高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI素养提升微专题(二)导数应用中的函数构造技巧第一编2022规律方法近几年高考数学压轴题,多以导数为工具来证明不等式或求参数的取值范围,这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点,而构造函数是解决导数问题最基本的方法,以下对在处理导数问题时构造函数的规律方法进行归类总结,并举例说明.1.具体函数的构造根据所给代数式(等式、不等式)中数学运算的相同点或者结构形式的相同点,构造具体的函数解析式,利用导数研究函数的性质从而解决问题.2.抽象函数的构造当题目是以抽象函数为背景且题设条件或所求结论中具有“f(x)±g(x),f(x)g(x),𝑓(𝑥)𝑔(𝑥),xf(x),𝑓(𝑥)𝑥,exf(x),𝑓(𝑥)e𝑥,f(x)sinx,f(x)cosx,𝑓(𝑥)sin𝑥,𝑓(𝑥)cos𝑥”等特征式时,解决这类问题的有效策略是将上述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来,合理构造出相关的可导函数,然后利用函数的性质解决问题.(1)利用f(x)与x(xn)构造常用的构造形式有xf(x),xnf(x),𝑓(𝑥)𝑥,𝑓(𝑥)𝑥𝑛,这类形式是对y=uv,y=𝑢𝑣型函数的导数计算的推广及应用.我们观察y=uv,y=𝑢𝑣的导函数可得知,y=uv型函数的导函数中体现的是“+”法,y=𝑢𝑣型函数的导函数中体现的是“-”法,由此我们可以猜测,当导函数形式出现的是“+”法形式时,优先考虑构造y=uv型函数,当导函数形式出现的是“-”法形式时,优先考虑构造y=𝑢𝑣型函数.(2)利用f(x)与ex(enx)构造常用的构造形式有exf(x),enxf(x),𝑓(𝑥)e𝑥,𝑓(𝑥)e𝑛𝑥,这类形式一方面是对y=uv,y=𝑢𝑣型函数形式的考查,另外一方面也是对(ex)'=ex,(enx)'=nenx的考查.所以对于f(x)±f'(x)类型,我们可以等同xf(x),xnf(x),𝑓(𝑥)𝑥,𝑓(𝑥)𝑥𝑛的类型处理,“+”法优先考虑构造F(x)=f(x)·ex,“-”法优先考虑构造F(x)=𝑓(𝑥)e𝑥.(3)利用f(x)与sinx,cosx构造由于sinx,cosx的导函数存在一定的特殊性,所以也是重点考查的范畴,我们一起看看常考的几种形式:F(x)=f(x)sinx,F'(x)=f'(x)sinx+f(x)cosx;F(x)=𝑓(𝑥)sin𝑥,F'(x)=𝑓'(𝑥)sin𝑥-𝑓(𝑥)cos𝑥sin2𝑥;F(x)=f(x)cosx,F'(x)=f'(x)cosx-f(x)sinx;F(x)=𝑓(𝑥)cos𝑥,F'(x)=𝑓'(𝑥)cos𝑥+𝑓(𝑥)sin𝑥cos2𝑥.考查角度角度一具体函数的构造[例1—1](2021·山东济南期中)已知a=2e,b=ln(3e)3,c=ln5+15,则有()A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.b>a>c答案A解析由于a=2e=lne+1e,b=ln3+13,c=ln5+15,因此设函数f(x)=ln𝑥+1𝑥,则f'(x)=-ln𝑥𝑥2,当x>1时,f'(x)<0,所以函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递减,...
