2014年考研数学三模拟测试题及参考答案（二）.pdf

2014201420142014 考研数三测试题（二）考研数三测试题（二）本试卷满分 150 分，考试时间 180 分钟一、选择题：一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸答题纸指定位置上.1 1 1 1、设4ln(1 sin),0()sincos cos2,()0 ,0 xxf xxxxx g xxx+=则0 x时：()f x是()g x的（）（A）高阶无穷小量（B）低阶无穷小量（C）同阶非等价无穷小量（D）等价无穷小量2 2 2 2、已知函数()f x具有任意阶导数,且2)()(xfxf=,则当n为大于 2 的正整数时,()f x的n阶导数是（）(A)1)(!+nxfn(B)1)(+nxfn(C)nxf2)(D)nxfn2)(!3 3 3 3、设()g x可微，sin2()()x g xh xe+=，()1,4h=()24g=，则()4g=（）（A）ln2 1（B）ln2 1（C）ln22（D）ln224 4 4 4、设2,0(),0 xexf xxax=+，1()()xF xf t dt=，则()F x在0 x=处（）（A）极限存在但不连续（B）连续但不可导（C）可导（D）是否可导与a的取值有关5 5 5 5、设()yf x=是方程240yyy+=的一个解，若0()0f x，且0()0fx=，则函数()f x在点0 x（）（A）取得极大值（B）取得极小值（C）某个领域内单调增加（D）某个领域内单调减少6 6 6 6、若1(1)nnnax=在1x=处收敛，则此级数在2x=处（）（A）条件收敛（B）绝对收敛（C）发散（D）收敛性不确定7 7 7 7、设n阶方阵),(21nA=，),(21nB=，),(21nAB=，记向量组 I：n,21，II：n,21，III：n,21.如果向量组 III 线性相关，则()(A)向量组 I 线性相关.(B)向量组 II 线性相关.(C)向量组 I 与 II 都线性相关.(D)向量组 I 与 II 至少有一个线性相关.考试点w w w.ka o s h id ia n.c o m18 8 8 8、设,A P均 为 三 阶 矩 阵，TP为P的 转 置 矩 阵，且100010002TP AP=，若()()1231223,PQ =+,则TQ AQ为（）.（A）210110002（B）110120002（C）200010002（D）100020002二、填空题：二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸答题纸指定位置上.9 9 9 9、011lim(arctancot)xarcxx+=_10、10、设3,(),ln,uyeuf t tx=其中()f x可微，则_dy=11、11、10arctan_xxdx=12121212、2220_yxdxedy=13131313、幂级数2112(3)nnnnnx=+的收敛半径R=14141414、已知(),1,1Ta=是矩阵12222221Aa=的特征向量，那么所对应的特征值为。三、解答题：三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15151515、（本题满分 10 分）、（本题满分 10 分）设lim2012(1)nnnn=，试求,的值16161616、（本题满分 10 分）、（本题满分 10 分）设()f x在0,1上三阶可导，1(0)0,(1)1,()02fff=，求证：(0,1)，使()24f17171717、（本题满分 10 分）、（本题满分 10 分）考试点w w w.ka o s h id ia n.c o m2证明24cos21,xxx+其中20,4x18181818、（本题满分 10 分）、（本题满分 10 分）设,a b均为常数，2,0aa，求,a b为何值时，使212102(1)ln(1)(2)xbxadxxdxxxa+=+19191919、（本题满分 10 分）、（本题满分 10 分）设arctan22()yxzxye=+，求dz与2zx y 20202020、（本题满分 11 分）、（本题满分 11 分）求二阶常系数线性微分方程21yyx+=+的通解，其中为常数.21212121、（本题满分 11 分）、（本题满分 11 分）求级数()()()212!1!nnnnn=+的和22222222、（本题满分11分）、（本题满分11分）设向量组1(,0,10)Ta=,2(2,1,5)T=,3(1,1,4)T=,(1,)Tb c=,试问:当,a b c满足什么条件时,(1)可由123,线性表出，且表示唯一？(2)不可由123,线性表出？(3)可由123,线性表出，但表示不唯一？求出一般表达式23232323、（本题满分 11 分）、（本题满分 11 分）已知,A B为三阶矩阵，满足20ABB+=，且()2r B=，其中10110021Ba=，又齐次线性方程组0Ax=有基础解系为111 （1）求a的值；（2）求可逆矩阵Q，使1Q AQ为对角矩阵；（3）求秩(2)r AE+；（4）计算行列式3AE+；（5）求2010()AE+考试点w w w.ka o s h id ia n.c o m32014201420142014 考研数三测试题（二）参考答案一、选择题考研数三测试题（二）参考答案一、选择题1 1 1 1、【答案】：（、【答案】：（C C C C）【解析】：）【解析】：4004443022200()sincos cos2limlimln(1 sin)()1sin44lim(ln(1 sin)sin)1(4)1 cos482limlim333xxxxxf xxxxxxg xxxxxxxxxxxx=+=+=:等价无穷小替换可知()f x是()g x的同阶非等价无穷小量2 2 2 2、【答案】：、【答案】：(A)【解析】：【解析】：3)(!2)()(2)(xfxfxfxf=,假设)()(xfk=1)(!+kxfk,所以)()1(xfk+=2)()!1()()(!)1(+=+kkxfkxfxfkk,按数学归纳法)()(xfn=1)(!+nxfn对一切正整数成立3、【答案】：【答案】：（A）【解析】：【解析】：sin2()()(2cos2()x g xh xexg x+=+，把4x=代入上式得：sin(2)()1()444()(2cos(2)()12444gghege+=+=即：11()ln42g+=，故()ln2 14g=4 4 4 4、【答案】：、【答案】：（D）【解析】：【解析】：当0 x，11()()xxF xf t dtee=当0 x311()()13xxF xf t dteax=+，故：10lim()1xF xe=，10lim()1xF xe+=，1(0)1Fe=再由：0()(0)lim10 xF xFx=，0()(0)lim0 xF xFax+=，5 5 5 5、【答案】：、【答案】：(A)考试点w w w.ka o s h id ia n.c o m42 2 2 2【解析】：【解析】：0()0,fx=0 xx=为()f x的驻点。又000()2()4()0,fxfxf x+=0()0,f x所以00()4()0,fxf x=故0 xx=是()f x的极大值点.6 6 6 6、【答案】：、【答案】：（B）【解析】：【解析】：因1x=为级数的收敛点，知级数在11 12x =内，即当13x 时绝对收敛。2x=在(1,3)内，故应选（B）7 7 7 7、答案：、答案：(D)(D)(D)(D)【解析】：由题意得：【解析】：由题意得：()00r ABnABA=或者0B=,故()r An或者()r Bn=+=+因此有,01=+且12012=，故20111,20122012=16161616、【证明】、【证明】：由泰勒公式得231()1111()12()()()()()()2222!23!2fff xffxxx=+在上式中令0,1xx=得11()()1120()(1)22!448fff=+21()()1121()(2)22!448fff=+(2)式减去(1)式得：1248()()ff=+考试点w w w.ka o s h id ia n.c o m64 4 4 4所以：121248()()2max(),()ffff+故(0,1)，使()24f17171717、【证明】：证明】：()2424cos21cos211,xxxx xx+令()()24cos21f xx xx=+，只需证明()1f x.由()01,f=只需证()()324422 sin21cos221xfxxx xxxxx=+()244412 sin212 cos20.1xxxxxxxx+=+g设()()42sin212 cos2,00,g xxxxx g=+=且()()34422 cos2112sin22 2 sin20.1xgxxxxxxxx=+因此，当20,4x时(),0,g x即()()0,1fxf x，得证.18181818、【解析】：、【解析】：2122220000112112ln(1)limln(1)lim(ln(1)11lim(ln(1)2ln)1lim(ln(1)ln(1)2ln(1)ln(1)ln22tttttttxxdxxdxxxdxxtttttttttttt=+=+=+=2111111()22()12(1)()(2)(2)2lim(ln)(2)ttb axbxaba xabadxdxdxxxaxxaxxaxxa+=+=+若0ba，上述极限不存在，所以要使原等式成立，必须ab=，那么211211(1)lim(ln)lnln(2)(2)22ttxbxaxdxxxaxaa+=+所以11lnlnln2222a=+解得242abe=19191919、【解析】：、【解析】：由题意得：考试点w w w.ka o s h id ia n.c o m7arctanarctanarctan2222212()(2)1yyyxxxzyxexyexy eyxxx=+=+arctanarctanarctan2222112()(2)1yyyxxxzyexyeyx eyyxx=+=+所以arctan(2)(2)yxdzexy dxyx dy=+222arctanarctanarctan222211(2)1yyyxxxzyxyxexy eeyx yxxyx=+=+20202020、【解析】：、【解析】：对应齐次方程0yy+=的特征方程20rr+=的特征根为0r=或r=（1）当0时，0yy+=的通解为12xyCC e=+，其中12,C C为任意常数设原方程的特解形式为*()yx AxB=+，代入原方程，比较同次幂项的系数，解得212,AB=，故原方程的通解为12212()xyCC ex=+（2 2 2 2）当0=时，21yx=+，积分两次得方程的通解为32121132yxxC xC=+21212121、【解析】：、【解析】：易见()()()()()()()22212!111 11!11!nnnnnnnnnnnn=+=+，对(1,1x，()()111ln 1nnnxxn=+=，特别有()()12111ln21nnnnnn=，()()()()()()()22211 1111!2!1!nnnnnnnnnn=+=+()()()111121111!nneeen=因此()()()212!1ln21!nnnnn=+=+22222222、【解析】：、【解析】：设有常数123,k k k，使得考试点w w w.ka o s h id ia n.c o m8112233kkk+=（）记123(,)A =，对矩阵(,)A 施以初等行变换，有211101(,)0110111054101041000130110111010410104100013aabAbbccbacbbbcbcbacb+=+()当10a，有()(,)3r Ar A=，方程组（）有唯一解，此时可由123,唯一地线性表示()当10a=,且31cb时，有011(,)1010400013bAcbcb+可知()(,)r Ar A，故方程组（）无解，不能由123,线性表示()当10,31acb=时，对矩阵(,)A 施以初等行变换，有011011(,)10104101011000130000bbAcbbacb+()(,)2r Ar A=，方程组（）有无穷多解，其全部解为1231,10blkkl kbl =，其中l为任意常数.可由123,线性表示，但表示式不唯一，其一般表示式为1231()()10bllbl =+，其中l为任意常数.23232323、【解析】：、【解析】：1）由()2r B=知，1011020021Baa=+=，从而得出2a=（2）由20ABB+=知B的每一列都满足20iiAbb+=，即2iiAbb=(1,2,3)i=，考试点w w w.ka o s h id ia n.c o m9又显然有B的第 1，3 列线性无关，令12111,001=，则12,是属于A的特征值为2（至少二重）的线性无关的特征向量又11100 111A =，所以3111 =是属于特征值为 0 的特征向量，这样A有三个线性无关的特征向量123,，令123(,)Q =，则有1200020000Q AQ=（3）因为1200000(2)0202000000002QAE QE+=+=，所以(2)1r AE+=（4）因为1200100(3)0203010000003Q r AE QE+=+=，所以33AE+=（5）因为1200100()020010000001QAE QE+=+=，所以1100010001AEQQ+=2010201011100()010001AEQQQEQE+=考试点w w w.ka o s h id ia n.c o m10