高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI3.2空间向量运算的坐标表示及应用第三章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习核心素养思维脉络1.了解空间直角坐标系,理解空间向量的坐标表示.(数学抽象)2.掌握空间向量运算的坐标表示.(数学运算)3.掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用.(数学运算)4.掌握空间向量的模、夹角以及两点间距离公式,能运用公式解决问题.(数学运算)课前篇自主预习激趣诱思我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出:“数学研究数量关系与空间形式,简单讲就是形与数,欧几里得几何体系的特点排除了数量关系……对于集合,对于研究空间形式,你要真正的‘腾飞’,不通过数量关系,我想不出有什么好的办法……”吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量化”,也就是坐标系的引入,使得几何问题“代数化”,为了使得空间几何“代数化”,我们引入了坐标及其运算.知识点拨一、空间向量运算的坐标表示1.标准正交基在空间直角坐标系O-xyz中,分别沿x轴、y轴、z轴正方向作单位向量i,j,k,这三个互相垂直的单位向量就构成空间向量的一组基{i,j,k},这组基叫作标准正交基.根据空间向量基本定理,对于任意一个向量p,都存在唯一的三元有序实数组(x,y,z),使得p=xi+yj+zk.把三元有序实数组(x,y,z)叫作向量p在标准正交基{i,j,k}下的坐标,记作:p=(x,y,z).单位向量i,j,k都叫作坐标向量.2.若点A的坐标为(x1,y1,z1),点B的坐标为(x2,y2,z2),则𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ=𝑂𝐵ሬሬሬሬሬԦ−𝑂𝐴ሬሬሬሬሬԦ=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).也就是说,一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.3.空间向量运算的坐标表示设向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),根据空间向量的运算法则,不难得到:(1)a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2);(2)a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2);(3)λa=(λx1,λy1,λz1),λ∈R;(4)a·b=x1x2+y1y2+z1z2.微练习1若a=3i+2j-k,且{i,j,k}为空间的一个标准正交基底,则a的坐标为.答案(3,2,-1)微思考在空间直角坐标系O-xyz中,向量的坐标与终点P的坐标有何关系?𝑂𝑃ሬሬሬሬሬԦ提示向量的坐标恰好是终点P的坐标.𝑂𝑃ሬሬሬሬሬԦ微练习2已知空间向量m=(1,-3,5),n=(-2,2,-4),则有m+n=,3m-n=,(2m)·(-3n)=.答案(-1,-1,1)(5,-11,19)168解析m+n=(1,-3,5)+(-2,2,-4)=(-1,-1,1),3m-n=3(1,-3,5)-(-2,2,-4)=(5,-11,19),(2m)·(-3n)=(2,-6,10)·(6,-6,12)=168.二、空间向量平行(共线)和垂直的条件我们知道,当...
