第二章　2.2　第1课时　函数的表示法.pptx

高中同步学案优化设计,GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HAU SHE JI,第二章,2021,内容索引,课前篇 自主预习,课堂篇 探究学习,课前篇 自主预习,激趣诱思,利用医疗仪器可以方便地测量出心脏在各时刻的指标值,据此可以描绘出心电图,如图所示.医生在看心电图时,会根据图形的整体形态来给出诊断结果(如根据两个峰值的间距来得出心率等).,如果用t表示测量的时间,v表示测量的指标值,可以得出v是t的函数吗?如果是,这个函数用数学符号可以怎样表示?,知识点拨,一、函数的表示法常用的函数的表示方法有三种,具体如下.,要点笔记 由列表法和图象法的概念可知,函数也可以说就是一张表或一张图,根据这张表或这张图,由自变量x的值可查找到和它对应的唯一的函数值y.,微练习观察下表:,则f(f(-1)-g(3)=()A.-4B.-3C.3D.5,解析由题表知,f(-1)=-1,g(3)=-4,所以f(f(-1)-g(3)=f(3)=5.答案D,二、函数的图象1.定义一般地,将函数y=f(x),xA中的自变量x和对应的函数值y,分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标,则满足条件的点(x,y)组成的集合F称为函数的图象,即F=(x,y)|y=f(x),xA.这就是说,如果F是函数y=f(x)的图象,则图象上任意一点的坐标(x,y)都满足函数关系y=f(x);反之,满足函数关系y=f(x)的点(x,y)都在函数图象F上.图象在x轴上的投影所表示的区间为定义域,在y轴上的投影所表示的区间为值域.,2.函数图象的作法(1)函数图象的特征函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等.(2)描点法作函数图象的三个步骤(注意函数的定义域),(3)利用常见函数图象作出所求函数的图象已学过的常见函数图象有:常值函数的图象,如f(x)=1的图象为一条平行于x轴的直线;一次函数的图象,如f(x)=-3x+1的图象是一条经过第一、二、四象限的直线;一元二次函数的图象,如f(x)=2x2-x+1的图象是一条开口向上的抛物线;对于反比例函数f(x)=(k0,且k为常数),当k0时,其图象是在第一、三象限内,以原点为对称中心的双曲线,当k0时,其图象是在第二、四象限内,以原点为对称中心的双曲线.,名师点析 从理论上来说,要作出一个函数的图象,只需描出所有点即可.但是,很多函数的图象都由无穷多个点组成,描出所有点并不现实.因此,实际作图时,经常先描出函数图象上一些有代表性的点,然后根据有关性质作出函数图象,这称为描点作图法.,微思考如何检验一个图形是不是一个函数的图象?写出你的检验法则.提示检验法则:过图形上任意一点作与x轴垂直的直线,若所有直线与图形都只有一个交点,则此图形是函数的图象,否则这个图形不是函数的图象.,微练习如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中点A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则f(f(f(0)=()A.2B.4C.0D.3,解析结合图象可得f(0)=4,f(4)=2,f(2)=0,则f(f(f(0)=f(f(4)=f(2)=0.答案C,课堂篇 探究学习,例1已知函数f(x),g(x)分别由下表给出:,则f(g(1)=;当g(f(x)=2时,x=.分析这是用列表法表示的函数求值问题,在解答时,找准变量对应的值即可.,解析由g(x)的对应表,知g(1)=3,f(g(1)=f(3).由f(x)的对应表,知f(3)=1,f(g(1)=f(3)=1.由g(x)的对应表,知当x=2时,g(2)=2.又g(f(x)=2,f(x)=2.又由f(x)的对应表,知当x=1时,f(1)=2.x=1.答案11,要点笔记 列表法是表示函数的重要方法,这如同我们在画函数图象时所列的表,它的优点是自变量对应的函数值在表中可直接找到,不需要计算.,延伸探究在本例已知条件下,g(f(1)=;当f(g(x)=2时,x=.解析f(1)=2,g(f(1)=g(2)=2.f(g(x)=2,g(x)=1,x=3.答案23,例2(1)已知f(x+1)=x2-3x+2,求f(x).(2)已知f(x)是一元二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解析式.(3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2,求f(x).分析(1)(方法一)令x+1=t,将x=t-1代入f(x+1)=x2-3x+2可得f(t),即可得f(x);(方法二)由于f(x+1)中x+1的地位与f(x)中x的地位相同,因此还可以将f(x+1)=x2-3x+2变形为f(x+1)=(x+1)2-5(x+1)+6.(2)设出f(x)=ax2+bx+c(a0),再根据条件列出方程组求出a,b,c的值.(3)将f(x)+2f(-x)=3x-2中的x用-x代替,解关于f(x)与f(-x)的方程组即可.,解(1)(方法一)令x+1=t,则x=t-1.将x=t-1代入f(x+1)=x2-3x+2,得f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6,f(x)=x2-5x+6.(方法二)f(x+1)=x2-3x+2=x2+2x+1-5x-5+6=(x+1)2-5(x+1)+6,f(x)=x2-5x+6.,(2)设所求的一元二次函数为f(x)=ax2+bx+c(a0).f(0)=1,c=1,则f(x)=ax2+bx+1.f(x+1)-f(x)=2x对任意的xR都成立,a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,所求一元二次函数为f(x)=x2-x+1.,(3)对于任意的x,都有f(x)+2f(-x)=3x-2,将x替换为-x,得f(-x)+2f(x)=-3x-2,联立方程组消去f(-x),可得,反思感悟 求函数解析式的四种常用方法(1)直接法(代入法):已知f(x)的解析式,求f(g(x)的解析式,直接将g(x)代入.(2)待定系数法:若已知函数的类型,可用待定系数法求解,即由函数类型设出函数解析式,再根据条件列方程(或方程组),通过解方程(或方程组)求出待定系数,进而求出函数解析式.(3)换元法(有时可用“配凑法”):已知函数f(g(x)的解析式求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”),即令g(x)=t,反解出x,然后代入f(g(x)中求出f(t),从而求出f(x).,(4)消元法:在已知式子中,含有关于两个不同变量的函数,而这两个变量有着某种关系,这时就要依据两个变量的关系,建立一个新的关于两个变量的式子,由两个式子建立方程组,通过解方程组消去一个变量,得到目标变量的解析式.,变式训练 1(1)已知f(x)是一次函数,且f(f(x)=2x-1,求f(x)的解析式.,解(1)f(x)为一次函数,可设f(x)=ax+b(a0).,例3作出下列函数的图象,并求其值域.(1)y=1-x(xZ);(2)y=2x2-4x-3(0 x3).分析看函数的类型看函数的定义域描点、连线、成图.,解(1)因为xZ,所以函数图象为一条直线上的孤立点(如图),由图象知,yZ.(2)因为x0,3),所以函数图象是抛物线的一段(如图),由图象知,y-5,3).,反思感悟 1.作函数图象最基本的方法是描点法.主要有三个步骤列表、描点、连线.作图象时一般先确定函数的定义域,再在定义域内化简函数解析式,最后列表画出图象.2.函数的图象可能是平滑的曲线,也可能是一群孤立的点,画图时要注意特殊点.如图象与坐标轴的交点、区间端点、二次函数的顶点等,还要分清这些特殊点是实心点还是空心圈.如本题(1)中图象是由一些散点构成的,这里不能将其用平滑曲线连起来;(2)中描出两个端点及顶点,依据一元二次函数的图象特征作出函数图象,注意x=3不在定义域内,从而点(3,3)处用空心圈.,变式训练 2作出下列函数的图象,并写出其值域.(1)y=2x+1,x0,2;,解(1)当x=0时,y=1;当x=1时,y=3;当x=2时,y=5.函数图象过点(0,1),(1,3),(2,5).图象如图所示.,由图可知,函数的值域为1,5.,由图可知,函数的值域为(0,1.,图象变换法1.平移变换函数y=f(x)的图象与y=f(x+a)及y=f(x)+a(a0)的图象有怎样的关系呢?我们先来看一个例子.分别作出函数y=x2,y=(x+1)2,y=x2-1的图象,观察它们之间有怎样的关系.在同一平面直角坐标系中,它们的图象如图所示.,观察图象可知,y=(x+1)2的图象可由函数y=x2的图象向左平移1个单位长度得到;函数y=x2-1的图象可由函数y=x2的图象向下平移1个单位长度得到.由此得到如下规律:(1)把函数y=f(x)的图象沿x轴向左(a0)或向右(a0)或向下(a0)平移|a|个单位长度,就得到函数y=f(x)+a的图象.,2.对称变换函数y=f(x)的图象与y=f(-x),y=-f(x)及y=-f(-x)的图象又有怎样的关系呢?我们来看一个例子:,由此可得如下规律:(1)函数y=f(-x)的图象与函数y=f(x)的图象关于y轴对称;(2)函数y=-f(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于x轴对称;(3)函数y=-f(-x)的图象与函数y=f(x)的图象关于原点对称.,3.翻折变换函数y=f(x)的图象与函数y=|f(x)|及y=f(|x|)的图象又有怎样的关系呢?我们再来看一个例子:分别作出函数y=|x2-2x-3|及y=x2-2|x|-3的图象,观察它们与函数y=x2-2x-3的图象之间有怎样的关系.事实上,y=|x2-2x-3|,在不同的平面直角坐标系中,分别作出函数y=|x2-2x-3|与y=x2-2|x|-3的图象,如图中的实线所示.,通过观察两个图象可知,函数y=|x2-2x-3|的图象可由函数y=x2-2x-3的图象经过下列变换得到:保持函数y=x2-2x-3的图象在x轴上及其上方的部分不变,将x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方.函数y=x2-2|x|-3的图象可由函数y=x2-2x-3的图象经过下列变换得到:保持函数y=x2-2x-3的图象在y轴上及其右侧的部分不变,将y轴原左侧的图象换成y轴右侧的图象沿y轴翻折而成的图象,则这两部分就构成了y=x2-2|x|-3的图象.,由此可得如下规律:(1)将函数y=f(x)的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,下方的部分不再保留,x轴上及其上方的图象不变,即可得到函数y=|f(x)|的图象;(2)先作x0时y=f(x)的图象,然后将函数 y=f(x)(x0)的图象沿y轴翻折到y轴左侧,函数y=f(x)(x0)的图象不变,即可得到函数y=f(|x|)的图象.,典例1已知函数y=f(x)的图象如图所示,则y=f(1-x)的图象为(),解析将变换分为两个过程:f(x)的图象 f(-x)的图象 f(-(x-1)的图象.即将函数y=f(x)的图象先作关于y轴的对称变换得到函数y=f(-x)的图象,再将函数y=f(-x)的图象向右平移1个单位长度得到y=f(1-x)的图象.,答案A,典例2作出函数f(x)=|x2-4x-5|在区间-2,6上的图象.,解先作出二次函数y=x2-4x-5的图象,再把图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,保留在区间-2,6上的x轴上及其上方的部分,如图所示.,1.已知一次函数的图象过点(1,0)和(0,1),则该一次函数的解析式为()A.f(x)=-xB.f(x)=x-1C.f(x)=x+1D.f(x)=-x+1,所以a=-1,b=1,即f(x)=-x+1.,答案D,2.某天早上,小明骑车上学,出发时感到时间较紧,然后加速前进,后来发现时间还比较充裕,于是放慢了速度,与以上事件吻合得最好的图象是(),解析因为选项A,D第一段都是匀速前进,不合题意,故排除选项A,D.首先加速前进,然后放慢速度,说明图象上升的速度先快后慢,故选C.答案C,3.已知函数f(x),g(x)对应值如下表:,则g(f(g(-1)的值为()A.1B.0C.-1D.无法确定,解析g(-1)=1,则f(g(-1)=f(1)=0,则g(f(g(-1)=g(0)=-1.答案C,4.若一个长方体的高为80 cm,长比宽多10 cm,则这个长方体的体积y(单位:cm3)与长方体的宽x(单位:cm)之间的函数解析式是.解析由题意可知,长方体的长为(x+10)cm,从而长方体的体积y=80 x(x+10),x0.答案y=80 x(x+10),x(0,+),5.已知函数f(x)=x2-2x(-1x2).(1)画出f(x)的图象;(2)根据图象写出f(x)的值域.,解(1)f(x)的图象如图所示.,(2)观察f(x)的图象可知,f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是-1,3,故f(x)的值域是-1,3.,更多精彩内容请登录志鸿优化网http:/www.zhyh.org/,本 课 结 束,