高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI指点迷津(一)在导数应用中如何构造函数第三章2022在有关导数的应用中,无论是求函数的单调性、求极值最值,证明不等式、求参数的范围,还是讨论函数的零点,都需要从给定的已知条件中构造出一个或两个函数进行研究,构造的得当能降低难度,减少运算量,但有很多同学不知道如何构造,下面对如何构造函数给出归类和总结.1.作差直接构造法【例1】函数f(x)=(x-2)ex+ax2-ax.设a=1,当x≥0时,f(x)≥kx-2,求k的取值范分析由f(x)≥kx-2,令g(x)=f(x)-kx+2=(x-2)ex+x2-x-kx+2.1212【例3】已知函数f(x)=ln(𝑥-𝑎)𝑥.若a=-1,证明:函数f(x)是(0,+∞)上的减函数;分析当a=-1时,函数f(x)的定义域是(-1,0)∪(0,+∞),所以f'(x)=𝑥𝑥+1-ln(𝑥+1)𝑥2,令g(x)=𝑥𝑥+1-ln(x+1).2.局部构造法【例2】已知函数f(x)=𝑎𝑥ln𝑥𝑥-1.当a=1时,判断f(x)有没有极值点.分析当a=1时,f(x)=𝑥ln𝑥𝑥-1,则f'(x)=𝑥-ln𝑥-1(𝑥-1)2,令g(x)=x-lnx-1.3.作差局部构造法【例4】已知函数f(x)=lnx-a(x-1),a∈R.当x≥1时,f(x)≤恒成立,求a的取值.𝑙𝑛𝑥𝑥+1分析f(x)-ln𝑥𝑥+1=𝑥ln𝑥-𝑎(𝑥2-1)𝑥+1,令g(x)=xlnx-a(x2-1)(x≥1).4.分离参数构造法【例5】在【例4】中,当x≥1时f(x)≤ln𝑥𝑥+1恒成立等价于lnx-ln𝑥𝑥+1≤a(x-1),(1)当x=1时,显然恒成立,∴a∈R.(2)当x>1时,上式等价于ln𝑥𝑥-1+ln𝑥𝑥2-1≤a⇔ቀln𝑥𝑥-1+ln𝑥𝑥2-1ቁmax≤a,令F(x)=ln𝑥𝑥-1+ln𝑥𝑥2-1.【例6】已知函数f(x)=ax-ln𝑥𝑥,a∈R.若f(x)≥0,求a的取值范围;分析函数的定义域为(0,+∞),由f(x)≥0得ax-ln𝑥𝑥≥0,即a≥ln𝑥𝑥2.令g(x)=ln𝑥𝑥2.5.特征构造法【例7】若x>0,证明:ln(𝑥+1)𝑥>𝑥e𝑥-1.分析因为𝑥e𝑥-1=lne𝑥e𝑥-1=ln(e𝑥-1+1)e𝑥-1,故原不等式等价于ln(𝑥+1)𝑥>ln(e𝑥-1+1)e𝑥-1,令f(x)=ln(𝑥+1)𝑥,由例3知f(x)=ln(𝑥+1)𝑥是(0,+∞)上的减函数,故要证原不等式成立,只需证明:当x>0时,xx1时,不等式𝑓(𝑥1)𝑥2−𝑓(𝑥2)𝑥1<0恒成立,求实数a的取值范围.结合x2>x1>0可得x1f(x1)-x2f(x2)<0恒成立,即x2f(x2)>x1f(x1)恒成立,构造函数g(x)=xf(x)=ex-ax2.分析不等式𝑓(𝑥1)𝑥2−𝑓(𝑥2)𝑥1<0,即𝑥1𝑓(𝑥1)-𝑥2𝑓(𝑥2)𝑥1𝑥2<0,6.变形、化简后构造【例9】求证当x∈(0,+∞)时,lne𝑥-1𝑥>𝑥2.分析当x∈(0,+∞)时,要证lne𝑥-1𝑥>𝑥2,只需证ex-1>xe𝑥2,令F(x)=ex-1-xe𝑥2,F...
