高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI第2讲圆锥曲线的定义、方程与性质专题六2022内容索引0102必备知识•精要梳理关键能力•学案突破必备知识•精要梳理1.圆锥曲线的定义(1)椭圆:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|);(2)双曲线:||PF1|-|PF2||=2a(0<2a<|F1F2|);(3)抛物线:|PF|=|PM|,点F不在直线l上,PM⊥l于点M.若点F在直线l上,点的轨迹是过F且与l垂直的直线误区警示利用椭圆、双曲线的定义解题时,要注意两种曲线的定义形式及其限制条件.如在双曲线的定义中,有两点是缺一不可的:其一,绝对值;其二,0<2a<|F1F2|.如果满足第二而不满足第一个条件,动点到两定点的距离之差为常数,而不是差的绝对值为常数,那么其轨迹只能是双曲线的一支.2.圆锥曲线的标准方程(1)椭圆:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)(焦点在x轴上)或𝑦2𝑎2+𝑥2𝑏2=1(a>b>0)(焦点在y轴上);(2)双曲线:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0)(焦点在x轴上)或𝑦2𝑎2−𝑥2𝑏2=1(a>0,b>0)(焦点在y轴上);(3)抛物线:y2=2px(p>0),y2=-2px(p>0),x2=2py(p>0),x2=-2py(p>0).名师点析注意区分椭圆与双曲线的标准方程,尤其是方程中a,b,c三者之间的关系,以及焦点所在位置.3.圆锥曲线的几何性质(1)双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±𝑏𝑎x.方程中勿忘“±”及“x”(2)椭圆、双曲线中a,b,c之间的关系①在椭圆中:a2=b2+c2,离心率为e=𝑐𝑎=ට1-ቀ𝑏𝑎ቁ2.②在双曲线中:c2=a2+b2,离心率为e=𝑐𝑎=ට1+ቀ𝑏𝑎ቁ2.注意离心率e与渐近线的斜率的关系名师点析已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时,可直接应用上述②中的公式,此时易忽视焦点所在的坐标轴导致漏解.4.直线与圆锥曲线的位置关系判断方法:通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断.弦长公式:|AB|=ξ1+𝑘2|x1-x2|=ට1+1𝑘2·|y1-y2|.名师点析直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解,在应用根与系数的关系解决问题时,必须先有“判别式Δ≥0”.在求交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在“Δ>0”下进行.关键能力•学案突破突破点一突破点二突破点三突破点四突破点一圆锥曲线的定义及标准方程[例1—1](2021·山西阳泉三模)已知F是抛物线C:y2=4x的焦点,过C上一点M作其准线的垂线,垂足为N,若∠NMF=120°,则点M的横坐标是()A.13B.12C.23D.1突破点一突破点二突破点三突破点四答案A解析如图所示,抛物线C:y2=4x的焦点坐标为F(1,0),过C上一点M作其准线的垂线,垂足为N,若∠NMF=120°,可得|MF|=|MN|,∠NFO=∠FNM=30°.又由|DF|...
