第三章　4.1　直线的方向向量与平面的法向量.pptx

高中同步学案优化设计,GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HAU SHE JI,第三章,2021,内容索引,课前篇 自主预习,课堂篇 探究学习,课前篇 自主预习,激趣诱思,如何用向量来确定直线的位置?如何用向量来确定一条直线和一个平面垂直?这就是我们要解决的主要问题.,知识点拨,一、直线的方向向量与直线的向量表示1.直线的方向向量如图,设点A,B是直线l上不重合的任意两点,称 为直线l的方向向量.显然,一条直线有无数个方向向量,根据平行向量的定义可知,这些方向向量都平行,因此与 平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量.,2.直线l的向量表示已知点M是直线l上的一点,非零向量a是直线l的一个方向向量,那么对于直线l上的任意一点P,一定存在实数t,使得=ta.反之,由几何知识不难确定,满足上式的点P一定在直线l上.因此,我们把这个式子称为直线l的向量表示.,微练习1下列说法中正确的是()A.直线的方向向量是唯一的B.表示直线的方向向量的有向线段一定在直线上C.直线的方向向量有两个D.用直线的方向向量表示直线时,表达式不唯一答案 D,微练习2若直线l过点A(-1,3,4),B(1,2,1),则直线l的一个方向向量可以是(),答案 D,二、平面的法向量及其应用1.平面法向量的定义我们已经知道,给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线.类似地,空间中给定一点和一条直线后,可以唯一确定过此点与这条直线垂直的平面.因此,如果一条直线l与一个平面垂直,那么就把直线l的方向向量n叫作平面的法向量,则n.,2.平面的向量表示式如图,设点M是平面内给定的一点,向量n是平面的一个法向量,那么对于平面内任意一点P,必有 n=0.此式称为平面的一个向量表示式.,微练习若两个向量=(1,2,3),=(3,2,1),则平面ABC的一个法向量为()A.(-1,2,-1)B.(1,2,1)C.(1,2,-1)D.(-1,2,1),答案 A,解析 设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),令x=-1,则y=2,z=-1.即平面ABC的一个法向量为n=(-1,2,-1).,课堂篇 探究学习,例1(1)已知直线l1的一个方向向量为(-7,3,4),直线l2的一个方向向量为(x,y,8),且l1l2,则x=,y=.(2)在空间直角坐标系中,已知点A(2,0,1),B(2,6,3),P是直线AB上一点,且满足APPB=32,则直线AB的一个方向向量为,点P的坐标为.,规律方法1.应注意直线AB的方向向量有无数个,哪个易求求哪个.2.利用直线上的一个已知点和直线的方向向量可以确定直线的位置,进而利用向量的运算确定直线上任一点的位置.,变式训练1若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线l上,则直线l的一个方向向量为()A.(1,2,3)B.(1,3,2)C.(2,1,3)D.(3,2,1),答案 A,解析=(1,4,7)-(-1,0,1)=(2,4,6)=2(1,2,3),故选A.,例2如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,PD=DC=1,E是PC的中点,求平面EDB的一个法向量.,分析首先建立空间直角坐标系,然后利用待定系数法按照平面法向量的求解步骤进行求解.,解 如图所示建立空间直角坐标系.依题意可得D(0,0,0),取x=1,则y=-1,z=1,故平面EDB的一个法向量为n=(1,-1,1).,反思感悟 利用待定系数法求平面法向量的步骤(1)设平面的法向量为n=(x,y,z).(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).,(4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量.,延伸探究本例条件不变,你能分别求出平面PAD与平面PCD的一个法向量吗?它们之间的关系如何?,解 如同例题建系方法,易知平面PAD的一个法向量为n1=(0,1,0),平面PCD的一个法向量为n2=(1,0,0),因为n1n2=0,所以n1n2.,变式训练2如图所示,已知四边形ABCD是直角梯形,ADBC,ABC=90,SA平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,试建立适当的坐标系.(1)求平面ABCD的一个法向量;(2)求平面SAB的一个法向量;(3)求平面SCD的一个法向量.,解 以点A为原点,AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,例3在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点.求证:是平面ADE的法向量.,证明如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,反思感悟 用向量法证明线面垂直的实质仍然是用向量的数量积证明线线垂直,因此,其思想方法与证明线线垂直相同,区别在于必须证明两次线线垂直.,变式训练3如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA垂直于正方形ABCD所在的平面,PA=AD=1,M,N分别是AB,PC的中点.(1)建立适当的空间直角坐标系,写出向量 的坐标;(2)求证:为平面PCD的一个法向量.,(1)解 由PA垂直于正方形ABCD所在平面知PA,AB,AD两两互相垂直,以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.,求平面的法向量的注意事项典例四边形ABCD是直角梯形,ADBC,ABC=90,SA平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1,求平面SCD和平面SAB的法向量.分析解答本题可先建立空间直角坐标系,写出每个平面内不共线的两个向量的坐标,再利用待定系数法求出平面的法向量.,解 AD,AB,AS是三条两两垂直的线段,以A为原点,以 的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示,则A(0,0,0),D(1,0,0),C(2,2,0),S(0,0,2),=(1,0,0)是平面SAB的法向量.设平面SCD的一个法向量为n=(1,y,z),反思感悟 任一平面的法向量有无数个,一般用待定系数法解一个三元一次方程组,求得其中的一个即可.构造方程组时,注意所选平面内的两个向量是不共线的,赋值时应保证所求法向量为非零向量,本题中的法向量的设法值得借鉴.,1.若A(1,0,-1),B(2,1,2)在直线l上,则直线l的一个方向向量是()A.(2,2,6)B.(-1,1,3)C.(3,1,1)D.(-3,0,1),答案 A,解析 A,B在直线l上,=(1,1,3),与 共线的向量(2,2,6)可以是直线l的一个方向向量.,2.已知线段AB的两端点坐标为A(9,-3,4),B(9,2,1),则线段AB与坐标平面()A.xOy平行B.xOz平行C.yOz平行D.yOz相交,答案 C,解析 因为=(9,2,1)-(9,-3,4)=(0,5,-3),所以AB平面yOz.,答案 23(-4),4.在如图所示的坐标系中,ABCD-A1B1C1D1表示棱长为1的正方体,给出下列结论:,直线DD1的一个方向向量为(0,0,1);直线BC1的一个方向向量为(0,1,1);平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0);平面B1CD的一个法向量为(1,1,1).其中正确的是.(填序号),答案,5.已知A(1,0,1),B(0,1,1),C(1,1,0),求平面ABC的一个法向量.,更多精彩内容请登录志鸿优化网http:/www.zhyh.org/,本 课 结 束,