函数的奇偶性（3）高一年级数学主讲人李双平北京市第八中学北京市中小学空中课堂“形”:奇偶性描述了函数图像具有的对称性;“数”:奇偶性描述了𝑓−𝑥与±𝑓𝑥的相互转化关系.奇、偶函数在一个区间上的性质和图像→在关于原点对称区间上的性质和图像.xy－552xy－552xy－55－22O例1已知函数𝑓(𝑥)是定义在<−5,5>上的奇函数,它在原点左侧的图像如图所示,若f(2)=0,则使得𝑓𝑥≥0的x的取值范围是____________.<−2,0>⋃<2,5>例1′已知函数𝑓(𝑥)是定义在<−5,5>上的奇函数,它在<−5,0上是增函数,若𝑓2=0,则使得𝑓𝑥≥0的x的取值范围是____________.分析 𝑓𝑥是奇函数,∴𝑓−2=−𝑓2=0.又 𝑓𝑥在<−5,0上是增函数,∴∀𝑥∈<−5,−2,𝑓𝑥<𝑓−2=0;∀𝑥∈−2,0,𝑓𝑥>𝑓−2=0.<−2,0>⋃<2,5>xy－55－22xy－55－22xy－55－22例2已知函数𝑓𝑥是奇函数,且在<−𝑛,−𝑚>上是增函数,求证:𝑓𝑥在<𝑚,𝑛>上也是增函数.分析利用单调性的定义证明.证明 𝑓𝑥是奇函数且在<−𝑛,−𝑚>上有定义,∴𝑓𝑥在<𝑚,𝑛>上有定义.∀𝑥1,𝑥2∈<𝑚,𝑛>,设𝑥1<𝑥2,则−𝑥2<−𝑥1,且−𝑥1,−𝑥2∈<−𝑛,−𝑚>,由𝑓𝑥在<−𝑛,−𝑚>上是增函数知𝑓−𝑥2<𝑓−𝑥1.又 𝑓𝑥是奇函数,∴−𝑓𝑥2<−𝑓𝑥1,即𝑓𝑥1<𝑓𝑥2,∴𝑓𝑥在<𝑚,𝑛>上是增函数.∀𝑥1,𝑥2∈<𝑚,𝑛>,设𝑥1<𝑥2同理,若奇函数𝑓𝑥在<−𝑛,−𝑚>上是减函数,则其在<𝑚,𝑛>上也是减函数.即:奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致.例3判断下列说法的正误:(1)若奇函数𝑓𝑥在<−𝑛,0上为增函数,则𝑓𝑥在<−𝑛,𝑛>上为增函数;(2)若奇函数𝑓𝑥在<−𝑛,0>上为增函数,则𝑓𝑥在<−𝑛,𝑛>上为增函数;(3)若偶函数𝑓𝑥在<−𝑛,−𝑚>上为增函数,则𝑓𝑥在<𝑚,𝑛>上为减函数.OxyOxy分析(1)XOxy(2)若奇函数𝑓𝑥在<−𝑛,0>上为增函数,则𝑓𝑥在<−𝑛,𝑛>上为增函数;分析∀𝑥1,𝑥2∈<−𝑛,𝑛>,设𝑥1<𝑥2.由例2知:𝑓𝑥在<0,𝑛>上为增函数.1°若𝑥1,𝑥2∈<−𝑛,0>或𝑥1,𝑥2∈<0,𝑛>,则𝑓𝑥1<𝑓𝑥2;2°若𝑥1∈<−𝑛,0>,𝑥2∈<0,𝑛>, 𝑓𝑥在<−𝑛,0>上单调增,∴𝑓𝑥1≤𝑓0; 𝑓𝑥在<0,𝑛>上单调增,∴𝑓0≤𝑓𝑥2,分别当且仅当𝑥1=0和𝑥2=0时取“=”. 𝑥1<𝑥2,∴𝑥1=0和𝑥2=0不能同时取到,∴𝑓𝑥1<𝑓𝑥2.综上,总有𝑓𝑥1<𝑓𝑥2,即𝑓𝑥在<−𝑛,𝑛>上为增函数.√(3)若偶函数𝑓𝑥在<−𝑛,−𝑚>上为增函数,则𝑓𝑥在<𝑚,𝑛>上为减函数.注偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反.Oxy－n－mmn√本题小结奇函数在关于原点对称的两个区间上的...
