7．2.2两条直线的位置关系【课标要求】1．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．2．理解直线相交、平行、重合、垂直的意义，会利用直线的几何特征判定直线相交、平行、重合、垂直．3．会由两条直线的法向量来判定两条直线相交、平行、重合、垂直．自学导引1．利用法向量确定两直线的位置关系(1)两条直线平行或重合⇔它们的法向量．(2)两条直线相交⇔它们的法向量不平行．(3)两条直线垂直⇔它们的法向量．2．两直线的夹角两直线的夹角α的大小规定在0≤α≤π2的范围内，当法向量的夹角满足0≤θ≤π2时，；当法向量的夹角θ>π2时，α＝.平行垂直α＝θπ－θ3．定理2设直线l1、l2的方程分别为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0l1与l2重合⇔存在实数λ≠0，使A2＝λA1B2＝λB1，C2＝λC1；l1与l2平行⇔存在实数λ≠0，使A2＝λA1，B2＝λB1，C2≠λC1.l1与l2相交⇔A1B2－A2B1≠0；l1与l2垂直⇔A1A2＋B1B2＝0；l1与l2夹角θ的余弦cosθ＝|A1A2＋B1B2|A21＋B21·A22＋B22.自主探究探究1：如何利用方程来判断两直线的位置关系呢？提示将两条直线的方程联立得方程组，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标，若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行．探究2：直线的夹角和向量的夹角有何区别？提示直线的夹角的范围为[0，π2]，而向量的夹角的范围为[0，π]．探究3：如何理解和应用定理2?提示不需死记定理2，只需掌握它的思路，将直线方程之间的关系转化为法向量之间的关系，先找直线的法向量．预习测评1．直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是()．A．3x＋2y－1＝0B．3x＋2y＋7＝0C．2x－3y＋5＝0D．2x－3y＋8＝0解析 直线2x－3y＋4＝0的法向量为(2，－3)，∴l的法向量为(3,2)，∴l的方程为3x＋2y＋C＝0，将(－1,2)代入得C＝－1，∴l的方程为3x＋2y－1＝0.答案A2．两直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0垂直的条件是()．A．A1A2＋B1B2＝0B．A1A2－B1B2＝0C.A1A2B1B2＝－1D.B1B2A1A2＝1解析两直线的法向量分别为n1＝(A1，B1)，n2＝(A2，B2)，两直线垂直的条件是n1⊥n2，即n1·n2＝0，∴A1A2＋B1B2＝0.答案A3．若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________.解析 直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，∴1×2＋(－2)×m＝0，∴m＝1.答案14．已知直线ax＋4y－2＝0和2x－5y＋b＝0垂直，交于点A(1，m)，则a＝________，b＝________，m＝_...
