高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI指点迷津(三)求曲线轨迹方程的方法第八章2022曲线C与方程F(x,y)=0满足两个条件:(1)曲线C上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解;(2)以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.则称曲线C为方程F(x,y)=0的曲线,方程F(x,y)=0为曲线C的方程.求曲线方程的基本方法主要有:(1)直接法:直接将几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程.(2)定义法:利用曲线的定义,判断曲线类型,再由曲线的定义直接写出曲线方程.(3)代入法(相关点法)题中有两个动点,一个为所求,设为(x,y),另一个在已知曲线上运动,设为(x0,y0),利用已知条件找出两个动点的关系,用所求表示已知,即(5)交轨法:引入参数表示两动曲线的方程,将参数消去,得到两动曲线交点的轨迹方程.൜x0=f(x,y),y0=g(x,y),将x0,y0代入已知曲线即得所求.(4)参数法:引入参数t,求出动点(x,y)与参数t之间的关系൜x=f(t),y=g(t),消去参数即得所求轨迹方程.一、直接法求轨迹方程【例1】已知△ABC的三个顶点分别为A(-1,0),B(2,3),C(1,2),定点P(1,1).(1)求△ABC外接圆的标准方程;(2)若过定点P的直线与△ABC的外接圆交于E,F两点,求弦EF中点的轨迹方程.ξ2解(1)由题意得AC的中点坐标为(0,ξ2),AB的中点坐标为ቀ12,32ቁ,kAC=ξ2,kAB=1,故AC中垂线的斜率为-ξ22,AB中垂线的斜率为-1,则AC的中垂线的方程为y-ξ2=-ξ22x,AB的中垂线的方程为y-32=-ቀ𝑥-12ቁ.由ቐ𝑦-32=-ቀ𝑥-12ቁ,𝑦-ξ2=-ξ22𝑥,得൜𝑥=2,𝑦=0,所以△ABC的外接圆的圆心为(2,0),半径r=2+1=3,故△ABC外接圆的标准方程为(x-2)2+y2=9.(2)设弦EF的中点为M(x,y),△ABC外接圆的圆心为N,则N(2,0).由MN⊥MP,得𝑁𝑀ሬሬሬሬሬሬሬԦ·𝑃𝑀ሬሬሬሬሬሬԦ=0,所以(x-2,y)·(x-1,y-1)=0,整理得x2+y2-3x-y+2=0,所以弦EF中点的轨迹方程为ቀ𝑥-32ቁ2+ቀ𝑦-12ቁ2=12.方法总结直接法求轨迹的方法和注意问题(1)若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系,则可用直接法,其一般步骤是:设点→列式→化简→检验.求动点的轨迹方程时要注意检验,即除去多余的点,补上遗漏的点.(2)若是只求轨迹方程,则把方程求出,把变量的限制条件附加上即可;若是求轨迹,则要说明轨迹是什么图形.对点训练1已知坐标平面上动点M(x,y)与两个定点P(26,1),Q(2,1),且|MP|=5|MQ|.(1)求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形;(2)记(1)中轨迹为C,若过点N(-2,3)的直线l被C所截得的线段长度为8,求直线l的方程.解(1)由|MP|=5|MQ|,得ට(𝑥-26)2+(𝑦-1)2=5ට(𝑥-2)2+(𝑦-1)2,化简得x2+y...
