第二章　2.1　双曲线及其标准方程.pptx

高中同步学案优化设计,GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HAU SHE JI,第二章,2021,内容索引,课前篇 自主预习,课堂篇 探究学习,课前篇 自主预习,激趣诱思,如图所示,取一条拉链,拉开它的一部分,在拉开的两边上各选择一点,分别固定在点F1,F2上,把笔尖放在点M处,随着拉链逐渐拉开或者闭拢,笔尖所经过的点就画出一条曲线,这就是双曲线的一支.把两个固定点的位置交换,如图所示,类似可以画出双曲线的另一支.这两条曲线合起来叫作双曲线.双曲线上的点到两定点F1,F2的距离有何特点?,知识点拨,一、双曲线的定义1.定义平面内到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线.这两个定点F1,F2叫作双曲线的焦点,两个焦点间的距离叫作双曲线的焦距.2.集合语言表达式双曲线就是集合P=M|MF1|-|MF2|=2a,02a|F1F2|.,名师点析1.若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点M的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于|MF1|与|MF2|的大小.(1)若|MF1|MF2|,则|MF1|-|MF2|0,点M的轨迹是靠近定点F2的那一支;(2)若|MF1|0,点M的轨迹是靠近定点F1的那一支.2.双曲线定义中的常数必须要大于0且小于|F1F2|.(1)若定义中的常数等于|F1F2|,此时动点轨迹是分别以F1和F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点).(2)若定义中的常数大于|F1F2|,此时动点轨迹不存在.(3)若定义中的常数为0,此时动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线.,微练习1已知平面上定点F1,F2及动点M,命题甲:|MF1|-|MF2|=2a(a为常数).命题乙:点M的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线.则甲是乙的()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 B,微练习2平面内到点F1(6,0)的距离减去到点F2(-6,0)的距离之差等于12的点的集合是()A.双曲线B.双曲线的一支C.两条射线 D.一条射线答案 D解析 设动点为P,则|PF1|-|PF2|=12=|F1F2|,点P的轨迹是以F2为端点的一条射线.,二、双曲线的标准方程,微练习(1)若双曲线方程为=1,则其焦点在轴上,焦点坐标为.(2)已知a=5,c=10,焦点在y轴上,则双曲线的标准方程为.(3)以F1(-4,0),F2(4,0)为焦点,且经过点M(3,)的双曲线的标准方程为.,课堂篇 探究学习,例1设平面上的点到两个定点F1(5,0),F2(-5,0)的距离之差的绝对值分别等于(1)6;(2)10;(3)12.满足条件的曲线若存在,是什么样的曲线?若不存在,请说明理由.,解(1)存在.|F1F2|=10,而610,满足该条件的曲线不存在.,反思感悟 双曲线是到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹),要注意条件“常数(大于零且小于|F1F2|)”.,变式训练1下列命题是真命题的是.(将所有真命题的序号都填上)已知定点F1(-1,0),F2(1,0),则满足|PF1|-|PF2|=的点P的轨迹为双曲线;已知定点F1(-2,0),F2(2,0),则满足|PF1|-|PF2|=4的点P的轨迹为双曲线;到定点F1(-3,0),F2(3,0)距离之差的绝对值等于7的点P的轨迹为双曲线;若点P到定点F1(-4,0),F2(4,0)的距离的差的绝对值等于点M(1,2)到点N(-3,-1)的距离,则点P的轨迹为双曲线.,解 6,故点P的轨迹不存在;点M(1,2)到点N(-3,-1)的距离为=58,故点P的轨迹是以F1(-4,0),F2(4,0)为焦点的双曲线.,例2根据下列条件,求双曲线的标准方程:,(3)设双曲线的方程为Ax2+By2=1,AB0.因为点P,Q在双曲线上,反思感悟 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似,可以先根据其焦点位置设出标准方程,然后用待定系数法求出a,b的值.若焦点位置不确定,可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解,此方法思路清晰,但过程复杂.若双曲线过两定点,可设其方程为mx2+ny2=1(mn0),通过解方程组即可确定m,n,避免了讨论,从而简化求解过程.,变式训练2求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别是(-5,0),(5,0),双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8;,解(1)由双曲线的定义知,2a=8,所以a=4,又知焦点在x轴上,且c=5,所以b2=c2-a2=25-16=9,例3若F1,F2是双曲线=1的两个焦点.(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,求点M到另一个焦点的距离;(2)如图,若P是双曲线左支上的点,且|PF1|PF2|=32,试求F1PF2的面积.,(1)由双曲线的定义得|MF1|-|MF2|=2a=6,又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,假设点M到另一个焦点的距离等于x,则|16-x|=6,解得x=10或x=22.故点M到另一个焦点的距离为10或22.,(2)将|PF2|-|PF1|=2a=6两边平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=36,则|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|PF2|=36+232=100.在F1PF2中,由余弦定理得,延伸探究将本例(2)中的条件“|PF1|PF2|=32”改为“F1PF2=60”,求F1PF2的面积.,由双曲线的定义和余弦定理得|PF2|-|PF1|=6,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos 60,所以102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|PF2|,所以|PF1|PF2|=64,反思感悟 求双曲线中焦点三角形面积的方法(1)(方法一)根据双曲线的定义求出|PF1|-|PF2|=2a;利用余弦定理表示出|PF1|,|PF2|,|F1F2|之间满足的关系式;通过配方,利用整体的思想求出|PF1|PF2|的值;,变式训练3已知双曲线x2-y2=1,点F1,F2为其两个焦点,点P为双曲线上一点,若PF1PF2,则|PF1|+|PF2|的值为.,解析 不妨设点P在双曲线的右支上,因为PF1PF2,所以|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=(2)2.又|PF1|-|PF2|=2,所以(|PF1|-|PF2|)2=4,可得2|PF1|PF2|=4,则(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|PF2|=12,所以|PF1|+|PF2|=2.,反思感悟(1)求解与双曲线有关的点的轨迹问题,常见的方法有两种:列出等量关系,化简得到方程;寻找几何关系,由双曲线的定义,得出对应的方程.(2)求解双曲线的轨迹问题时要特别注意:双曲线的焦点所在的坐标轴;检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.,变式训练4已知定圆F1:(x+5)2+y2=1,定圆F2:(x-5)2+y2=16,动圆M与定圆F1,F2都外切,求动圆圆心M的轨迹方程.,解 圆F1:(x+5)2+y2=1,圆心F1(-5,0),半径r1=1;圆F2:(x-5)2+y2=16,圆心F2(5,0),半径r2=4.设动圆M的半径为R,则有|MF1|=R+1,|MF2|=R+4,|MF2|-|MF1|=310=|F1F2|.,双曲线在生活中的应用典例某飞船返回舱顺利到达地球后,为了及时将航天员安全救出,地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记A,B,C),A在B的正东方向,相距6千米,C在B的北偏西30方向,相距4千米,P为航天员着陆点.某一时刻,A接收到P的求救信号,由于B,C两地比A距P远,在此4秒后,B,C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1千米/秒,求在A处发现P的方位角.,解 因为|PC|=|PB|,所以P在线段BC的垂直平分线上.又因为|PB|-|PA|=46=|AB|,所以P在以A,B为焦点的双曲线的右支上.,反思感悟 利用双曲线解决实际问题的基本步骤如下:(1)建立适当的坐标系;(2)求出双曲线的标准方程;(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题.注意:解答与双曲线有关的应用问题时,除要准确把握题意,了解一些实际问题的相关概念,同时还要注意双曲线的定义及性质的灵活应用.实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着的变量范围.,1.已知F1(-8,3),F2(2,3),动点P满足|PF1|-|PF2|=10,则P点的轨迹是()A.双曲线B.双曲线的一支C.直线 D.一条射线答案 D解析 F1,F2是定点,且|F1F2|=10,所以满足条件|PF1|-|PF2|=10的点P的轨迹应为一条射线.,答案 A,3.已知双曲线=1(a0,b0),F1,F2为其两个焦点,若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交,且所得弦长|AB|=m,则ABF2的周长为()A.4a B.4a-mC.4a+2mD.4a-2m,答案 C,解析 不妨设|AF2|AF1|,由双曲线的定义,知|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a,所以|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|BF1|)+4a=m+4a,于是ABF2的周长l=|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2m.,5.设双曲线与椭圆=1有共同的焦点,且与椭圆的一个公共点的纵坐标为4,求双曲线的标准方程.,更多精彩内容请登录志鸿优化网http:/www.zhyh.org/,本 课 结 束,