高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI4.1直线的方向向量与平面的法向量第三章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习核心素养思维脉络1.能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量.(数学抽象)2.会用直线的方向向量与法向量解题.(逻辑推理)课前篇自主预习激趣诱思如何用向量来确定直线的位置?如何用向量来确定一条直线和一个平面垂直?这就是我们要解决的主要问题.知识点拨一、直线的方向向量与直线的向量表示1.直线的方向向量如图,设点A,B是直线l上不重合的任意两点,称为直线l的方向向量.显然,一条直线有无数个方向向量,根据平行向量的定义可知,这些方向向量都平行,因此与平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量.𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ2.直线l的向量表示已知点M是直线l上的一点,非零向量a是直线l的一个方向向量,那么对于直线l上的任意一点P,一定存在实数t,使得=ta.反之,由几何知识不难确定,满足上式的点P一定在直线l上.因此,我们把这个式子称为直线l的向量表示.𝑀𝑃ሬሬሬሬሬሬԦ微练习1下列说法中正确的是()A.直线的方向向量是唯一的B.表示直线的方向向量的有向线段一定在直线上C.直线的方向向量有两个D.用直线的方向向量表示直线时,表达式不唯一答案D微练习2若直线l过点A(-1,3,4),B(1,2,1),则直线l的一个方向向量可以是()A.ቀ-1,12,-32ቁB.ቀ-1,-12,32ቁC.ቀ1,12,32ቁD.ቀ-23,13,1ቁ答案D解析𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ=(2,-1,-3)=-3(-23,13,1),故选D.二、平面的法向量及其应用1.平面法向量的定义我们已经知道,给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线.类似地,空间中给定一点和一条直线后,可以唯一确定过此点与这条直线垂直的平面.因此,如果一条直线l与一个平面α垂直,那么就把直线l的方向向量n叫作平面α的法向量,则n⊥α.2.平面的向量表示式如图,设点M是平面α内给定的一点,向量n是平面α的一个法向量,那么对于平面α内任意一点P,必有·n=0.此式称为平面α的一个向量表示式.𝑀𝑃ሬሬሬሬሬሬԦ微练习若两个向量=(1,2,3),=(3,2,1),则平面ABC的一个法向量为()A.(-1,2,-1)B.(1,2,1)C.(1,2,-1)D.(-1,2,1)𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ𝐴𝐶ሬሬሬሬሬԦ答案A解析设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则ቊ𝑛·𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ=0,𝑛·𝐴𝐶ሬሬሬሬሬԦ=0,即൜𝑥+2𝑦+3𝑧=0,3𝑥+2𝑦+𝑧=0.令x=-1,则y=2,z=-1.即平面ABC的一个法向量为n=(-1,2,-1).课堂篇探究学习探究一直线的方向向量及其应用例1(1)已知直线l1的一个方向向量...
