第二章　6.1　第1课时　余弦定理.pptx

第1课时余弦定理,课标阐释,1.掌握余弦定理及其变形.(数学运算、逻辑推理)2.掌握余弦定理的证明过程.(逻辑推理)3.能够利用余弦定理解决有关问题.(数学运算),思维脉络,激趣诱思,知识点拨,隧道工程的设计,经常要测算山脚的长度,工程技术人员先在地面上选一适当的位置A,量出A到山脚B,C的距离,再利用经纬仪测出A对山脚BC(即线段BC)的张角,那么如何求出山脚的长度BC呢(如图)?显然,用以前所学知识很难解决这个问题,为此我们来学习一种新的解决办法余弦定理.,激趣诱思,知识点拨,一、余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍,即a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C.名师点析1.对余弦定理的理解(1)适用范围:余弦定理对任意三角形都成立.(2)揭示规律:余弦定理指出了三角形的三条边与其中一个角之间的关系,若已知三角形的两边及其夹角,可以直接求其第三边.实际上,若已知其中的任何三个量,都可以求出第四个量.,激趣诱思,知识点拨,2.余弦定理与勾股定理的关系在ABC中,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C,若角C=90,则cos C=0,于是c2=a2+b2-2ab0=a2+b2,这说明勾股定理是余弦定理的特例,余弦定理是勾股定理的推广.设c是ABC中最大的边(或C是ABC中最大的角),则a2+b2c2ABC是锐角三角形,且角C为锐角.,激趣诱思,知识点拨,微思考你能否建立坐标系,结合解直角三角形的知识用解析法证明余弦定理?提示如图,以点A为原点,以ABC的边AB所在直线为x轴,以过点A与AB垂直的直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(0,0),C(bcos A,bsin A),B(c,0).由两点间的距离公式得BC2=(bcos A-c)2+(bsin A-0)2,即a2=b2cos2A-2bccos A+c2+b2sin2A=b2+c2-2bccos A.同理可证b2=a2+c2-2accos B;c2=a2+b2-2abcos C.,激趣诱思,知识点拨,微练习在ABC中,AB=4,BC=3,B=60,则AC等于.,激趣诱思,知识点拨,二、余弦定理的变形,名师点析对余弦定理变形的理解(1)利用余弦定理解三角形时,要注意根据条件恰当选取公式.一般地,求边长时,使用余弦定理;求角时,使用余弦定理的变形.(2)余弦定理及其变形在结构上有所不同,因此在应用它们解三角形时要根据条件灵活选择.(3)应用变形,可以由三角形的三边计算出三角形的三个内角.(4)余弦定理及变形把用“边、角、边”和“边、边、边”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画,使其变成了可以计算的公式.,激趣诱思,知识点拨,微练习边长为5,7,8的三角形中,最大角与最小角的和是.解析设中间角为,由于875,故的对边长为7,由余弦定理,得答案120,激趣诱思,知识点拨,三、三角形的面积公式1.在ABC中,若ha,hb,hc分别表示边a,b,c上的高,则,激趣诱思,知识点拨,微练习在ABC中,AB=,D为BC的中点,AD=1,BAD=30,则ABC的面积SABC=.,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,已知两边及一角解三角形,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,反思感悟 已知三角形的两边及一角解三角形的方法已知三角形的两边及一角解三角形,必须先判断该角是给出两边中一边的对角,还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角,则可以由余弦定理求第三边;若是给出两边中一边的对角,则可以利用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三边.,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,已知三边解三角形例2(1)在ABC中,若a2+b2+ab=c2,则角C=.,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,反思感悟 已知三角形的三边解三角形的步骤1.分别用余弦定理的变形求出两个角;2.用三角形内角和定理求出第三个角.,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,利用余弦定理判断三角形的形状例3(1)在ABC中,(a+b+c)(a+b-c)=3ab且2cos Asin B=sin C,试判断三角形的形状.(2)在ABC中,若acos B+acos C=b+c,试判断该三角形的形状.,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,解(1)因为A+B+C=180,所以sin C=sin(A+B).因为2cos Asin B=sin C,所以2cos Asin B=sin Acos B+cos Asin B,所以sin Acos B-cos Asin B=0,所以sin(A-B)=0.因为0A180,0B180,所以-180A-B180,所以A-B=0,即A=B.又(a+b+c)(a+b-c)=3ab,所以a2+b2-c2=ab,所以cos C=.因为0C180,所以C=60,所以ABC为等边三角形.(2)由acos B+acos C=b+c结合余弦定理,得(b+c)(a2-b2-c2)=0.因为b+c0,所以a2=b2+c2,故ABC是直角三角形.,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,反思感悟 1.利用三角形的边角关系判断三角形的形状时,需使用转化思想解决问题.一般有两条思考路线:(1)先化边为角,再进行三角恒等变换,求出三角之间的数量关系.(2)先化角为边,再进行代数恒等变换,求出三边之间的数量关系.2.判断三角形的形状时,经常用到以下结论:(1)ABC为直角三角形a2=b2+c2或c2=a2+b2或b2=a2+c2.(2)ABC为锐角三角形a2+b2c2,且b2+c2a2,且c2+a2b2.(3)ABC为钝角三角形a2+b2c2或b2+c2a2或c2+a2b2.(4)若sin 2A=sin 2B,则A=B或A+B=.,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,变式训练2在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c2=bccos A+cacos B+abcos C,则ABC是三角形.(填“锐角”“直角”或“钝角”),答案直角,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,有关三角形的面积问题例4已知角A,B,C为ABC的三个内角,且其对边分别为a,b,c,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,变式训练3已知ABC中,A=120,a=7,b+c=8,求b,c及ABC的面积.,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,1.在ABC中,若abc,且c2a2+b2,则ABC为()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不存在解析因为c2a2+b2,所以C为锐角.因为abc,所以C为最大角,所以ABC为锐角三角形.答案B,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,答案C,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,3.已知三角形的两边长分别为4和5,它们的夹角的余弦是方程2x2+3x-2=0的根,则第三边的长是.,探究一,探究二,探究三,探究四,当堂检测,4.ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若pq,则C的大小为.解析由pq,得(a+c)(c-a)-b(b-a)=0,即a2+b2-c2=ab,