数学选择必修第二册RJA第五章一元函数的导数及其应用5.1导数的概念及其意义020304易错记重难斩巩固练模块导航01知识绘题型决05（详见教材划重点选择必修第二册RJAP87-P89）重难斩要点1例1设函数f(x)在x＝x0处可导，试求下列各极限的值．(1)f（x0－Δx）－f（x0）Δx；(2)f（x0＋h）－f（x0－h）2h；(3)若f′(x0)＝2，求f（x0－k）－f（x0）2k.重难斩【解】(1)原式＝f（x0－Δx）－f（x0）－（－Δx）＝－f（x0－Δx）－f（x0）－Δx＝－f′(x0)．(2)原式＝f（x0＋h）－f（x0）＋f（x0）－f（x0－h）2h＝12^limh→0f（x0＋h）－f（x0）h＋^limh→0f（x0－h）－f（x0）－h＝12[f′(x0)＋f′(x0)]＝f′(x0)．(3) f′(x0)＝f（x0＋（－k））－f（x0）－k＝2，∴f（x0－k）－f（x0）2k＝－12f（x0＋（－k））－f（x0）－k＝－12f′(x0)＝－12×2＝－1.重难斩例2已知函数f(x)＝12（x2＋1），x≤1，12（x＋1），x>1，判断f(x)在x＝1处是否可导．【解】当x≤1时，ΔyΔx＝12[（1＋Δx）2＋1]－12×（12＋1）Δx＝1，当x>1时，ΔyΔx＝12[（1＋Δx）＋1]－12×（1＋1）Δx＝12， 在x＝1处，f(x)的左、右极限不相等，∴f(x)在x＝1处不可导．要点2分段函数的求导重难斩要点3求曲线在某点处的切线方程例3曲线y＝x2－2x＋2在点(2，2)处的切线方程为__________．【解析】 Δy＝(2＋Δx)2－2(2＋Δx)＋2－(22－2×2＋2)＝2Δx＋(Δx)2，∴ΔyΔx＝2＋Δx，∴y′|x＝2＝(2＋Δx)＝2.∴曲线在点(2，2)处的切线斜率为2.∴切线方程为y－2＝2(x－2)，即2x－y－2＝0.2x－y－2＝0重难斩要点4求曲线过某点的切线方程例4[安徽安庆2021月考]已知函数f(x)＝x3－2x及点P(1，－1)，过点P作直线l，使直线l和y＝f(x)相切，求直线l的方程．【解】由题意知，点P在函数f(x)的图象上，f′(x)＝ΔyΔx＝（x＋Δx）3－2（x＋Δx）－x3＋2xΔx＝(3x2－2＋3xΔx＋Δx2)＝3x2－2.(1)当P为切点时，直线l的斜率k＝f′(1)＝1，此时直线l的方程为x－y－2＝0.重难斩(2)当P不为切点时，设切点坐标为(x0，y0)(x0≠1)，此时直线l的斜率k＝f′(x0)＝3x02－2. k＝y0＋1x0－1，∴3x02－2＝y0＋1x0－1. 点(x0，y0)在f(x)的图象上，∴y0＝x03－2x0，∴3x02－2＝x03－2x0＋1x0－1，解得x0＝－12，则y0＝78，k＝，此时切线l的方程为5x＋4y－1＝0.∴直线l的方程为x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.易错记易错点1求平均变化率时未化为最简致错例1求函数y＝1x2从x0到x0＋Δx的平均变化率(x0≠0)．【错解】当自变...
