高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI第1课时空间中的角第三章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习核心素养思维脉络1.理解两异面直线所成的角与它们的方向向量之间的关系,会用向量方法求两异面直线所成的角.2.理解直线与平面所成的角与直线方向向量和平面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求直线与平面所成的角.3.理解二面角的平面角与两个平面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求二面角的平面角的大小.课前篇自主预习激趣诱思地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”,黄道面与地球赤道面交角(二面角的平面角)为23°26'.黄道面与天球相交的大圆为“黄道”.黄道及其附近的南北宽9°以内的区域称为黄道带,太阳及大多数行星在天球上的位置常在黄道带内.黄道带内有十二个星座,如白羊座、狮子座、双子座等.知识点拨一、两条直线所成的角当两条直线a与b相交时,我们把两条直线交角中范围在内的角叫作两条直线所成的角.当两条直线平行时,规定它们所成的角为0.ቀ0,𝜋2ቃ当两条直线a与b是异面直线时,在空间任取一点O,过点O作直线a'和b',使得a'∥a,b'∥b,把a',b'所成的角叫作异面直线a与b所成的角(如图).若向量a,b分别为直线a,b的方向向量,则直线a与b所成的角θ∈ቂ0,π2ቃ,且θ与两个方向向量所成的角
相等或互补,也就是说:当0≤≤π2时,θ=;当π2<≤π时,θ=π-,故cosθ=|cos|.名师点析不要将两异面直线所成的角与其方向向量的夹角等同起来,因为两异面直线所成角的范围是,而两个向量夹角的范围是[0,π],事实上,两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系.ቀ0,𝜋2ቃ微练习若异面直线l1,l2的方向向量分别是a=(0,-2,-1),b=(2,0,4),则异面直线l1与l2所成的角的余弦值等于()A.-25B.25C.-2ξ55D.2ξ55答案B解析因为a·b=-4,|a|=ξ5,|b|=2ξ5,所以cosθ=|cos|=ቚ𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|ቚ=ቚ-410ቚ=25.二、直线与平面所成的角设向量l为直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,则直线l与平面α所成的角θ∈ቂ0,π2ቃ,且θ=π2-(如图1)或θ=-π2(如图2),故sinθ=|cos|.名师点析1.平面的一条斜线与这个平面所成的角是指这条直线与它在这个平面内的投影所成的锐角.2.若是一个锐角,则θ=-;若是一个钝角,则θ=-.π2π2微练习若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,则直线l与平面α所成的角等于()A.120°B.60°C.150°D.30°答案D三、两个平面所...
