+2×=． 【点评】本题考查互斥、独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和期望等知识，同时考查利用概率知识解决问题的能力． 　 21．（12分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为． （I）求a，b； （II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|=|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列． 【考点】K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 【专题】14：证明题；15：综合题；16：压轴题；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（I）由题设，可由离心率为3得到参数a，b的关系，将双曲线的方程用参数a表示出来，再由直线建立方程求出参数a即可得到双曲线的方程； （II）由（I）的方程求出两焦点坐标，设出直线l的方程设A（x1，y1），B（x2，y2），将其与双曲线C的方程联立，得出x1+x2=，，再利用|AF1|=|BF1|建立关于A，B坐标的方程，得出两点横坐标的关系，由此方程求出k的值，得出直线的方程，从而可求得：|AF2|、|AB|、|BF2|，再利用等比数列的性质进行判断即可证明出结论． 【解答】解：（I）由题设知=3，即=9，故b2=8a2 所以C的方程为8x2﹣y2=8a2 将y=2代入上式，并求得x=±， 由题设知，2=，解得a2=1 所以a=1，b=2 （II）由（I）知，F1（﹣3，0），F2（3，0），C的方程为8x2﹣y2=8 ① 由题意，可设l的方程为y=k（x﹣3），|k|＜2代入①并化简得（k2﹣8）x2﹣6k2x+9k2+8=0 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则x1≤﹣1，x2≥1，x1+x2=，，于是 |AF1|==﹣（3x1+1）， |BF1|==3x2+1， |AF1|=|BF1|得﹣（3x1+1）=3x2+1，即 故=，解得，从而=﹣ 由于|AF2|==1﹣3x1， |BF2|==3x2﹣1， 故|AB|=|AF2|﹣|BF2|=2﹣3（x1+x2）=4，|AF2||BF2|=3（x1+x2）﹣9x1x2﹣1=16 因而|AF2||BF2|=|AB|2，所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列 【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合关系，考查了运算能力，题设条件的转化能力，方程的思想运用，此类题综合性强，但解答过程有其固有规律，一般需要把直线与曲线联立利用根系关系，解答中要注意提炼此类题解答过程中的共性，给以后解答此类题提供借鉴． 　 22．（12分）已知函数． （I）若x≥0时，f（x）≤0，求λ的最小值； （II）设数列{an}的通项an=1+． 【考点】6E：利用导数研究函数的最值；8E：数列的求和；8K：数列与不等式的综合．菁优网版权所有 【专题】16：压轴题；35：转化思想；53：导数的综合应用；54：等差数列与等比数列． 【分析】（I）由于已知函数的最大值是0，故可先求出函数的导数，研究其单调性，确定出函数的最大值，利用最大值小于等于0求出参数λ的取值范围，即可求得其最小值； （II）根据（I）的证明，可取λ=，由于x＞0时，f（x）＜0得出，考察发现，若取x=，则可得出，以此为依据，利用放缩法，即可得到结论 【解答】解：（I）由已知，f（0）=0， f′（x）==， ∴f′（0）=0 欲使x≥0时，f（x）≤0恒成立，则f（x）在（0，+∞）上必为减函数，即在（0，+∞）上f′（x）＜0恒成立， 当λ≤0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，为增函数，故不合题意， 若0＜λ＜时，由f′（x）＞0解得x＜，则当0＜x＜，f′（x）＞0，所以当0＜x＜时，f（x）＞0，此时不合题意， 若λ≥，则当x＞0时，f′（x）＜0恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上必为减函数，所以当x＞0时，f（x）＜0 恒成立， 综上，符合题意的λ的取值范围是λ≥，即λ的最小值为 （ II）令λ=，由（I）知，当x＞0时，f（x）＜0，即 取x=，则 于是a2n﹣an+=++…++ = = = =＞=ln2n﹣lnn=ln2 所以 【点评】本题考查了数列中证明不等式的方法及导数求最值的普通方法，解题的关键是充分利用已有的结论再结合放缩法，本题考查了推理判断的能力及转化化归的思想，有一定的难度 第12页（共12页）