函数的奇偶性（2）高一年级数学主讲人李双平北京市第八中学北京市中小学空中课堂问题什么样的函数是奇函数?什么样的函数是偶函数?从“形”的角度:图像关于原点对称的函数是奇函数;图像关于𝑦轴对称的函数是偶函数.从“数”的角度:若𝑓𝑥定义域为D,且满足∀𝑥∈𝐷,−𝑥∈𝐷,且𝑓−𝑥=−𝑓𝑥,则𝑓𝑥为奇函数;∀𝑥∈𝐷,−𝑥∈𝐷,且𝑓−𝑥=𝑓𝑥,则𝑓𝑥为偶函数.例1判断下列函数是否具有奇偶性:(1)𝑓𝑥=]]𝑥+1]]−]]𝑥−1]];(2)𝑓𝑥=1;3𝑓𝑥=𝑥2−1𝑥−1−1;(4)𝑓𝑥=Я1−𝑥2]]3−𝑥]]−3;(5)𝑓𝑥=༸𝑥1−𝑥,𝑥≥0𝑥1+𝑥𝑥<0.解(1)定义域为𝐑,∴∀𝑥∈𝐑,−𝑥∈𝐑. 𝑓−𝑥=]]−𝑥+1]]−]]−𝑥−1]]=]]𝑥−1]]−]]𝑥+1]]=−𝑓𝑥,∴𝑓𝑥为奇函数.(1)𝑓𝑥=]]𝑥+1]]−]]𝑥−1]];(2)𝑓𝑥=1;解(2)定义域为𝐑,∴∀𝑥∈𝐑,−𝑥∈𝐑.∴𝑓𝑥是偶函数.Oxy11又 𝑓−𝑥=1=𝑓𝑥,3𝑓𝑥=𝑥2−1𝑥−1−1;解化简𝑓ሺ𝑥ሻ=ሺ𝑥+1ሻሺ𝑥−1ሻ𝑥−1−1=ሺ𝑥+1ሻ−1=𝑥,即𝑓𝑥=𝑥,∴𝑓−𝑥=−𝑥=−𝑓𝑥∴𝑓𝑥是奇函数.解𝑓𝑥的定义域𝐷=\𝑥∈𝐑]]𝑥≠1^. −1∈𝐷而1∉𝐷,∴𝑓𝑥是非奇非偶函数.3𝑓𝑥=𝑥2−1𝑥−1−1;Oxy11QP－1－1(4)𝑓𝑥=Я1−𝑥2]]3−𝑥]]−3;解(4)由ཱ�1−𝑥2≥0,]]3−𝑥]]−3≠0得定义域𝐷=້−1,0⋃0,1>,∴∀𝑥∈𝐷,−𝑥∈𝐷.由定义域,𝑓𝑥=Я1−𝑥23−𝑥−3=−Я1−𝑥2𝑥,∴𝑓−𝑥=−Я1−−𝑥2−𝑥=−ཱ�−Я1−𝑥2𝑥ཱ�=−𝑓𝑥,∴𝑓𝑥为奇函数.先化简解析式,以便于判断.∴𝑓−𝑥=𝑓−0=0=−𝑓𝑥.(5)𝑓𝑥=༸𝑥1−𝑥,𝑥≥0𝑥1+𝑥𝑥<0.解定义域为R,∴∀𝑥∈𝐑,−𝑥∈𝐑.1°若𝑥<0,则𝑓𝑥=𝑥1+𝑥,而−𝑥>0,∴𝑓−𝑥=−𝑥<1−−𝑥>=−𝑥1+𝑥=−𝑓𝑥;2°若𝑥>0,则𝑓𝑥=𝑥1−𝑥,而−𝑥<0,∴𝑓−𝑥=−𝑥<1+−𝑥>=−𝑥1−𝑥=−𝑓𝑥;3°若𝑥=0,则𝑓𝑥=𝑓0=0,综上,∀𝑥∈𝐑,都有𝑓−𝑥=−𝑓𝑥,∴𝑓𝑥为奇函数.Oxy11－1x＝－12x＝12分段函数,分段讨论.小结用定义法判断函数𝑓𝑥奇偶性:(1)看定义域D是否关于原点对称;(2)看𝑓−𝑥与𝑓𝑥的关系.注:①在定义域关于原点对称的前提下,可先化简解析式再判断;②分段函数,分段讨论.例2判断下列函数是否具有奇偶性:(1)𝑓𝑥=𝑥2+]𝑥];(2)𝑓𝑥=]]𝑥+1]]−]]𝑥−1]]+𝑥;(3)𝑓𝑥=ໆ𝑥2+]𝑥]∙𝑥;(4)𝑓𝑥=𝑥4+𝑎𝑥−1.(1)𝑓𝑥=𝑥2+]𝑥];解𝑓𝑥的定义域为𝐑,∴∀𝑥∈𝐑,−𝑥∈𝐑.又 𝑓−𝑥=−𝑥2+]−𝑥]=𝑥2+]𝑥]∴𝑓𝑥=𝑥2+]𝑥]是偶函数.=𝑓𝑥,(2)𝑓𝑥=]]𝑥+1]]−]]𝑥−1]]+𝑥;解(2)定义域为𝐑,显然∀𝑥∈𝐑,−𝑥∈𝐑....
