高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI习题课1数列的通项问题第一章2021课堂篇探究学习探究一利用累加法、累乘法求数列的通项公式例1(1)数列{an}满足a1=1,对任意的n∈N+都有an+1=a1+an+n,求数列{an}的通项公式;(2)已知数列{an}满足a1=23,an+1=𝑛𝑛+1an,求an.解(1) an+1=an+n+1,∴an+1-an=n+1,即a2-a1=2,a3-a2=3,…,an-an-1=n(n≥2).这n-1个等式两边分别相加,得an-a1=2+3+4+…+n(n≥2),即an=1+2+3+4+…+n=𝑛(𝑛+1)2,n≥2.又a1=1也适合上式,∴an=𝑛(𝑛+1)2,n∈N+.(2)由条件知𝑎𝑛+1𝑎𝑛=𝑛𝑛+1,即𝑎2𝑎1=12,𝑎3𝑎2=23,𝑎4𝑎3=34,…,𝑎𝑛𝑎𝑛-1=𝑛-1𝑛(n≥2),这n-1个式子两边分别相乘,得𝑎2𝑎1·𝑎3𝑎2·𝑎4𝑎3·…·𝑎𝑛𝑎𝑛-1=12×23×34×…×𝑛-1𝑛(n≥2).∴𝑎𝑛𝑎1=1𝑛.又 a1=23,∴an=23𝑛,n≥2.又a1=23也适合上式,∴an=23𝑛,n∈N+.反思感悟(1)求形如an+1=an+f(n)的通项公式.将原来的递推公式转化为an+1-an=f(n),再用累加法(逐差相加法)求解,即an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=a1+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n-1).(2)求形如an+1=f(n)an的通项公式.将原递推公式转化为𝑎𝑛+1𝑎𝑛=f(n),再利用累乘法(逐商相乘法)求解,即由𝑎2𝑎1=f(1),𝑎3𝑎2=f(2),…,𝑎𝑛𝑎𝑛-1=f(n-1),累乘可得𝑎𝑛𝑎1=f(1)f(2)…f(n-1).变式训练1数列{an}中,a1=2,an+1-an=2n,求{an}的通项公式.解因为a1=2,an+1-an=2n,所以a2-a1=2,a3-a2=22,a4-a3=23,…,an-an-1=2n-1,n≥2,以上各式累加得,an-a1=2+22+23+…+2n-1,故an=2(1-2𝑛-1)1-2+2=2n,当n=1时,a1也符合上式,所以an=2n.探究二构造等差(比)数列求通项公式例2(1)在数列{an}中,a1=13,6anan-1+an-an-1=0(n≥2,n∈N+).①证明:数列{1𝑎𝑛}是等差数列;②求数列{an}的通项公式.(2)已知数列{an}中,a1=2,an+1=2an-3,求an.(1)①证明由6anan-1+an-an-1=0,整理得1𝑎𝑛−1𝑎𝑛-1=6(n≥2),故数列{1𝑎𝑛}是以3为首项,6为公差的等差数列.②解由①可得1𝑎𝑛=3+(n-1)×6=6n-3,所以an=16𝑛-3,n∈N+.(2)解由an+1=2an-3得an+1-3=2(an-3),所以数列{an-3}是首项为a1-3=-1,公比为2的等比数列,则an-3=(-1)·2n-1,即an=-2n-1+3.反思感悟(1)对于此类问题,一般先构造好等差(比)数列让学生证明,再在此基础上求出通项公式,故不必在此处挖掘过深.(2)形如an+1=pan+q(其中p,q为常数,且pq(p-1)≠0)可用待定系数法求得通项公式,步骤如下:第一步假设递推公式可改写为an+1+t=p(an+t);第二步由待定系数法,解得t=𝑞𝑝-1;第三步写出数列{an+𝑞𝑝-1}的通项公...
