第二章　习题课　导数的综合应用.pptx

高中同步学案优化设计,GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HAU SHE JI,第二章,2021,课堂篇 探究学习,例1某保健品企业新研发了一种健康饮品.已知每天生产该种饮品最多不超过40千瓶,最少1千瓶,经检测知生产过程中该饮品的正品率P与日产量x(xN+,单位:千瓶)间的关系为P=,每生产一瓶正品盈利4元,每生产一瓶次品亏损2元.(注:正品率=饮品的正品瓶数饮品总瓶数100%)(1)将日利润y(单位:元)表示成日产量x的函数;(2)求该种饮品的最大日利润.,解(1)由题意,知每生产1千瓶正品盈利4 000元,每生产1千瓶次品亏损2 000元,则f(x)=3 600-4x2.令f(x)=0,解得x=30或x=-30(舍去).当1x0;当30 x40时,f(x)0,所以函数f(x)在1,30)内单调递增,在(30,40内单调递减,所以当x=30时,函数f(x)取得极大值,也是最大值,为f(30)=-303+3 60030=72 000,也即y的最大值为72 000,所以该种饮品的最大日利润为72 000元.,反思感悟利用导数解决实际应用问题的步骤(1)函数建模:细致分析实际问题中各个量之间的关系,正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x,把实际问题转化为数学问题,即列出函数关系式y=f(x).(2)确定定义域:一定要从问题的实际意义去考虑,舍去没有实际意义的自变量的范围.(3)求最值:尽量使用导数法求出函数的最值.(4)下结论:根据问题的实际意义给出圆满的答案.,变式训练1如图,要设计一面矩形广告牌,该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分),这两个栏目的面积之和为18 000 cm2,四周空白的宽度为10 cm,两栏目之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位:cm),能使矩形广告牌的面积最小?,解 设广告牌的高和宽分别为x cm,y cm,则每个栏目的高和宽分别为,令S(x)0,得x140;令S(x)0,得20 x140.函数S(x)在(140,+)上单调递增,在(20,140)上单调递减,S(x)的最小值为S(140).当x=140时,y=175,故当广告牌的高为140 cm,宽为175 cm时,可使广告牌的面积最小,最小面积为24 500 cm2.,例2已知函数f(x)=ax4ln x+bx4-c(x0)在x=1处取得极值-3-c,其中a,b,c为常数.若对任意x0,不等式f(x)-2c2恒成立,求c的取值范围.,解 由题意知f(1)=-3-c.所以b-c=-3-c,即b=-3.对f(x)求导,得f(x)=4ax3ln x+ax4+4bx3=x3(4aln x+a+4b).由题意知f(1)=0,所以a+4b=0,解得a=12.所以f(x)=48x3ln x(x0).令f(x)=0,解得x=1.当01时,f(x)0,此时f(x)为增函数.,所以f(x)在x=1处取得极小值f(1)=-3-c,并且此极小值也是最小值.所以要使f(x)-2c2(x0)恒成立,只需-3-c-2c2即可.,反思感悟(1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型,一般地,可采用分离参数法进行转化.f(x)恒成立f(x)max;f(x)恒成立f(x)min.对于不能分离参数的恒成立问题,直接求含参函数的最值即可.(2)此类问题特别要小心“最值能否取到”和“不等式中是否含等号”的情况,以此来确定参数的范围能否取得“=”.,变式训练2设函数f(x)=2x3-9x2+12x+8c.(1)若对任意的x0,3,都有f(x)c2成立,求c的取值范围;(2)若对任意的x(0,3),都有f(x)c2成立,求c的取值范围.,解(1)f(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2).当x(0,1)时,f(x)0,f(x)单调递增;当x(1,2)时,f(x)0,f(x)单调递增.当x=1时,f(x)取极大值f(1)=5+8c.又f(3)=9+8cf(1),x0,3时,f(x)的最大值为f(3)=9+8c.对任意的x0,3,有f(x)9.c的取值范围为(-,-1)(9,+).,(2)由(1)知f(x)f(3)=9+8c,9+8cc2,即c-1或c9,c的取值范围为(-,-19,+).,若a0,则f(x)0,f(x)在(0,+)内单调递增;若a0,当x(0,a)时,f(x)0,f(x)在(a,+)内单调递增.综上,当a0时,f(x)的单调递增区间为(0,+),无单调递减区间;当a0时,f(x)的单调递增区间为(a,+),单调递减区间为(0,a).,反思感悟(1)证明f(x)g(x)的一般方法是证明h(x)=f(x)-g(x)0(利用单调性),特殊情况是证明f(x)ming(x)max(最值方法),但后一种方法不具备普遍性.(2)证明二元不等式的基本思想是化为一元不等式,一种方法为变换不等式两个变元成为一个整体,另一种方法为转化后利用函数的单调性,如不等式f(x1)+g(x1)f(x2)+g(x2)对x1x2恒成立,即等价于函数h(x)=f(x)+g(x)为增函数.,变式训练3设函数f(x)=ln x-x+1.(1)讨论f(x)的单调性;,(1)解 依题意,f(x)的定义域为(0,+).f(x)=-1,令f(x)=0,得x=1.当00,f(x)单调递增.当x1时,f(x)0,f(x)单调递减.,(2)证明 由(1)知f(x)在x=1处取得最大值,且最大值f(1)=0.所以当x1时,ln xx-1.,(1)求f(x)的单调区间;(2)当a1时,求函数f(x)在区间(0,e上零点的个数.,f(x)及f(x)随x的变化情况如下表:,所以f(x)的单调递增区间为(0,e1-a),单调递减区间为(e1-a,+).,当a=1时,f(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,e)内单调递减.又f(1)=0,故f(x)在区间(0,e内只有一个零点.当a0,e1-a1,综上,当a=1时,f(x)在区间(0,e上只有一个零点,当a1时,f(x)在区间(0,e上无零点.,反思感悟利用导数研究函数的零点或方程根的方法是借助于导数研究函数的单调性、极值(最值),通过极值或最值的正负、函数的单调性判断函数图象走势,从而判断零点个数或者通过零点的个数求参数范围.,变式训练4若函数f(x)=ax3-bx+4,当x=2时,函数f(x)取得极值-.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若方程f(x)=k有3个不同的实数根,求实数k的取值范围.,(2)由(1)可得f(x)=x2-4=(x-2)(x+2).令f(x)=0,得x=2或x=-2.当x2时,f(x)0;当-2x2时,f(x)0.,1.设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V,那么其表面积最小时底面边长为(),答案 C,2.已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)=2,且f(x)的导数f(x)在R上恒有f(x)1(xR),则不等式f(x)x+1的解集为()A.(1,+)B.(-,-1)C.(-1,1)D.(-,-1)(1,+),答案 A解析 不等式f(x)1.,3.设aR,若函数y=eax+3x,xR有大于零的极值点,则()A.a-3 B.a-3,答案 B,4.直线y=a与函数y=x3-3x的图象有三个相异的交点,则a的取值范围是.,答案(-2,2),解析 f(x)=3x2-3,令f(x)=0,得x=1或x=-1.因为当x(-,-1)(1,+)时,f(x)0,当x(-1,1)时,f(x)0,所以f(x)极小值=f(1)=-2,f(x)极大值=f(-1)=2.函数y=x3-3x的大致图象如图所示,所以-2a2.,更多精彩内容请登录志鸿优化网http:/www.zhyh.org/,本 课 结 束,