2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案详解.pdf

考试点考研数学（三）更多精彩视频http:/ 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试数学数学(三三)试卷试卷一、填空题填空题：16 小题，每小题 4 分，共 24 分.把答案填在题中横线上.（1）11lim_.nnnn（2）设函数()f x在2x 的某邻域内可导,且 ef xfx，21f，则 2_.f（3）设 函 数()f u可 微,且 102f,则224zfxy在 点(1,2)处 的 全 微 分1,2d_.z（4）设矩阵2112A，E为 2 阶单位矩阵，矩阵B满足2BABE，则B.（5）设 随 机 变 量XY与相 互 独 立，且 均 服 从 区 间0,3上 的 均 匀 分 布，则max,1PX Y _.（6）设总体X的概率密度为 121,2xnfxexXXX 为总体X的简单随机样本，其样本方差为2S，则2_.ES 二、选择题：二、选择题：714 小题，每小题 4 分，共 32 分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数()yf x具有二阶导数，且()0,()0fxfx，x为自变量x在点0 x处的增量，dyy 与分别为()f x在点0 x处对应的增量与微分，若0 x，则(A)0dyy.(B)0dyy .(C)d0yy.(D)d0yy .（8）设函数 f x在0 x 处连续，且220lim1hf hh，则(A)000ff 且存在(B)010ff 且存在(C)000ff 且存在(D)010ff 且存在考试点考研数学（三）更多精彩视频http:/ a收敛.(D)112nnnaa收敛.（10）设非齐次线性微分方程()()yP x yQ x有两个不同的解12(),(),y xyx C为任意常数，则该方程的通解是（）12()()C y xyx.（）112()()()y xC y xyx.（）12()()C y xyx.（）112()()()y xC y xyx（11）设(,)(,)f x yx y与均为可微函数，且(,)0yx y，已知00(,)xy是(,)f x y在约束条件(,)0 x y下的一个极值点，下列选项正确的是(A)若00(,)0 xfxy，则00(,)0yfxy.(B)若00(,)0 xfxy，则00(,)0yfxy.(C)若00(,)0 xfxy，则00(,)0yfxy.(D)若00(,)0 xfxy，则00(,)0yfxy.（12）设12,s 均为n维列向量，A为m n矩阵，下列选项正确的是(A)若12,s 线性相关，则12,sAAA线性相关.(B)若12,s 线性相关，则12,sAAA线性无关.(C)若12,s 线性无关，则12,sAAA线性相关.(D)若12,s 线性无关，则12,sAAA线性无关.（13）设A为 3 阶矩阵，将A的第 2 行加到第 1 行得B，再将B的第 1 列的1倍加到第 2列得C，记110010001P，则（）1CPAP.（）1CPAP.（）TCP AP.（）TCPAP.考试点考研数学（三）更多精彩视频http:/ Y则必有(A)12(B)12(C)12(D)12三三、解答题：、解答题：1523 小题，共小题，共 94 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分（本题满分 7 分）分）设1sin,0,01arctanxyyyfx yxyxyx,求()lim,yg xf x y；()0limxg x.（16）（本题满分（本题满分 7 分）分）计算二重积分2d dDyxy x y，其中D是由直线,1,0yx yx所围成的平面区域.（17）（本题满分（本题满分 10 分）分）证明：当0ab时，sin2cossin2cosbbbbaaaa.（18）（本题满分（本题满分 8 分）分）在xOy坐标平面上，连续曲线L过点1,0M，其上任意点,0P x yx 处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax（常数0a）.()求L的方程；()当L与直线yax所围成平面图形的面积为83时，确定a的值.（19）（本题满分（本题满分 10 分）分）求幂级数1211121nnnxnn的收敛域及和函数()s x.（20）（本题满分（本题满分 13 分）分）设4维 向 量 组TTT1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,aaaT44,4,4,4a，问a为何值时1234,线性相关?当1234,线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.（21）（本题满分（本题满分 13 分）分）考试点考研数学（三）更多精彩视频http:/ 阶实对称矩阵A的各行元素之和均为 3,向量TT121,2,1,0,1,1 是线性方程组0Ax 的两个解.()求A的特征值与特征向量；()求正交矩阵Q和对角矩阵,使得TQ AQ ；（）求A及632AE，其中E为 3 阶单位矩阵.（22）（本题满分（本题满分 13 分）分）设随机变量X的概率密度为 1,1021,0240,Xxfxx 其他，令2,YXF x y为二维随机变量(,)X Y的分布函数.()求Y的概率密度 Yfy；()Cov(,)X Y；()1,42F.（23）（本题满分（本题满分 13 分）分）设总体X的概率密度为,01,;1,12,0,xf xx其他,其中是未知参数01，12n,.,XXX为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值12,.,nx xx中小于 1 的个数.（）求的矩估计；（）求的最大似然估计2006 年考研数学（三）真题解析年考研数学（三）真题解析一、填空题填空题：16 小题，每小题 4 分，共 24 分.把答案填在题中横线上.考试点考研数学（三）更多精彩视频http:/ 求解.【详解详解】(1)111lnlim(1)ln1limlimeennnnnnnnnnnn，而数列(1)n有界，1limln0nnn，所以1lim(1)ln0nnnn.故101lime1nnnn.（2）设函数()f x在2x 的某邻域内可导,且 ef xfx，21f，则 322e.f【分析分析】利用复合函数求导即可.【详解详解】由题设知，ef xfx，两边对x求导得 2e()ef xf xfxfx，两边再对x求导得 23()2e()2ef xf xfxfx，又 21f，故 323(2)2e2eff.（3）设 函 数()f u可 微,且 102f,则224zfxy在 点(1,2)处 的 全 微 分1,2d4d2d.zxy【分析分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算.【详解详解】方法一：因为22(1,2)(1,2)(4)84zfxyxx，22(1,2)(1,2)(4)22zfxyyy ，所以1,21,21,2ddd4d2dzzzxyxyxy.方法二：对224zfxy微分得222222d(4)d(4)(4)8 d2 dzfxyxyfxyx xy y，考试点考研数学（三）更多精彩视频http:/ 2 阶单位矩阵，矩阵B满足2BABE，则B2.【分析分析】将矩阵方程改写为AXBXABAXBC或或的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解详解】由题设，有()2B AEE于是有4B AE，而11211AE，所以2B.（5）设随机变量XY与相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，则max,1PX Y 19.【分析分析】利用XY与的独立性及分布计算.【详解详解】由题设知，XY与具有相同的概率密度1,3()30,xf x0其他.则max,11,1PX YP XY 11P XP Y2120111d39P Xx.【评注评注】本题属几何概型，也可如下计算，如下图：则1max,11,19SPX YP XYS阴.（6）设总体X的概率密度为 121,2xnfxexXXX 为总体X的简单随机样本，其样本方差为2S，则22.ES 考试点考研数学（三）更多精彩视频http:/ xxx，22222000()dede de2e d2xxxxxEXx f xxxxxxxx 0002 e2e d2e2xxxxx ，所以22202DXEXEX，又因2S是DX的无偏估计量，所以22ESDX.二、选择题：二、选择题：714 小题，每小题 4 分，共 32 分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数()yf x具有二阶导数，且()0,()0fxfx，x为自变量x在点0 x处的增量，dyy 与分别为()f x在点0 x处对应的增量与微分，若0 x，则(A)0dyy.(B)0dyy .(C)d0yy.(D)d0yy .【分析分析】题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.【详解详解】由()0,()0fxfx知，函数()f x单调增加，曲线()yf x凹向，作函数()yf x的图形如右图所示，显然当0 x 时，00d()d()0yyfxxfxx ，故应选().（8）设函数 f x在0 x 处连续，且220lim1hf hh，则(A)000ff 且存在(B)010ff 且存在(C)000ff 且存在(D)010ff 且存在C【分析分析】从220lim1hf hh入手计算(0)f，利用导数的左右导数定义判定(0),(0)ff的存在性.【详解详解】由220lim1hf hh知，20lim0hf h.又因为 f x在0 x 处连续，则 200(0)lim()lim0 xhff xf h.考试点考研数学（三）更多精彩视频http:/ 2200(0)1limlim(0)htf hf tffht.所以(0)f存在，故本题选（C）.（9）若级数1nna收敛，则级数(A)1nna收敛.（B）1(1)nnna收敛.(C)11nnna a收敛.(D)112nnnaa收敛.【分析分析】可以通过举反例及级数的性质来判定.【详解详解】由1nna收敛知11nna收敛，所以级数112nnnaa收敛，故应选().或利用排除法：取1(1)nnan，则可排除选项（），（）；取1(1)nnan，则可排除选项（）.故（）项正确.（10）设非齐次线性微分方程()()yP x yQ x有两个不同的解12(),(),y xyx C为任意常数，则该方程的通解是（）12()()C y xyx.（）112()()()y xC y xyx.（）12()()C y xyx.（）112()()()y xC y xyx【分析分析】利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可.【详解详解】由于12()()y xyx是对应齐次线性微分方程()0yP x y的非零解，所以它的通解是12()()YC y xyx，故原方程的通解为1112()()()()yy xYy xC y xyx，故应选().【评注评注】本题属基本题型，考查一阶线性非齐次微分方程解的结构：*yyY.其中*y是所给一阶线性微分方程的特解，Y是对应齐次微分方程的通解.（11）设(,)(,)f x yx y与均为可微函数，且(,)0yx y，已知00(,)xy是(,)f x y在约束考试点考研数学（三）更多精彩视频http:/ y下的一个极值点，下列选项正确的是(A)若00(,)0 xfxy，则00(,)0yfxy.(B)若00(,)0 xfxy，则00(,)0yfxy.(C)若00(,)0 xfxy，则00(,)0yfxy.(D)若00(,)0 xfxy，则00(,)0yfxy.【分析分析】利用拉格朗日函数(,)(,)(,)F x yf x yx y在000(,)xy（0是对应00,xy的参数的值）取到极值的必要条件即可.【详解详解】作拉格朗日函数(,)(,)(,)F x yf x yx y，并记对应00,xy的参数的值为0，则000000(,)0(,)0 xyFxyFxy，即0000000000(,)(,)0(,)(,)0 xxyyfxyxyfxyxy .消去0，得00000000(,)(,)(,)(,)0 xyyxfxyxyfxyxy,整理得000000001(,)(,)(,)(,)xyxyfxyfxyxyxy.（因为(,)0yx y），若00(,)0 xfxy，则00(,)0yfxy.故选（）.（12）设12,s 均为n维列向量，A为m n矩阵，下列选项正确的是(C)若12,s 线性相关，则12,sAAA线性相关.(D)若12,s 线性相关，则12,sAAA线性无关.(C)若12,s 线性无关，则12,sAAA线性相关.(D)若12,s 线性无关，则12,sAAA线性无关.A【分析分析】本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定.【详解详解】记12(,)sB，则12(,)sAAAAB.考试点考研数学（三）更多精彩视频http:/ 线性相关，则()r Bs，从而()()r ABr Bs，向量组12,sAAA也线性相关，故应选().（13）设A为 3 阶矩阵，将A的第 2 行加到第 1 行得B，再将B的第 1 列的1倍加到第 2列得C，记110010001P，则（）1CPAP.（）1CPAP.（）TCP AP.（）TCPAP.【分析分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.【详解详解】由题设可得110110110110010,010010010001001001001BACBA，而1110010001P，则有1CPAP.故应选（）.（14）设随机变量X服从正态分布211(,)N，Y服从正态分布222(,)N，且1211PXP Y则必有(B)12(B)12(C)12(D)12A【分析分析】利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得.【详解详解】由题设可得12112211XYPP，则12112121 ，即1211.其中()x是标准正态分布的分布函数.又()x是单调不减函数，则1211，即12.故选(A).考试点考研数学（三）更多精彩视频http:/ 小题，共小题，共 94 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分（本题满分 7 分）分）设1sin,0,01arctanxyyyfx yxyxyx,求()lim,yg xf x y；()0limxg x.【分析分析】第()问求极限时注意将x作为常量求解，此问中含,0型未定式极限；第()问需利用第()问的结果，含 未定式极限.【详解详解】()1sinlim,lim1arctanyyxyyyg xfx yxyxsin11111lim1arctanarctanyxyxyxxxxy.()200011arctanlimlimlimarctanarctanxxxxxxxg xxxxx（通分）22222000112arctan2(1)1limlimlim22xxxxxxxxxxxxxx（16）（本题满分（本题满分 7 分）分）计算二重积分2d dDyxy x y，其中D是由直线,1,0yx yx所围成的平面区域.【分析分析】画出积分域，将二重积分化为累次积分即可.【详解详解】积分区域如右图.因为根号下的函数为关于x的一次函数，“先x后y”积分较容易，所以12200d dddyDyxy x yyyxy x考试点考研数学（三）更多精彩视频http:/ 10 分）分）证明：当0ab时，sin2cossin2cosbbbbaaaa.【分析分析】利用“参数变易法”构造辅助函数，再利用函数的单调性证明.【详解详解】令()sin2cossin2cos,0f xxxxxaaaaaxb，则()sincos2sincossinfxxxxxxxx，且()0f.又()cossincossin0fxxxxxxx，（0,sin0 xxx时），故当0axb时，()fx单调减少，即()()0fxf，则()f x单调增加，于是()()0f bf a，即sin2cossin2cosbbbbaaaa.（18）（本题满分（本题满分 8 分）分）在xOy坐标平面上，连续曲线L过点1,0M，其上任意点,0P x yx 处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax（常数0a）.()求L的方程；()当L与直线yax所围成平面图形的面积为83时，确定a的值.【分析分析】()利用导数的几何意义建立微分方程，并求解；()利用定积分计算平面图形的面积，确定参数.【详解详解】()设曲线L的方程为()yf x，则由题设可得yyaxx，这是一阶线性微分方程，其中1(),()P xQ xaxx，代入通解公式得11dd2eedxxxxyaxxCx axCaxCx，又(1)0f，所以Ca.故曲线L的方程为2yaxax(0)x.()L与直线yax（0a）所围成平面图形如右图所示.所以220dDaxaxaxx220482d33axxxa，故2a.（19）（本题满分（本题满分 10 分）分）考试点考研数学（三）更多精彩视频http:/ x.【分析分析】因为幂级数缺项，按函数项级数收敛域的求法计算；利用逐项求导或积分并结合已知函数的幂级数展开式计算和函数.【详解详解】记121(1)()(21)nnnxuxnn，则2321121(1)()(1)(21)limlim(1)()(21)nnnnnnnnxuxnnxxuxnn.所以当21,1xx即时，所给幂级数收敛；当1x 时，所给幂级数发散；当1x 时，所给幂级数为1(1)(1),(21)(21)nnnnnn，均收敛，故所给幂级数的收敛域为1,1在1,1内，12112111(1)(1)()22()(21)(21)2nnnnnnxxs xxxs xnnnn，而12112211211(1)1(),()(1)211nnnnnnxsxsxxnx，所以1112001()(0)()ddarctan1xxsxsstttxt，又1(0)0s，于是1()arctansxx.同理11100()(0)()darctan dxxs xssttt t20201arctandarctanln 112xxttttxxxt，又1(0)0s，所以211()arctanln 12s xxxx.故22()2arctanln 1s xxxxx.1,1x.由于所给幂级数在1x 处都收敛，且22()2arctanln 1s xxxxx在1x 处都连续，所以()s x在1x 成立，即22()2arctanln 1s xxxxx，1,1x.（20）（本题满分（本题满分 13 分）分）考试点考研数学（三）更多精彩视频http:/ 向 量 组TTT1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,aaaT44,4,4,4a，问a为何值时1234,线性相关?当1234,线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.【分析分析】因为向量组中的向量个数和向量维数相同，所以用以向量为列向量的矩阵的行列式为零来确定参数a；用初等变换求极大线性无关组.【详解详解】记以1234,为列向量的矩阵为A，则312341234(10)12341234aaAa aaa.于是当0,010Aaa 即或时，1234,线性相关.当0a 时，显然1是一个极大线性无关组，且2131412,3,4 ；当10a 时，12349234183412741236A，由于此时A有三阶非零行列式9231834000127，所以123,为极大线性无关组，且123441230，即.（21）（本题满分（本题满分 13 分）分）设3 阶实对称矩阵A的各行元素之和均为 3,向量TT121,2,1,0,1,1 是线性方程组0Ax 的两个解.()求A的特征值与特征向量；()求正交矩阵Q和对角矩阵,使得TQ AQ ；（）求A及632AE，其中E为 3 阶单位矩阵.【分析分析】由矩阵A的各行元素之和均为 3 及矩阵乘法可得矩阵A的一个特征值和对应考试点考研数学（三）更多精彩视频http:/ 有非零解可知A必有零特征值，其非零解是 0 特征值所对应的特征向量.将A的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q；由TQ AQ 可得到A和632AE.【详解详解】()因为矩阵A的各行元素之和均为 3，所以131133 1131A ，则由特征值和特征向量的定义知，3是矩阵A的特征值，T(1,1,1)是对应的特征向量.对应3的全部特征向量为k，其中k为不为零的常数.又由题设知120,0AA，即11220,0AA，而且12,线性无关，所以0是矩阵A的二重特征值，12,是其对应的特征向量，对应0的全部特征向量为1122kk，其中12,k k为不全为零的常数.()因为A是实对称矩阵，所以与12,正交，所以只需将12,正交.取11，21221111012,3120,61112 .再将12,单位化，得121231211136212,036111236，令123,Q ，则1TQQ，由A是实对称矩阵必可相似对角化，得考试点考研数学（三）更多精彩视频http:/ AQ.（）由()知T300Q AQ，所以T11111136233331 1 112121001 1 13666601 1 111111036222AQ Q.666TTT333222QAEQQAE QQ AQE6666633223333022203322E，则666T333222AEQEQE.（22）（本题满分（本题满分 13 分）分）设随机变量X的概率密度为 1,1021,0240,Xxfxx 其他，令2,YXF x y为二维随机变量(,)X Y的分布函数.()求Y的概率密度 Yfy；()Cov(,)X Y；考试点考研数学（三）更多精彩视频http:/ YyP Xy，则1)当0y 时，()0YFy；2)当01y时，2()()YFyP XyPyXy00113dd244yyxxy.3)当14y时，2()()1YFyP XyPXy 0101111dd2442yxxy.4)当4y，()1YFy.所以3,0181()(),1480,YYyyfyFyyy其他.（II）22232Cov(,)Cov(,)()()X YX XE XEXXEXEXEXEX，而02101dd244xxEXxx，22022105dd246xxEXxx，33023107dd248xxEXxx，所以71 52Cov(,)84 63X Y.()1,42F211,4,422P XYP XX 11,22222P XXPX 考试点考研数学（三）更多精彩视频http:/ 13 分）分）设总体X的概率密度为,01,;1,12,0,xf xx其他,其中是未知参数01，12n,.,XXX为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值12,.,nx xx中小于 1 的个数.（）求的矩估计；（）求的最大似然估计【分析分析】利用矩估计法和最大似然估计法计算.【详解详解】（）因为12013(;)dd1d2EXxf xxxxxx，令32X，可得的矩估计为32X.（）记似然函数为()L，则()111(1)Nn NNn NL 个个.两边取对数得ln()ln()ln(1)LNnN，令dln()0d1LNnN，解得Nn为的最大似然估计.