高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI指点迷津(二)球与空间几何体的切接问题第七章20221.外接球的问题球面经过多面体的所有顶点的球,叫多面体的外接球.球面经过旋转体的底面圆周和顶点(如果有顶点的话)的球,叫旋转体的外接球.解决外接球的问题,要注意球心到顶点的距离就是球的半径,长方体外接球的直径就是长方体的对角线长,三棱锥的外接球要找出三棱锥的底面截球所得的截面圆,画出以这个截面圆的直径为弦的球的大圆,把问题转化为研究圆的问题,利用大圆的弦(三棱锥底面外接圆的直径)和球半径之间的关系,求出球的半径,那么问题就容易解决了.旋转体的外接球问题,要画出轴截面,把问题转化为平面几何中圆的问题来解决.【例1】(1)三棱锥P-ABC中,AB=BC=ξ15,AC=6,PC⊥平面ABC,PC=2,则该三棱锥的外接球的表面积为()A.253πB.252πC.833πD.832π(2)已知一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆,则该圆锥的外接球的表面积是()A.4π3B.4πC.16π3D.16π(3)正四面体的各条棱长都为ξ2,则该正四面体外接球的体积为.思路分析计算空间几何体外接球的表面积和体积,关键是求出球的半径,结合球心与截面圆圆心的距离、球半径、截面圆半径所构造的直角三角形勾股关系求解.答案(1)D(2)C(3)ξ32π解析(1)由题可知,△ABC中AC边上的高为ξ15-32=ξ6,球心O在底面ABC的投影即为△ABC的外心D,设DA=DB=DC=x,所以x2=32+(ξ6-x)2,解得x=54ξ6.易证PC=2OD,所以R2=x2+(𝑃𝐶2)2=758+1=838(其中R为三棱锥外接球的半径),所以外接球的表面积S=4πR2=832π,故选D.(2)设圆锥底面半径为r,则2πr=2π,故r=1,所以圆锥轴截面为边长为2的正三角形,圆锥外接球球心是正三角形中心,外接球半径是正三角形外接圆半径R=23×ξ32×2=2ξ33,所以该圆锥外接球的表面积为4πR2=16π3,故选C.(3)将正四面体补成一个正方体,如图,则正方体棱长为1,正方体对角线长为ξ3,因为正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长,所以外接球的体积为43πR3=43π×(ξ32)3=ξ32π.方法总结要求外接球的表面积和体积,关键是求出球的半径,求外接球半径的常见方法有:①若三棱锥的三条棱两两垂直则用4R2=a2+b2+c2(a,b,c为三条棱的长);②若SA⊥平面ABC(SA=a),则4R2=4r2+a2(r为△ABC外接圆半径);③可以转化为长方体的外接球;④特殊几何体可以直接找出球心和半径.变式发散若本例(1)中,三棱锥P-ABC的底面△ABC变为边长为的等边三角形,其他条件不变,求该三棱锥外接球的表面积.ξ3解由题意得,此三棱锥外接球即为以△ABC为底面、...
