高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI4.1二项式定理的推导第五章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习核心素养思维脉络1.能用计数原理证明二项式定理.(逻辑推理)2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.(数学运算)3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.(逻辑推理与数学运算)课前篇自主预习激趣诱思我们在初中学习了(a+b)2=a2+2ab+b2,试用多项式的乘法推导(a+b)3,(a+b)4的展开式.上述三个等式的右侧有何特点?你能用组合的观点说明(a+b)4是如何展开的吗?你能用类比方法写出(a+b)n(n∈N+)的展开式吗?知识点拨二项式定理(a+b)n=𝐶n0an+𝐶n1an-1b+…+𝐶nkan-kbk+…+𝐶nnbn,上式可简写成(a+b)n=∑k=0n𝐶nkan-kbk.这个公式称为二项式定理,等号右边的式子称为(a+b)n的二项展开式,(a+b)n的二项展开式共有n+1项,其中各项系数𝐶nk(k=0,1,2,…,n)称为二项式系数,式中的𝐶nkan-kbk用Tk+1表示,称为二项展开式中第k+1项,又称为二项式通项,记作Tk+1=𝐶nkan-kbk.名师点析1.展开式的特点:(1)展开式共有n+1项,各项中a,b的指数和都是n;(2)a按降幂排列,指数由n逐项减1直到0;b按升幂排列,指数由0逐项加1直到n.2.二项式定理表示一个恒等式,对于任意的a,b,该等式都成立.通过对a,b取不同的特殊值,可使某些问题的解决更为方便.二项式定理通常还有如下三种常见变形.①(a-b)n=𝐶n0an+(-1)1𝐶n1an-1b+…+(-1)k𝐶nkan-kbk+…+(-1)n𝐶nnbn.②(1+x)n=𝐶n0+𝐶n1x+𝐶n2x2+…+𝐶nkxk+…+𝐶nnxn.注意:此时的二项式系数恰好就是项的系数.③(1-x)n=𝐶n0+(-1)1𝐶n1x+…+(-1)k𝐶nkxk+…+(-1)n𝐶nnxn.3.𝐶nkan-kbk是展开式的第k+1项,该项的二项式系数是𝐶nk,而不是𝐶nk+1.4.二项展开式的通项公式中b的指数和组合数的上标相同,a与b的指数之和为n.5.二项展开式的通项公式体现了二项展开式的项数、系数、a与b的指数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大项等)及系数等方面有着广泛的应用.微思考1二项式定理中,项的系数与二项式系数有什么区别?提示二项式系数与项的系数是两个不同的概念.二项式系数是指它只与各项的项数有关,而与a,b的值无关,而项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与a,b的值有关.𝐶n0,𝐶n1,…,𝐶nn,微思考2二项式(a+b)n与(b+a)n展开式中第k+1项是否相同?提示不同.(a+b)n展开式中第k+1项为𝐶nkan-kbk,而(b+a)n展开式中第k+1项为𝐶nkbn-ka...
