第二章　3.2　抛物线的简单几何性质.pptx

高中同步学案优化设计,GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HAU SHE JI,第二章,2021,内容索引,课前篇 自主预习,课堂篇 探究学习,课前篇 自主预习,激趣诱思,把抛物线沿它的对称轴旋转一周,就会形成一个抛物面.这种抛物面形状,正是我们熟悉的汽车前灯的反射镜的形状.这种形状,使得车灯既能够发射出明亮的、照射很远的平行光束,又能发射出较暗的、照射近距离的光线,这也就是汽车的远光灯和近光灯.那么它的工作原理是什么?,知识点拨,抛物线的简单几何性质,名师点析1.抛物线没有渐近线,在画图时不要把抛物线画成双曲线一支的形状,因为双曲线的开口越来越开阔,而抛物线的开口越来越扁平.2.抛物线的顶点只有一个,抛物线的焦点总在对称轴上,抛物线的准线始终与对称轴垂直.,微判断(1)抛物线关于顶点对称.()(2)抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心.()(3)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.(),微思考抛物线的几何性质与椭圆、双曲线的有何不同?,提示 抛物线的几何性质与椭圆、双曲线的相比有较大差别,它的离心率为定值1,只有一个焦点,一个顶点、一条对称轴、一条准线,没有渐近线,没有对称中心,通常称抛物线为无心圆锥曲线,而称椭圆、双曲线为有心圆锥曲线.,课堂篇 探究学习,例1若抛物线y2=4x上一点P(x0,y0)到点(5,0)的距离最小,则点P的横坐标x0为()A.1B.2C.3D.4,答案 C,x00,当x0=3时,点P与点(5,0)的距离最小,此时x0=3.,反思感悟 由两点间的距离公式写出点P与点(5,0)的距离,利用配方法求其最小值,从而可得点P的横坐标x0.解答本题充分利用了抛物线的范围这一性质,在求有关抛物线的最值时一定要注意抛物线的范围这一条件的应用.,变式训练1已知抛物线y2=8x,求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围.解 抛物线y2=8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0,0),(2,0),x=-2,x轴,x0.,例2(1)等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px(p0),O为抛物线的顶点,OAOB,则AOB的面积是()A.8p2B.4p2C.2p2D.p2,答案 B,解析 因为抛物线的对称轴为x轴,内接AOB为等腰直角三角形,AB是斜边,所以由抛物线的对称性知,直线AB与抛物线的对称轴垂直,从而直线OA与x轴的夹角为45.,不妨设A,B两点的坐标分别为(2p,2p)和(2p,-2p),所以|AB|=4p,所以SAOB=4p2p=4p2.,(2)已知抛物线的对称轴在坐标轴上,以原点为顶点,且经过点M(1,-2),求抛物线的标准方程.,解 当抛物线的焦点在x轴上时,设其标准方程为y2=mx(m0).将点M(1,-2)的坐标代入,得m=4,y2=4x.当抛物线的焦点在y轴上时,设其标准方程为x2=ny(n0).,反思感悟 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质(1)开口:由抛物线标准方程看图象开口,关键是看准二次项是x还是y,一次项的系数是正还是负.(2)关系:顶点位于焦点与准线中间,准线垂直于对称轴.(3)定值:焦点到准线的距离为p;过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p;离心率恒等于1.,变式训练2求顶点在原点,对称轴是坐标轴,焦点在直线x-2y+2=0上的抛物线的标准方程.,解 焦点在直线x-2y+2=0上,且抛物线的顶点在原点,对称轴是坐标轴,焦点的坐标为A(0,1)或B(-2,0),若抛物线的焦点是A(0,1),则此抛物线方程为x2=4y.若抛物线的焦点是B(-2,0),则此抛物线方程为y2=-8x.故所求的抛物线的方程为x2=4y或y2=-8x.,例3已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上一点M(m,-3)到焦点的距离为5,求m的值、抛物线的标准方程和准线方程.,解(方法一)点M(m,-3)在抛物线上,抛物线焦点在y轴上,抛物线的方程为x2=-8y,准线方程为y=2.,反思感悟(1)设抛物线的标准方程为x2=-2py(p0),根据点M在抛物线上及条件|MF|=5,建立方程组求解.(2)已知|MF|=5,可用焦半径公式求解.,变式训练3(2020吉林长春实验中学高二检测)如果P1,P2,Pn是抛物线C:y2=4x上的点,它们的横坐标依次为x1,x2,xn,F是抛物线C的焦点,若x1+x2+xn=10,则|P1F|+|P2F|+|PnF|=()A.n+10 B.n+20C.2n+10D.2n+20,答案 A,抛物线的实际应用问题典例河上有一抛物线形拱桥,当水面距拱桥顶5 m时,水面宽为8 m,一小船宽4 m,高2 m,载货后船露出水面上的部分高0.75 m,问:水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距多少米时,小船开始不能通航?,解 如图,以拱桥的拱顶为原点,分别以过拱顶且平行于水面和垂直于水面的直线为x轴和y轴,建立平面直角坐标系.设抛物线方程为x2=-2py(p0),所以h=|yA|+0.75=2(m).所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时,小船开始不能通航.,1.以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点,且与x轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其标准方程为()A.y2=8x B.y2=-8xC.y2=8x或y2=-8xD.x2=8y或x2=-8y,答案 C,解析 抛物线的通径为2p=8,且以x轴为对称轴,其方程为y2=8x或y2=-8x.,2.顶点在原点,对称轴是y轴,并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是()A.x2=3yB.y2=6xC.x2=12yD.x2=6y答案 C,3.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是(),答案 B,解析 设P(x,-x2)为抛物线上任一点,则点P到直线4x+3y-8=0的距离,4.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点M(4,-8),则它的标准方程为.,答案 y2=16x,解析 由题意,可设抛物线的标准方程为y2=2px(p0).点M在抛物线上,(-8)2=2p4,解得p=8.故所求抛物线的标准方程为y2=16x.,5.已知抛物线的顶点在原点,对称轴重合于椭圆=1短轴所在的直线,抛物线的焦点到顶点的距离为5,求抛物线的方程.,解 由已知条件可知抛物线的对称轴为x轴.则设抛物线的方程为y2=mx(m0).抛物线的焦点到顶点的距离为5,故所求抛物线的方程为y2=20 x或y2=-20 x.,更多精彩内容请登录志鸿优化网http:/www.zhyh.org/,本 课 结 束,