高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI10.6离散型随机变量的数字特征第十章2022内容索引0102必备知识预案自诊关键能力学案突破03素养提升微专题16——超几何分布的均值与方差04案例探究(五)概率与函数、导数、数列、不等式的综合问题必备知识预案自诊【知识梳理】1.均值或数学期望(1)定义:一般地,如果离散型随机变量X的分布列如下表所示.Xx1x2…xk…xnPp1p2…pk…pn则称E(X)==为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望).(2)意义:它刻画了X的.(3)性质:若X与Y都是随机变量,且Y=ax+b(a≠0),则E(Y)=.x1p1+x2p2+…+xnpn∑𝑖=1𝑛xipi平均取值aE(x)+b温馨提示随机变量的均值公式与加权平均数的联系加权平均数,假设随机试验进行了n次,根据X的概率分布,在n次试验中,x1出现了p1n次,x2出现了p2n次,…,xn出现了pnn次,故在n次试验中,X出现的总次数为p1nx1+p2nx2+…+pnnxn.因此n次试验中,X出现的平均值等于故E(X)=p1x1+p2x2+…+pnxn.𝑝1𝑛𝑥1+𝑝2𝑛𝑥2+…+𝑝𝑛𝑛𝑥𝑛𝑛=E(X).2.两点分布、二项分布及超几何分布的均值(1)若随机变量X服从参数为p的两点分布,则E(X)=;(2)若X服从参数为n,p的二项分布,即X~B(n,p),则E(X)=;(3)若X服从参数为N,n,M的超几何分布,即X~H(N,n,M),则E(X)=.pnpnMN3.离散型随机变量的方差与标准差(1)定义:如果离散型随机变量X的分布列如下表所示.则D(X)==,称为离散型随机变量X的方差;称为离散型随机变量X的标准差.(2)意义:方差和标准差均刻画一个离散型随机变量的程度(或波动大小).(3)性质:若X与Y都是离散型随机变量,且Y=aX+b(a≠0),则D(Y)=.Xx1x2…xk…xnPp1p2…pk…pn[x1-E(X)]2p1+[x2-E(X)]2p2+…+[xn-E(X)]2pn∑i=1n[xi-E(X)]2piඥ𝐷(𝑋)离散a2D(X)4.两点分布及二项分布的方差(1)若随机变量X服从参数为p的两点分布,则D(X)=.(2)若随机变量X~B(n,p),则D(X)=.p(1-p)np(1-p)常用结论1.若X1,X2相互独立,则E(X1·X2)=E(X1)·E(X2).2.均值与方差的关系:D(X)=E(X2)-E2(X).3.E(k)=k,D(k)=0,其中k为常数.4.E(X1+X2)=E(X1)+E(X2).5.若X~N(μ,σ2),则X的均值与方差分别为E(X)=μ,D(X)=σ2.【考点自诊】1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)期望是算术平均数概念的推广,与概率无关.()(2)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况,因此它们是一回事.()(3)随机变量的均值是常数,样本的平均值是随机变量,它不确定.()(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离均值的...
