北京市中小学空中课堂函数的单调性（1）高一年级数学主讲人：黄颖北京市第八中学Oxyx＝1二次函数：221yxx，当1x时，函数值随自变量的增大而减小；当1x时，函数值随自变量的增大而增大.Oxy反比例函数：2yx，当0x时，函数值随自变量的增大而增大；当0x时，函数值随自变量的增大而增大.再看一个函数的图像：观察以上图像，按照函数值的增减与自变量的增减的关系，可以将这些区间分为两类：[6,4]，[2,1]，[3,6]一类；[4,2]，[13]，一类.那么，怎么用数学语言来刻画这个特点呢？1.单调性定义(1)Oxyx2x1f(x1)f(x2)(2)Oxyx2x1f(x1)f(x2)一般地，设函数()yfx的定义域为D，且ID：(1)如果对任意12,xxI，当12xx时，都有12()()fxfx，则称()yfx在I上是增函数(也称在I上单调递增)，如图（1）所示；(2)如果对任意12,xxI，当12xx时，都有12()()fxfx，则称()yfx在I上是减函数(也称在I上单调递减)，如图（2）所示.两种情况下，都称函数在I上具有单调性（当I为区间时，称I为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间）.由定义知，前面给出的例子中，二次函数221fxxx的增区间为[1，），减区间为(,]1；反比例函数2fxx的增区间为(,)0和(,)0，没有减区间.想一想：能否说2fxx在定义域内是增函数？为什么？新知提炼：(1)单调区间是定义域的子区间，对于单调性，首先要考虑函数的定义域。因此，单调性是函数的局部性质.(2)对于某个具体函数，单调区间可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域的一部分(如二次函数)，也可以没有单调区间(如常值函数).(3)函数的单调性是对于区间而言的，对于某一点无所谓单调性.(4)单调区间一般不能取并，如反比例函数..121212353530fxfxxxxx例1．判断函数35,1,6fxxx的单调性，并证明.解：任取12,1,6xx且12,xx则120xx，那么所以，这个函数在1,6上是增函数.在这个例题中，由不等式的知识得到：因为16x，所以，3318,23523.xx即16ffxf.最值的定义:一般地，设函数()yfx的定义域为D，且0xD：如果对任意xD，都有0fxfx，则称fx的最大值为0fx，而0x称为fx的最大值点；如果对任意xD，都有0fxfx，则称fx的最小值为0fx，而0x称为fx的最小值点.最大值和最小值统称为最值...
