高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI习题课指数函数及其性质的应用第四章2021课堂篇探究学习探究一指数不等式的解法例1(1)已知ቀ12ቁ2𝑎+1<ቀ12ቁ3-2𝑎,求实数a的取值范围;(2)若f(x)=ට𝑎𝑥-2-1(a>0,且a≠1),求函数f(x)的定义域.当a>1时,由ax-2≥a0知x-2≥0,此时x≥2;当0
1时,函数的定义域为[2,+∞);当03-2a,即a>12.故a的取值范围是ቀ12,+∞ቁ.(2)要使函数f(x)=ට𝑎𝑥-2-1有意义,则ax-2-1≥0,即ax-2≥1.反思感悟指数不等式的求解方法(1)形如ax>ab的不等式,借助于函数y=ax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0b的不等式,注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式,再借助于函数y=ax的单调性求解.(3)形如ax>bx的不等式,利用函数图象求解.(4)形如a2x+b·ax+c>0(<0)的不等式,可利用换元法转化为一元二次不等式求解.变式训练1如果a-5x>ax+7(a>0且a≠1),求x的取值范围.解①当a>1时, a-5x>ax+7,∴-5x>x+7,解得x<-76.②当0ax+7,∴-5x-76.综上所述,当a>1时,x∈-∞,-76;当00,∴0<ቀ12ቁ𝑥≤1,∴0≤1-ቀ12ቁ𝑥<1,∴0≤y<1,∴函数的值域为[0,1).反思感悟求与指数函数有关的函数的定义域和值域的一般方法(1)求与指数函数有关的函数的定义域时,首先观察函数是y=ax型还是y=af(x)(a>0,且a≠1)型,前者的定义域是R,后者的定义域与y=f(x)的定义域一致.y=f(ax)的定义域由t=ax(t>0)的值域在y=f(t)的定义域内决定,因此求型函数的定义域时,往往转化为解指数不等式(组).(2)求与指数函数有关的函数的值域时,一方面要考虑函数的定义域和单调性,另一方面要注意指数函数的值域是(0,+∞).一般地,对于y=af(x)(a>0,且a≠1)型函数,要先换元,令t=f(x),求出t=f(x)的定义域D,再求出f()的值域然后画出(∈)的草图或利用函数的单调性求出原y=ඥ𝑓(𝑎𝑥)变式训练2求下列函数的定义域和值域:(1)y=ቀ12ቁ𝑥2-2𝑥-3;(2)y...
