吉林省蛟河市第一中学2023学年高三下第一次测试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．运行如图所示的程序框图，若输出的的值为99，则判断框中可以填（ ） A． B． C． D． 2．已知，则（ ） A． B． C． D． 3．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P是C的右支上一点，连接与y轴交于点M，若（O为坐标原点），，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 4．记集合和集合表示的平面区域分别是和,若在区域内任取一点,则该点落在区域的概率为( ) A． B． C． D． 5．给定下列四个命题： ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行； ④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是( ) A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④ 6．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ）种. A．408 B．120 C．156 D．240 7．已知集合，则集合的非空子集个数是（ ） A．2 B．3 C．7 D．8 8．已知向量，则向量在向量方向上的投影为（ ） A． B． C． D． 9． “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为 A． B． C． D． 10．曲线上任意一点处的切线斜率的最小值为（ ） A．3 B．2 C． D．1 11．已知复数满足，则（ ） A． B． C． D． 12．已知双曲线的渐近线方程为，且其右焦点为，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．在平面直角坐标系中，双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线上，则实数的值为________. 14．已知抛物线的对称轴与准线的交点为，直线与交于，两点，若，则实数__________． 15．已知圆C：经过抛物线E：的焦点，则抛物线E的准线与圆C相交所得弦长是__________. 16．已知实数，满足约束条件，则的最大值是__________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知抛物线的焦点为，点，点为抛物线上的动点． （1）若的最小值为，求实数的值； （2）设线段的中点为，其中为坐标原点，若，求的面积． 18．（12分）设椭圆的左右焦点分别为，离心率是，动点在椭圆上运动，当轴时，. （1）求椭圆的方程； （2）延长分别交椭圆于点（不重合）.设，求的最小值. 19．（12分）设，函数，其中为自然对数的底数. （1）设函数. ①若，试判断函数与的图像在区间上是否有交点； ②求证：对任意的，直线都不是的切线； （2）设函数，试判断函数是否存在极小值，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 20．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程； （2）设为曲线上位于第一，二象限的两个动点，且，射线交曲线分别于，求面积的最小值，并求此时四边形的面积. 21．（12分）已知函数. （Ⅰ）当时，求函数在上的值域； （Ⅱ）若函数在上单调递减，求实数的取值范围. 22．（10分）在中，． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若，，求的值． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 模拟执行程序框图，即可容易求得结果. 【题目详解】 运行该程序： 第一次，，； 第二次，，； 第三次，，， …； 第九十八次，，； 第九十九次，，， 此时要输出的值为99. 此时. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归转化思想，涉及判断条件的选择，属基础题. 2、D 【答案解析】 根据指数函数的单调性，即当底数大于1时单调递增，当底数大于零小于1时单调递减，对选项逐一验证即可得到正确答案. 【题目详解】 因为，所以，所以是减函数， 又因为，所以，， 所以，，所以A,B两项均错； 又，所以，所以C错； 对于D，，所以， 故选D. 【答案点睛】 这个题目考查的是应用不等式的性质和指对函数的单调性比较大小，两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系. 3、C 【答案解析】 利用三角形与相似得，结合双曲线的定义求得的关系，从而求得双曲线的渐近线方程。 【题目详解】 设，， 由，与相似， 所以，即， 又因为， 所以，， 所以，即，， 所以双曲线C的渐近线方程为. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查双曲线几何性质、渐近线方程求解，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力。 4、C 【答案解析】 据题意可知，是与面积有关的几何概率，要求落在区域内的概率，只要求、所表示区域的面积，然后代入概率公式，计算即可得答案． 【题目详解】 根据题意可得集合所表示的区域即为如图所表示： 的圆及内部的平面区域，面积为， 集合，，表示的平面区域即为图中的，， 根据几何概率的计算公式可得， 故选：C． 【答案点睛】 本题主要考查了几何概率的计算，本题是与面积有关的几何概率模型．解决本题的关键是要准确求出两区域的面积． 5、D 【答案解析】 利用线面平行和垂直，面面平行和垂直的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择． 【题目详解】 当两个平面相交时，一个平面内的两条直线也可以平行于另一个平面，故①错误；由平面与平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线还可以相交或者异面，故③错误；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．综上，真命题是②④. 故选：D 【答案点睛】 本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题． 6、A 【答案解析】 利用间接法求解，首先对6门课程全排列，减去“乐”排在第一节的情况，再减去“射”和“御”两门课程相邻的情况，最后还需加上“乐”排在第一节，且“射”和“御”两门课程相邻的情况； 【题目详解】 解：根据题意，首先不做任何考虑直接全排列则有（种）， 当“乐”排在第一节有（种）， 当“射”和“御”两门课程相邻时有（种）， 当“乐”排在第一节，且“射”和“御”两门课程相邻时有（种）， 则满足“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻的排法有（种）， 故选：． 【答案点睛】 本题考查排列、组合的应用，注意“乐”的排列对“射”和“御”两门课程相邻的影响，属于中档题． 7、C 【答案解析】 先确定集合中元素，可得非空子集个数． 【题目详解】 由题意，共3个元素，其子集个数为，非空子集有7个． 故选：C． 【答案点睛】 本题考查集合的概念，考查子集的概念，含有个元素的集合其子集个数为，非空子集有个． 8、A 【答案解析】 投影即为，利用数量积运算即可得到结论. 【题目详解】 设向量与向量的夹角为， 由题意，得，， 所以，向量在向量方向上的投影为. 故选：A. 【答案点睛】 本题主要考察了向量的数量积运算，难度不大，属于基础题. 9、D 【答案解析】 分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解. 详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为， 所以， 又，则 故选D. 点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种： （1）定义法，若（）或（）， 数列是等比数列； （2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列. 10、A 【答案解析】 根据题意，求导后结合基本不等式，即可求出切线斜率，即可得出答案. 【题目详解】 解：由于，根据导数的几何意义得： ， 即切线斜率， 当且仅当等号成立， 所以上任意一点处的切线斜率的最小值为3. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查导数的几何意义的应用以及运用基本不等式求最值，考查计算能力. 11、A 【答案解析】 根据复数的运算法则，可得，然后利用复数模的概念，可得结果. 【题目详解】 由题可知： 由，所以 所以 故选：A 【答案点睛】 本题主要考查复数的运算，考验计算，属基础题. 12、B 【答案解析】 试题分析：由题意得，，所以，，所求双曲线方程为． 考点：双曲线方程. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 求出双曲线的右准线与渐近线的交点坐标，并将该交点代入抛物线的方程，即可求出实数的方程. 【题目详解】 双曲线的半焦距为，则双曲线的右准线方程为，渐近线方程为，所以，该双曲线右准线与渐近线的交点为. 由题意得，解得. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查利用抛物线上的点求参数，涉及到双曲线的准线与渐近线方程的应用，考查计算能力，属于中等题. 14、 【答案解析】 由于直线过抛物线的焦点，因此过，分别作的准线的垂线，垂足分别为，，由抛物线的定义及平行线性质可得，从而再由抛物线定义可求得直线倾斜角的余弦，再求得正切即为直线斜率．注意对称性，问题应该有两解． 【题目详解】 直线过抛物线的焦点，，过，分别作的准线的垂线，垂足分别为，，由抛物线的定义知，． 因为，所以．因为， 所以，从而． 设直线的倾斜角为，不妨设，如图，则， ，同理， 则， 解得，，由对称性还有满足题意． ，综上，． 【答案点睛】 本题考查抛物线的性质，考查抛物线的焦点弦问题，掌握抛物线的定义，把抛物线上点到焦点距离与它到距离联系起来是解题关键． 15、 【答案解析】 求出抛物线的焦点坐标，代入圆的方程，求出的值，再求出准线方程，利用点到直线的距离公式，求出弦心距，利用勾股定理可以求出弦长的一半，进而求出弦长． 【题目详解】 抛物线E: 的准线为，焦点为（0，1），把