掌握利用向量的数量积的性质，求长度和角度，判断两向量是否垂直，了解其几何意义．4.5.2利用数量积计算长度和角度向量的数量积的性质(1)如果b是单位向量，则a·b＝b·a＝______________；(a≠0，b≠0)(2)a⊥b⇒______且a·b＝0⇒____(a≠0，b≠0)；(3)a·a＝___或|a|＝______.自学导引|a||b|cos〈a，b〉a·b＝0a⊥b|a|2a·a(4)cos〈a，b〉＝＝.(5)|a·b|__|a||b|.(6)(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.(7)(a－b)2＝|a|2－2a·b＋|b|2.(8)(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2.a·b|a||b|a·b|a|2|b|2≤已知|a|＝|b|＝2，〈a，b〉＝80°，试求向量a－b与b的夹角大小．自主探究提示如图，作AB→＝a，AC→＝b，并使∠BAC＝80°.则CB→＝a－b.由于|a|＝|b|＝2，所以△ABC为等腰三角形由于〈a，b〉＝80°，即∠BAC＝80°，所以∠ABC＝∠ACB＝50°，平移向量b，使其起点与a－b的起点重合，则∠ACB的补角为a－b与b的夹角；易求得〈a－b，b〉的大小为130°.已知向量a、b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为()．预习测评1．A.π6B.π3C.5π6D.2π3答案B下列等式中，其中正确的有()．①|a|2＝a2②③(a·b)2＝a2·b2④(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2A．1个B．2个C．3个D．4个2．a·ba2＝ba解析①|a|2＝a2是向量数量积的性质，在求模计算中常用；②a·ba2＝|a||b|cosθ|a|2＝|b||a|cosθ≠ba；③(a·b)2＝(|a||b|cosθ)2＝|a|2|b|2cos2θ≠a2·b2；④(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝a2＋a·b＋b·a＋b2＝a2＋2a·b＋b2.答案B若|a|＝3，|b|＝5，且a＋λb与a－λb垂直，则λ＝()．答案B已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________.答案73．4．A.35B．±35C．±45D．±925向量数量积的性质及作用设a和b是非零向量，a与b的夹角为θ.(1)a⊥b⇔a·b＝0，此性质可用来证明向量垂直或由向量垂直推出等量关系．(2)当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|，当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，即当a与b共线时，|a·b|＝|a||b|，此性质可用来证明向量共线．名师点睛(3)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．(4)cosθ＝a·b|a||b|，此性质可求a与b的夹角或直线的夹角或利用夹角取值情况，建立方程或不等式用于求参数的值或范围．已知向量a，b满足|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，求|a－b|.解由已知：|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，∴(a＋b)2＝242.a2＋2a·b＋b2＝242，2a·b＝242－132－192＝46.又 (a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1...
