高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI第1课时基本不等式第一章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.理解基本不等式(a≥0,b≥0).(数学抽象)2.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题.(数学运算)3.能运用基本不等式证明不等式及解决简单的实际问题.(数学建模)a+b2≥ξab课前篇自主预习激趣诱思某金店有一台天平,由于左右两臂长略有不等,所以直接称重不准确.有一个顾客要买一串金项链,店主分别把项链放于左右两盘各称一次,得到两个不同的质量a和b,然后就把两次称得的质量的算术平均值作为项链的质量来计算价格.顾客对这个质量的真实性提出了质疑,他认为项链的质量应该用来计算.如果按金店的计算方式,顾客是吃亏了还是占便宜了呢?请在学习完本节内容后给出你的判断.𝑎+𝑏2ξ𝑎𝑏知识点拨一、基本不等式1.基本不等式:设a≥0,b≥0,那么a+b2≥ξab,当且仅当a=b时,等号成立.这个不等式称为基本不等式,其中,a+b2称为a,b的算术平均值,ξab称为a,b的几何平均值.因此基本不等式又称为均值不等式.2.基本不等式可以表述为:两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值.3.基本不等式的几何解释:同一个半圆中,半径大于或等于半弦.名师点析1.基本不等式的条件是a,b都是非负实数,当且仅当a=b时,等号成立,即“a=b”是“a+b2=ξab”的充要条件.2.基本不等式的变形公式:①a+b≥2ξab,ab≤(a+b2)2(当且仅当a=b时,等号成立);②a+1a≥2(a∈R+)(当且仅当a=1时,等号成立);③𝑎𝑏+𝑏𝑎≥2(a,b同号)(当且仅当a=b时,等号成立).3.由公式a2+b2≥2ab及𝑎+𝑏2≥ξ𝑎𝑏,可得21𝑎+1𝑏≤ξ𝑎𝑏≤𝑎+𝑏2≤ට𝑎2+𝑏22(a,b∈R+).微拓展1.如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时,等号成立).这个不等式叫重要不等式.它成立的条件是a,b∈R.2.它的几个常见变形式有:(1)ab≤𝑎2+𝑏22;(2)2(a2+b2)≥(a+b)2;(3)(𝑎𝑏)2≥2𝑎𝑏-1(b≠0)微练习已知ab>0,求证𝑏𝑎+𝑎𝑏≥2,并推导出式中等号成立的条件证明因为ab>0,所以𝑏𝑎>0,𝑎𝑏>0.由均值不等式,得𝑏𝑎+𝑎𝑏≥2ට𝑏𝑎·𝑎𝑏=2,即𝑏𝑎+𝑎𝑏≥2,当且仅当𝑏𝑎=𝑎𝑏,即a2=b2时,等号成立.因为ab>0,a,b同号,所以a=b,即等号成立的条件是a=b.二、利用基本不等式求最值当x,y均为正数时,下面的命题均成立:(1)若x+y=s(s为定值),则当且仅当x=y时,xy取得最大值𝑠24;(2)若xy=p(p为定值),则当且仅当x=y时,x+y取得最小值2ඥ𝑝.名师点析1.上述的结论也叫作最值定理.语言描述为:(1)两个正...
