2004年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案详解.pdf

考试点考研数学（三）更多精彩视频http:/ 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试数学数学(三三)试卷试卷一、填空题填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分.把答案填在题中横线上）(1)若5)(cossinlim0bxaexxx，则 a=_，b=_.(2)设函数 f(u,v)由关系式 f xg(y),y=x+g(y)确定，其中函数 g(y)可微，且 g(y)0，则2fu v.(3)设21,12121,)(2xxxexfx，则212(1)f xdx.(4)二次型213232221321)()()(),(xxxxxxxxxf的秩为.(5)设随机变量X服从参数为的指数分布,则DXXP_.(6)设总体X服从正态分布),(21N,总体Y服从正态分布),(22N,1,21nXXX和2,21nYYY分别是来自总体X和Y的简单随机样本,则12221112()()2nnijijXXYYEnn.二、选择题二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(7)函数2)2)(1()2sin(|)(xxxxxxf在下列哪个区间内有界.(A)(1,0).(B)(0,1).(C)(1,2).(D)(2,3).(8)设 f(x)在(,+)内有定义，且axfx)(lim，0,00,)1()(xxxfxg，则(A)x=0 必是 g(x)的第一类间断点.(B)x=0 必是 g(x)的第二类间断点.(C)x=0 必是 g(x)的连续点.(D)g(x)在点 x=0 处的连续性与 a 的取值有关.考试点考研数学（三）更多精彩视频http:/ f(x)=|x(1 x)|，则(A)x=0 是 f(x)的极值点，但(0,0)不是曲线 y=f(x)的拐点.(B)x=0 不是 f(x)的极值点，但(0,0)是曲线 y=f(x)的拐点.(C)x=0 是 f(x)的极值点，且(0,0)是曲线 y=f(x)的拐点.(D)x=0 不是 f(x)的极值点，(0,0)也不是曲线 y=f(x)的拐点.(10)设有下列命题：(1)若1212)(nnnuu收敛，则1nnu收敛.(2)若1nnu收敛，则11000nnu收敛.(3)若1lim1nnnuu，则1nnu发散.(4)若1)(nnnvu收敛，则1nnu，1nnv都收敛.则以上命题中正确的是(A)(1)(2).(B)(2)(3).(C)(3)(4).(D)(1)(4).(11)设)(xf 在a,b上连续，且0)(,0)(bfaf，则下列结论中错误的是(A)至少存在一点),(0bax，使得)(0 xf f(a).(B)至少存在一点),(0bax，使得)(0 xf f(b).(C)至少存在一点),(0bax，使得0)(0 xf.(D)至少存在一点),(0bax，使得)(0 xf=0.D(12)设n阶矩阵A与B等价,则必有(A)当)0(|aaA时,aB|.(B)当)0(|aaA时,aB|.(C)当0|A时,0|B.(D)当0|A时,0|B.(13)设n阶矩阵A的伴随矩阵,0*A若4321,是非齐次线性方程组bAx 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0Ax的基础解系(A)不存在.(B)仅含一个非零解向量.(C)含有两个线性无关的解向量.(D)含有三个线性无关的解向量.(14)设随机变量X服从正态分布)1,0(N,对给定的)1,0(,数u满足uXP,若xXP|,则x等于(A)2u.(B)21u.(C)21 u.(D)u1.三、解答题三、解答题(本题共本题共 9 小题，满分小题，满分 94 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分 8 分)考试点考研数学（三）更多精彩视频http:/ 8 分)求Ddyyx)(22，其中 D 是由圆422 yx和1)1(22yx所围成的平面区域(如图).(17)(本题满分 8 分)设 f(x),g(x)在a,b上连续，且满足xaxadttgdttf)()(，x a,b)，babadttgdttf)()(.证明：babadxxxgdxxxf)()(.(18)(本题满分 9 分)设某商品的需求函数为 Q=100 5P，其中价格 P (0,20)，Q 为需求量.(I)求需求量对价格的弹性dE(dE 0)；(II)推导)1(dEQdPdR(其中 R 为收益)，并用弹性dE说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.(19)(本题满分 9 分)设级数)(864264242864xxxx的和函数为 S(x).求：(I)S(x)所满足的一阶微分方程；(II)S(x)的表达式.(20)(本题满分 13 分)设T)0,2,1(1,T)3,2,1(2,Tbb)2,2,1(3,T)3,3,1(,试讨论当ba,为何值时,()不能由321,线性表示;()可由321,唯一地线性表示,并求出表示式;()可由321,线性表示,但表示式不唯一,并求出表示式.(21)(本题满分 13 分)考试点考研数学（三）更多精彩视频http:/ 13 分)设A，B为两个随机事件,且41)(AP,31)|(ABP,21)|(BAP,令不发生，发生，AAX0,1.0,1不发生，发生，BBY求()二维随机变量),(YX的概率分布;()X与Y的相关系数XY;()22YXZ的概率分布.(23)(本题满分 13 分)设随机变量X的分布函数为，xxxxF0,1),(其中参数1,0.设nXXX,21为来自总体X的简单随机样本,()当1时,求未知参数的矩估计量;()当1时,求未知参数的最大似然估计量;()当2时,求未知参数的最大似然估计量.2004 年考研数学（三）真题解析年考研数学（三）真题解析一、填空题填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分.把答案填在题中横线上）(1)若5)(cossinlim0bxaexxx，则 a=1，b=4.【分析分析】本题属于已知极限求参数的反问题.【详解详解】因为5)(cossinlim0bxaexxx，且0)(cossinlim0bxxx，所以0)(lim0aexx，得 a=1.极限化为51)(coslim)(cossinlim00bbxxxbxaexxxx，得 b=4.因此，a=1，b=4.考试点考研数学（三）更多精彩视频http:/ A，(1)若 g(x)0，则 f(x)0；(2)若 f(x)0，且 A 0，则 g(x)0.(2)设函数 f(u,v)由关系式 f xg(y),y=x+g(y)确定，其中函数 g(y)可微，且 g(y)0，则)()(22vgvgvuf.【分析分析】令 u=xg(y)，v=y，可得到 f(u,v)的表达式，再求偏导数即可.【详解详解】令 u=xg(y)，v=y，则 f(u,v)=)()(vgvgu，所以，)(1vguf，)()(22vgvgvuf.(3)设21,12121,)(2xxxexfx，则21)1(221dxxf.【分析分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x 1=t，再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可.【详解详解】令 x 1=t，121121221)()()1(dtxfdttfdxxf21)21(0)1(12121212dxdxxex.【评注评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解.(4)二次型213232221321)()()(),(xxxxxxxxxf的秩为2.【分析分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩,亦即标准型中平方项的项数,于是利用初等变换或配方法均可得到答案.【详解一详解一】因为213232221321)()()(),(xxxxxxxxxf323121232221222222xxxxxxxxx于是二次型的矩阵为211121112A,考试点考研数学（三）更多精彩视频http:/ 2.【详解二详解二】因为213232221321)()()(),(xxxxxxxxxf323121232221222222xxxxxxxxx2322321)(23)2121(2xxxxx2221232yy,其中,21213211xxxy322xxy.所以二次型的秩为 2.(5)设随机变量X服从参数为的指数分布,则DXXPe1.【分析分析】根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案.【详解详解】由于21DX,X的分布函数为.0,0,0,1)(xxexFx故DXXP1DXXP11XP)1(1Fe1.【评注评注】本题是对重要分布,即指数分布的考查,属基本题型.(6)设总体X服从正态分布),(21N,总体Y服从正态分布),(22N,1,21nXXX和2,21nYYY分别是来自总体X和Y的简单随机样本,则22121212)()(21nnYYXXEnjjnii.【分析分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.【详解详解】因为2121)(111XXnEnii,2122)(112YYnEnjj,故应填2.【评注评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查.二、选择题二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分.每小题给出的四个选项中，只有一考试点考研数学（三）更多精彩视频http:/ f(x)在(a,b)内连续，且极限)(limxfax与)(limxfbx存在，则函数 f(x)在(a,b)内有界.【详解详解】当 x 0,1,2 时，f(x)连续，而183sin)(lim1xfx，42sin)(lim0 xfx，42sin)(lim0 xfx，)(lim1xfx，)(lim2xfx，所以，函数 f(x)在(1,0)内有界，故选(A).【评注评注】一般地，如函数 f(x)在闭区间a,b上连续，则 f(x)在闭区间a,b上有界；如函数f(x)在开区间(a,b)内连续，且极限)(limxfax与)(limxfbx存在，则函数 f(x)在开区间(a,b)内有界.(8)设 f(x)在(,+)内有定义，且axfx)(lim，0,00,)1()(xxxfxg，则(A)x=0 必是 g(x)的第一类间断点.(B)x=0 必是 g(x)的第二类间断点.(C)x=0 必是 g(x)的连续点.(D)g(x)在点 x=0 处的连续性与 a 的取值有关.D【分析分析】考查极限)(lim0 xgx是否存在，如存在，是否等于 g(0)即可，通过换元xu1，可将极限)(lim0 xgx转化为)(limxfx.【详解详解】因为)(lim)1(lim)(lim00ufxfxguxx=a(令xu1)，又 g(0)=0，所以，当 a=0 时，)0()(lim0gxgx，即 g(x)在点 x=0 处连续，当 a 0 时，)0()(lim0gxgx，即 x=0 是 g(x)的第一类间断点，因此，g(x)在点 x=0 处的连续性与 a 的取值有关，故选(D).【评注评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性.(9)设 f(x)=|x(1 x)|，则(A)x=0 是 f(x)的极值点，但(0,0)不是曲线 y=f(x)的拐点.(B)x=0 不是 f(x)的极值点，但(0,0)是曲线 y=f(x)的拐点.(C)x=0 是 f(x)的极值点，且(0,0)是曲线 y=f(x)的拐点.(D)x=0 不是 f(x)的极值点，(0,0)也不是曲线 y=f(x)的拐点.C【分析分析】由于 f(x)在 x=0 处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考查 f(x)在 x=0 的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.考试点考研数学（三）更多精彩视频http:/ 0 0，而 f(0)=0，所以 x=0 是 f(x)的极小值点.显然，x=0 是 f(x)的不可导点.当 x (,0)时，f(x)=x(1 x)，02)(xf，当 x (0,)时，f(x)=x(1 x)，02)(xf，所以(0,0)是曲线 y=f(x)的拐点.故选(C).【评注评注】对于极值情况，也可考查 f(x)在 x=0 的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断.(10)设有下列命题：(1)若1212)(nnnuu收敛，则1nnu收敛.(2)若1nnu收敛，则11000nnu收敛.(3)若1lim1nnnuu，则1nnu发散.(4)若1)(nnnvu收敛，则1nnu，1nnv都收敛.则以上命题中正确的是(A)(1)(2).(B)(2)(3).(C)(3)(4).(D)(1)(4).B【分析分析】可以通过举反例及级数的性质来说明 4 个命题的正确性.【详解详解】(1)是错误的，如令nnu)1(，显然，1nnu分散，而1212)(nnnuu收敛.(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.(3)是正确的，因为由1lim1nnnuu可得到nu不趋向于零(n )，所以1nnu发散.(4)是错误的，如令nvnunn1,1，显然，1nnu，1nnv都发散，而1)(nnnvu收敛.故选(B).【评注评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型.(11)设)(xf 在a,b上连续，且0)(,0)(bfaf，则下列结论中错误的是(A)至少存在一点),(0bax，使得)(0 xf f(a).(B)至少存在一点),(0bax，使得)(0 xf f(b).(C)至少存在一点),(0bax，使得0)(0 xf.考试点考研数学（三）更多精彩视频http:/ 在a,b上连续，且0)(,0)(bfaf，则由介值定理，至少存在一点),(0bax，使得0)(0 xf；另外，0)()(lim)(axafxfafax，由极限的保号性，至少存在一点),(0bax 使得0)()(00axafxf，即)()(0afxf.同理，至少存在一点),(0bax 使得)()(0bfxf.所以，(A)(B)(C)都正确，故选(D).【评注评注】本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度.(12)设n阶矩阵A与B等价,则必有(A)当)0(|aaA时,aB|.(B)当)0(|aaA时,aB|.(C)当0|A时,0|B.(D)当0|A时,0|B.D【分析分析】利用矩阵A与B等价的充要条件:)()(BrAr立即可得.【详解详解】因为当0|A时,nAr)(,又A与B等价,故nBr)(,即0|B,故选(D).【评注评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查,属基本题型.(13)设n阶矩阵A的伴随矩阵,0*A若4321,是非齐次线性方程组bAx 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0Ax的基础解系(A)不存在.(B)仅含一个非零解向量.(C)含有两个线性无关的解向量.(D)含有三个线性无关的解向量.B【分析分析】要确定基础解系含向量的个数,实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩.【详解详解】因为基础解系含向量的个数=)(Arn,而且.1)(,0,1)(,1,)(,)(*nArnArnArnAr根据已知条件,0*A于是)(Ar等于n或1n.又bAx 有互不相等的解,即解不惟一,故1)(nAr.从而基础解系仅含一个解向量,即选(B).【评注评注】本题是对矩阵A与其伴随矩阵*A的秩之间的关系、线性方程组解的结构等多个知识点的综合考查.(14)设随机变量X服从正态分布)1,0(N,对给定的)1,0(,数u满足uXP,若xXP|,则x等于(A)2u.(B)21u.(C)21 u.(D)u1.C【分析分析】利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得.【详解详解】由xXP|,以及标准正态分布密度曲线的对称性可得考试点考研数学（三）更多精彩视频http:/ 9 小题，满分小题，满分 94 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分 8 分)求)cossin1(lim2220 xxxx.【分析分析】先通分化为“00”型极限，再利用等价无穷小与罗必达法则求解即可.【详解详解】xxxxxxxxxx2222202220sincossinlim)cossin1(lim=346)4(21lim64cos1lim44sin212lim2sin41lim22020304220 xxxxxxxxxxxxxx.【评注评注】本题属于求未定式极限的基本题型，对于“00”型极限，应充分利用等价无穷小替换来简化计算.(16)(本题满分 8 分)求Ddyyx)(22，其中 D 是由圆422 yx和1)1(22yx所围成的平面区域(如图).【分析分析】首先，将积分区域 D 分为大圆4|),(221yxyxD减去小圆1)1(|),(222yxyxD，再利用对称性与极坐标计算即可.【详解详解】令1)1(|),(,4|),(222221yxyxDyxyxD，由对称性，0Dyd.21222222DDDdyxdyxdyxcos20223220220drrddrrd.)23(916932316所以，)23(916)(22Ddyyx.【评注评注】本题属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型，对于二重积分，经常利用对称性考试点考研数学（三）更多精彩视频http:/ 8 分)设 f(x),g(x)在a,b上连续，且满足xaxadttgdttf)()(，x a,b)，babadttgdttf)()(.证明：babadxxxgdxxxf)()(.【分析分析】令 F(x)=f(x)g(x)，xadttFxG)()(，将积分不等式转化为函数不等式即可.【详解详解】令 F(x)=f(x)g(x)，xadttFxG)()(，由题设 G(x)0，x a,b，G(a)=G(b)=0，)()(xFxG.从而bababababadxxGdxxGxxGxxdGdxxxF)()()()()(，由于 G(x)0，x a,b，故有0)(badxxG，即0)(badxxxF.因此babadxxxgdxxxf)()(.【评注评注】引入变限积分转化为函数等式或不等式是证明积分等式或不等式的常用的方法.(18)(本题满分 9 分)设某商品的需求函数为 Q=100 5P，其中价格 P (0,20)，Q 为需求量.(I)求需求量对价格的弹性dE(dE 0)；(II)推导)1(dEQdPdR(其中 R 为收益)，并用弹性dE说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.【分析分析】由于dE 0，所以dPdQQPEd；由 Q=PQ 及dPdQQPEd可推导)1(dEQdPdR.【详解详解】(I)PPdPdQQPEd20.(II)由 R=PQ，得)1()1(dEQdPdQQPQdPdQPQdPdR.又由120PPEd，得 P=10.考试点考研数学（三）更多精彩视频http:/ 10 P 1，于是0dPdR，故当 10 P 0 时，需求量对价格的弹性公式为dPdQQPdPdQQPEd.利用需求弹性分析收益的变化情况有以下四个常用的公式：QdpEdRd)1(，QEdpdRd)1(，pEdQdRd)11(，dEEpER1(收益对价格的弹性).(19)(本题满分 9 分)设级数)(864264242864xxxx的和函数为 S(x).求：(I)S(x)所满足的一阶微分方程；(II)S(x)的表达式.【分析分析】对 S(x)进行求导，可得到 S(x)所满足的一阶微分方程，解方程可得 S(x)的表达式.【详解详解】(I)864264242)(864xxxxS，易见S(0)=0，642422)(753xxxxS)642422(642xxxx)(22xSxx.因此 S(x)是初值问题0)0(,23yxxyy的解.(II)方程23xxyy的通解为考试点考研数学（三）更多精彩视频http:/ y(0)=0，得 C=1.故12222xexy，因此和函数12)(222xexxS.【评注评注】本题综合了级数求和问题与微分方程问题，2002 年考过类似的题.(20)(本题满分 13 分)设T)0,2,1(1,T)3,2,1(2,Tbb)2,2,1(3,T)3,3,1(,试讨论当ba,为何值时,()不能由321,线性表示;()可由321,唯一地线性表示,并求出表示式;()可由321,线性表示,但表示式不唯一,并求出表示式.【分析分析】将可否由321,线性表示的问题转化为线性方程组kkk332211是否有解的问题即易求解.【详解详解】设有数,321kkk使得kkk332211.(*)记),(321A.对矩阵),(A施以初等行变换,有323032221111),(baabaA000101111baba.()当0a时,有10001001111),(bA.可知),()(ArAr.故方程组(*)无解,不能由321,线性表示.()当0a,且ba 时,有考试点考研数学（三）更多精彩视频http:/ ba时,对矩阵),(A施以初等行变换,有000101111),(babaA0000111011001aa，2),()(ArAr,方程组(*)有无穷多解，其全部解为ak111,cak12,ck 3，其中c为任意常数可由321,线性表示,但表示式不唯一,其表示式为321)1()11(ccaa【评注评注】本题属于常规题型,曾考过两次(1991,2000).(21)(本题满分 13 分)设n阶矩阵111bbbbbbA.()求A的特征值和特征向量;()求可逆矩阵P,使得APP1为对角矩阵.【分析分析】这是具体矩阵的特征值和特征向量的计算问题,通常可由求解特征方程0|AE和齐次线性方程组0)(xAE来解决.【详解详解】()1当0b时，考试点考研数学（三）更多精彩视频http:/ 13 分)设A，B为两个随机事件,且41)(AP,31)|(ABP,21)|(BAP,令不发生，发生，AAX0,1.0,1不发生，发生，BBY求()二维随机变量),(YX的概率分布;()X与Y的相关系数XY;()22YXZ的概率分布.【分析分析】本题的关键是求出),(YX的概率分布，于是只要将二维随机变量),(YX的各取值对转化为随机事件A和B表示即可【详解】【详解】()因为121)|()()(ABPAPABP，于是61)|()()(BAPABPBP，则有121)(1,1ABPYXP，61)()()(0,1ABPAPBAPYXP，121)()()(1,0ABPBPBAPYXP，考试点考研数学（三）更多精彩视频http:/ 的概率分布分别为X01Y01P4341P6561则61,41EYEX，163DX，DY=365,E(XY)=121,故241)(),(EYEXXYEYXCov，从而.1515),(DYDXYXCovXY()Z的可能取值为：0，1，2 320,00YXPZP，411,00,11YXPYXPZP，1211,12YXPZP，即Z的概率分布为：Z012考试点考研数学（三）更多精彩视频http:/ 13 分)设随机变量X的分布函数为，xxxxF0,1),(其中参数1,0.设nXXX,21为来自总体X的简单随机样本,()当1时,求未知参数的矩估计量;()当1时,求未知参数的最大似然估计量;()当2时,求未知参数的最大似然估计量.【分析【分析】本题是一个常规题型,只要注意求连续型总体未知参数的矩估计和最大似然估计都须已知密度函数,从而先由分布函数求导得密度函数.【详解】【详解】当1时,X的概率密度为，101,),(1xxxxf()由于11,1);(dxxxdxxxfEX令X1,解得1XX,所以,参数的矩估计量为1XX.()对于总体X的样本值nxxx,21,似然函数为niinninixxxxxfL1121.,0),2,1(1,)();()(其他当),2,1(1nixi时,0)(L,取对数得niixnL1ln)1(ln)(ln,对求导数，得考试点考研数学（三）更多精彩视频http:/