高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI第2讲三角恒等变换与解三角形专题二2022内容索引0102必备知识•精要梳理关键能力•学案突破必备知识•精要梳理1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ;cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ;tan(α±β)=tan𝛼±tan𝛽1∓tan𝛼tan𝛽.温馨提示注意公式的逆用与变形用,例如:tanα±tanβ=tan(α±β)(1∓tanαtanβ).2.二倍角公式sin2α=2sinαcosα,cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,tan2α=2tan𝛼1-tan2𝛼.温馨提示降幂公式:sin2α=1-cos2𝛼2,cos2α=1+cos2𝛼2;升幂公式:1+cosα=2cos2𝛼2,1-cosα=2sin2𝛼2.3.辅助角公式asinx+bcosx=ξ𝑎2+𝑏2sin(x+φ),其中tanφ=𝑏𝑎.注意不是tanφ=𝑎𝑏4.正弦定理在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶=2R(R为△ABC外接圆的半径);变形:a=2RsinA,sinA=𝑎2𝑅,a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC等.余弦定理在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则a2=b2+c2-2bccosA;变形:b2+c2-a2=2bccosA,cosA=𝑏2+𝑐2-𝑎22𝑏𝑐.5.三角形中的射影定理bcosC+ccosB=a,acosC+ccosA=b,acosB+bcosA=c.6.三角形面积公式S△ABC=12absinC=12bcsinA=12acsinB.关键能力•学案突破突破点一突破点二突破点三突破点四突破点一三角恒等变换及其应用[例1—1](2021·新高考Ⅰ,6)若tanθ=-2,则sin𝜃(1+sin2𝜃)sin𝜃+cos𝜃=()A.-65B.-25C.25D.65答案C解析sin𝜃(1+sin2𝜃)sin𝜃+cos𝜃=sin𝜃(sin𝜃+cos𝜃)2sin𝜃+cos𝜃=sinθ(sinθ+cosθ)=sin2θ+sinθcosθ=sin2𝜃+sin𝜃cos𝜃sin2𝜃+cos2𝜃=tan2𝜃+tan𝜃tan2𝜃+1=4-24+1=25.突破点一突破点二突破点三突破点四答案D[例1—2]已知2tanθ-tanቀ𝜃+π4ቁ=7,则tanθ=()A.-2B.-1C.1D.2解析 2tanθ-tanቀ𝜃+π4ቁ=7,∴2tanθ-tan𝜃+11-tan𝜃=7,令t=tanθ,t≠1,则2t-1+𝑡1-𝑡=7,整理得t2-4t+4=0,解得t=2,即tanθ=2.突破点一突破点二突破点三突破点四[例1—3](2021·山东淄博期中)已知sin(α+β)=sinα-sinβ,若α=π3,且β∈(0,π),则β=()A.2π3B.π2C.π3D.π6突破点一突破点二突破点三突破点四答案A解析当α=π3时,sin(α+β)=sinα-sinβ等价于sin(π3+β)=sinπ3-sinβ,所以32sinβ+ξ32cosβ=ξ32,即sinቀ𝛽+π6ቁ=12,因为β∈(0,π),所以π6<β+π6<7π6,所以β+π6=5π6,解得β=2π3.突破点一突破点二突破点三突破点四名师点析利用三角恒等变换解决求值问题的关键(1)分析已知角和未知角之...
