高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI第2课时空间中的距离问题第三章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习核心素养思维脉络能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题.(直观想象、数学运算)课前篇自主预习激趣诱思某人在一片丘陵上开垦了一块田地,在丘陵的上方架有一条直的水渠,此人想从水渠上选择一个点,通过一条管道把水引到田地中的一个点P处,要想使这个管道的长度理论上最短,应该如何设计?知识点拨一、点到平面的距离点P到平面α的距离,等于点P与平面α内任意一点A连线所得向量,在平面α的单位法向量n0方向上所作投影向量的长度,即d=|·n0|.PAሬሬሬሬሬԦPAሬሬሬሬሬԦ名师点析1.如果一条直线l与一个平面α平行,可在直线l上任取一点P,将线面距离转化为点P到平面α的距离求解.2.两个平行平面之间的距离如果两个平面α,β互相平行,在其中一个平面α内任取一点P,可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解.微练习在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长为2,侧棱长为4,则点B1到平面AD1C的距离为.答案83解析以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,4),B1(2,2,4),则𝐴𝐶ሬሬሬሬሬԦ=(-2,2,0),𝐴𝐷1ሬሬሬሬሬሬሬԦ=(-2,0,4),𝐵1𝐷1ሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ=(-2,-2,0),设平面AD1C的法向量为n=(x,y,z),则ቊ𝑛·𝐴𝐶ሬሬሬሬሬԦ=0,𝑛·𝐴𝐷1ሬሬሬሬሬሬሬԦ=0,得ቊ-2𝑥+2𝑦=0,-2𝑥+4𝑧=0.取z=1,则x=y=2,所以n=(2,2,1).所以点B1到平面AD1C的距离d=|𝑛·𝐵1𝐷1ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ||𝑛|=83.二、点到直线的距离若点P是直线l外一点,l0是直线l的单位方向向量,点A是直线l上任意一点,则点P到直线l的距离为d=ට|𝑃𝐴ሬሬሬሬሬԦ|2-|𝑃𝐴ሬሬሬሬሬԦ·𝑙0|2.微练习已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是C1C,D1A1的中点,则点A到直线EF的距离为.答案ξ1746解析如图,以点D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),E(0,2,1),F(1,0,2),𝐸𝐹ሬሬሬሬሬԦ=(1,-2,1),𝐹𝐴ሬሬሬሬሬԦ=(1,0,-2),∴|𝐸𝐹ሬሬሬሬሬԦ|=ට12+(-2)2+12=ξ6,∴直线EF的单位方向向量μ=ξ66(1,-2,1),∴点A到直线EF的距离d=ට|𝐹𝐴ሬሬሬሬሬԦ|2-ቀ-ξ66ቁ2=ට296=ξ1746.课堂篇探究学习探究一利用空间向量求点线距例1已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求点B到直线A1C1的距离.解以B为坐标...
