高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI素养提升微专题(六)非线性经验回归问题第一编2022问题提出通过变量间的相关关系对两个变量进行统计分析是数学的重要应用.经验回归方程不一定总是线性的,也可能是非线性的,此类问题具有十分重要的现实意义.解决此类问题,应先判断选择函数模型,进行变量代换,求出代换后的经验回归方程,再转化为非线性经验回归方程.典例分析[例](2021·山东聊城模拟改编)个人所得税是国家对本国公民、居住在本国境内的个人的所得和境外个人来源于本国的所得征收的一种所得税.我国在1980年9月10日,第五届全国人民代表大会第三次会议通过并公布了《中华人民共和国个人所得税法》,公民依法诚信纳税是义务,更是责任.现将自2013年至2017年的个人所得税收入统计如下:年份20132014201520162017时间代号x12345个税收入y(千亿元)6.537.388.6210.0911.97并制作了如图所示的时间代号x与个人所得税收入的散点图:根据散点图判断,可用①y=menx与②y=px2+q作为年个人所得税收入y关于时间代号x的回归方程,经过数据运算和处理,得到如下数据:xyzw∑i=15(xi-x)2∑i=15(wi-w)238.922.161110374∑i=15(xi-x)(zi-z)∑i=15(wi-w)(yi-y)1.6083.83表中z=lny,w=x2,𝑧=15∑𝑖=15lnyi,w=15∑i=15𝑥𝑖2,参考数据:e1.68≈5.37,e0.96≈2.61.以下计算过程中四舍五入保留两位小数.(1)根据所给数据,分别求出①②中y关于x的经验回归方程.(2)已知2018年个人所得税收入为13.87千亿元,用2018年的数据验证(1)中所得两个经验回归方程,哪个更适宜作为y关于时间代号x的回归方程?(3)你还能从统计学哪些角度来进一步确认哪个经验回归方程更适宜?(只需叙述,不必计算)附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其经验回归直线𝑣^=𝛼^+𝛽^u的斜率和截距的最小二乘估计分别为:𝛽^=∑𝑖=1𝑛(𝑢𝑖-𝑢)(𝑣𝑖-𝑣)∑𝑖=1𝑛(𝑢𝑖-𝑢)2,𝛼^=𝑣−𝛽^𝑢.解(1)对于①,由y=menx,等式两边取自然对数得lny=nx+lnm,设z=lny,r=lnm,由表中的数据可得𝑛^=∑i=15(𝑥𝑖-𝑥)(𝑧𝑖-𝑧)∑𝑖=15(𝑥𝑖-𝑥)2=1.6010=0.16,𝑟^=𝑧−𝑛^𝑥=2.16-0.16×3=1.68.所以,z关于x的经验回归方程为𝑧^=0.16x+1.68,即𝑦^=5.37e0.16x.对于②,由y=px2+q,设w=x2,由表格中的数据可得𝑝^=∑𝑖=15(𝑤𝑖-𝑤)(𝑦𝑖-𝑦)∑𝑖=15(𝑤𝑖-𝑤)2=83.83374≈0.22,𝑞^=𝑦−𝑝^𝑤=8.92-0.22×11=6.5.所以y关于x的经验回归方程为𝑦^=0.22x2+6.5.(2)2018年对应的时间代号为x=6,代入(1)①中的经验回归方程可得𝑦^=5.37×e0.16×6=5.37e0...
