第二章　3.1　抛物线及其标准方程.pptx

高中同步学案优化设计,GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HAU SHE JI,第二章,2021,内容索引,课前篇 自主预习,课堂篇 探究学习,课前篇 自主预习,激趣诱思,我们把一根直尺固定在图板上直线l的位置,把一块三角尺的一条直角边紧靠着直尺的边缘,再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条直角边的一点A,取绳长等于点A到直角顶点C的长(即点A到直线l的距离),并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F.用铅笔尖扣着绳子,使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺,然后将三角尺沿着直尺上下滑动,笔尖就在图板上描出了一条曲线.这就是本节我们要学习的抛物线,这条曲线上的点有什么特征?,知识点拨,一、抛物线的定义1.平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的集合(或轨迹)叫作抛物线.定点F叫作抛物线的焦点,这条定直线l叫作抛物线的准线.2.数学表达式:抛物线是点的集合P=M|MF|=d.,名师点析1.抛物线的定义实质可以归结为“一动二定一相等”:“一动”即一个动点,设为M;“二定”包括一个定点F,即抛物线的焦点,和一条定直线l,即抛物线的准线;一相等,即|MF|=d(d为M到准线l的距离).2.定义中,要注意强调定点F不在定直线l上.当直线l经过点F时,点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线.,微练习1若动点P到点(3,0)的距离和它到直线x=-3的距离相等,则动点P的轨迹是()A.椭圆B.抛物线C.直线D.双曲线答案 B解析 由抛物线定义知,动点轨迹为抛物线.,微练习2平面内到点A(2,3)和直线l:x+2y-8=0距离相等的点的轨迹是()A.直线B.抛物线C.椭圆D.圆答案 A解析 Al,轨迹为过A且与l垂直的一条直线.,二、抛物线的标准方程,微判断(1)若抛物线的方程为y2=-4x,则抛物线的焦点到准线的距离是2.()(2)抛物线y=6x2的焦点在x轴的正半轴.(),微练习1抛物线x2=y的开口向,焦点坐标为,准线方程是.,微练习2若抛物线的准线方程是x=5,则其标准方程为,焦点坐标为.,答案 y2=-20 x(-5,0),解析 由已知得焦点坐标为(-5,0),=5,p=10,2p=20,所以抛物线标准方程为y2=-20 x.,课堂篇 探究学习,例1分别求符合下列条件的抛物线的标准方程.(1)经过点(-3,-1);(2)焦点为直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点.,解(1)因为点(-3,-1)在第三象限,所以设所求抛物线的标准方程为y2=-2p1x(p10)或x2=-2p2y(p20).若抛物线的标准方程为y2=-2p1x(p10),(2)对于直线方程3x-4y-12=0,令x=0,得y=-3;令y=0,得x=4,所以抛物线的焦点为(0,-3)或(4,0).当焦点为(0,-3)时,抛物线的标准方程为x2=-12y;当焦点为(4,0)时,抛物线的标准方程为y2=16x.故所求抛物线的标准方程为x2=-12y或y2=16x.,反思感悟 用待定系数法求抛物线标准方程的步骤,注意:当抛物线的类型没有确定时,可设方程为y2=mx(m0)或x2=ny(n0),这样可以减少讨论情况的个数.,变式训练1根据下列条件分别求出抛物线的标准方程:(1)准线方程为y=;(2)焦点在y轴上,焦点到准线的距离为5.,(2)已知抛物线的焦点在y轴上,可设方程为x2=2my(m0),由焦点到准线的距离为5,知|m|=5,m=5,所以满足条件的抛物线有两条,它们的标准方程分别为x2=10y和x2=-10y.,例2求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:(1)y2=-14x;(2)5x2-2y=0;(3)x=ay2(a0).,反思感悟 把方程化为标准形式由方程确定开口方向和p的值得焦点坐标和准线方程,变式训练2已知抛物线的方程如下,分别求其焦点坐标和准线方程:(1)2y2+5x=0;(2)y=2ax2(a0).,1.利用抛物线定义求轨迹(方程)例3已知动圆M与直线y=2相切,且与定圆C:x2+(y+3)2=1外切,求动圆圆心M的轨迹方程.,解 设动圆圆心为M(x,y),半径为r,由题意可得M到C(0,-3)的距离与到直线y=3的距离相等.由抛物线的定义可知,动圆圆心的轨迹是以C(0,-3)为焦点,以y=3为准线的一条抛物线,其方程为x2=-12y.,反思感悟 解决轨迹为抛物线问题的方法抛物线的轨迹问题,既可以用轨迹法直接求解,也可以先将条件转化,再利用抛物线的定义求解.后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的条件,有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件.,变式训练3已知动圆M经过点A(3,0),且与直线l:x=-3相切,求动圆圆心M的轨迹方程.,解 设动点M(x,y),M与直线l:x=-3的切点为N,则|MA|=|MN|,即动点M到定点A和定直线l:x=-3的距离相等,点M的轨迹是抛物线,且以A(3,0)为焦点,以直线l:x=-3为准线,故动圆圆心M的轨迹方程是y2=12x.,2.利用抛物线定义求最值例4如图,已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又有点A(3,2),求|PA|+|PF|的最小值,并求此时点P的坐标.,此时点P的纵坐标为2,代入y2=2x,得x=2.点P的坐标为(2,2).,延伸探究若将本例中的点A(3,2)改为点(0,2),求点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值.,解 由抛物线的定义可知,抛物线上的点到准线的距离等于该点到焦点的距离.,反思感悟 抛物线的定义在解题中的作用,就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离进行转化,另外要注意平面几何知识的应用,如两点之间线段最短,三角形中三边间的不等关系,点与直线上点的连线中垂线段最短等.,变式训练4已知P是抛物线y2=4x上一动点,则点P到直线l:2x-y+3=0和y轴的距离之和的最小值是(),答案 D,解析 由题意知,抛物线的焦点为F(1,0).设点P到直线l的距离为d,由抛物线的定义可知,点P到y轴的距离为|PF|-1,所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d+|PF|-1.易知d+|PF|的最小值为点F到直线l的距离,与抛物线有关的最值问题典例求抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的最小距离.,(方法二)如图,设与直线4x+3y-8=0平行的抛物线的切线方程为4x+3y+m=0,反思感悟(1)求抛物线上一点到定直线的距离的最值,最常见的解题思路:一是利用抛物线的标准方程进行消元代换,得到有关距离的含变量的代数式,以计算函数最值来解决.二是转化为两平行线间距离代入两平行线间距离公式可求得.(2)建立形与数的联系,提升数形结合的能力,有利于优化解题的方式与方法.,1.抛物线y2=16x的准线方程是()A.x=-2B.x=-4C.y=-2D.y=-4答案 B,2.若动点P到定点F(-4,0)的距离与到直线x=4的距离相等,则P点的轨迹是()A.抛物线B.线段C.直线D.射线答案 A,3.已知抛物线y=2px2过点(1,4),则抛物线的焦点坐标为(),答案 C,解析 由抛物线y=2px2过点(1,4),可得p=2,4.一动圆过点(0,1)且与定直线l相切,圆心在抛物线x2=4y上,则l的方程为(),答案 C解析 因为动圆过点(0,1)且与定直线l相切,所以动圆圆心到点(0,1)的距离与它到定直线l的距离相等,又因为动圆圆心在抛物线x2=4y上,且(0,1)为抛物线的焦点,所以l为抛物线的准线,所以l:y=-1.,5.若抛物线y2=2px的焦点坐标为(1,0),则p=,准线方程为.,答案 2x=-1,6.抛物线y2=-2px(p0)上有一点M的横坐标为-9,它到焦点的距离为10,求此抛物线方程和点M的坐标.,抛物线方程为y2=-4x.将M(-9,y)代入抛物线的方程,得y=6.点M的坐标为(-9,6)或(-9,-6).,更多精彩内容请登录志鸿优化网http:/www.zhyh.org/,本 课 结 束,