0916高一【数学(人教A版)】基本不等式(1)-课件.pptx

基本不等式（1）,年 级：高一 学 科：数学（人教A版）主讲人：马琳 学 校：北京市第二十二中学,基本不等式（）,年 级：高一 学科：数学（人教A版）主讲人：马琳 学校：北京市第二十二中学,我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用.那么，是否也有一些不等式，他们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢？下面就来研究这个问题.,前面，我们利用完全平方公式得到了一类重要不等式，当且仅当时，等号成立.请同学们观察这个不等式，它的左边是两个数的平方的和，右边是这两个数的乘积的2倍,问题1 特别地，如果,我们用 分别代替上式中的 可以得到怎样的式子？,问题1 特别地，如果,我们用 分别代替上式中的 可以得到怎样的式子？解：,问题1 特别地，如果,我们用 分别代替上式中的 可以得到怎样的式子？解：,问题1 特别地，如果,我们用 分别代替上式中的 可以得到怎样的式子？解：,.,结论：当且仅当 时，等号成立.通常称它为基本不等式.其中，叫做正数 的 算术平均数，叫做正数的几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,问题2能否直接利用不等式的性质证明出基本不等式呢？当然，我们可以用作差比较法证明基本不等式.,分 析 法分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理）为止.,要证，只要证.,问题2,要证，只要证.要证，只要证.,问题2,要证，只要证.要证，只要证.要证，只要证.,问题2,要证，只要证.要证，只要证.要证，只要证.要证，只要证.,问题2,要证，只要证.要证，只要证.要证，只要证.要证，只要证.显然，成立，当且仅当 时，中的等号成立,问题2,要证，只要证.要证，只要证.要证，只要证.要证，只要证.显然，成立，当且仅当 时，中的等号成立只要把上述过程倒过来，就能直接推出基本不等式了.,问题2,由前面的的证明可以看出，我们经历了从要证明的问题出发，逐步寻求使命题成立的充分条件，直至最后，归结为判定一个明显成立的公式为止，就是我们今天给大家介绍的分析法.,问题2,问题2,请同学们想一想上述证明中每一步推理的依据是什么呢？,问题2,由，即由，根据不等式性质，两边同乘以一个正数，所得不等式与原不等式同向这里，根据前面的知识，我们可以知道是成立的充分条件,问题2,由，即由，根据不等式性质，两边同时加上正数+，所得不等式与原不等式同向,这里，根据前面的知识，我们可以知道是成立的充分条件.,问题2,由，即由，运用完全平方差公式打开计算,这里，根据前面的知识，我们可以知道是成立的充分条件.,问题2,由，即由，根据不等式性质，两边同乘以一个负数，所得不等式与原不等式反向,这里，根据前面的知识，我们可以知道是成立的充分条件；显然，成立，当且仅当=时，中的等号成立.,分析法的证明格式 由于分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，所以分析法在书写过程中必须有相应的文字说明：一般每一步的推理都用“要证”“只要证”的格式，当推导到一个明显成立的条件之后，指出显然成立。,同学们,经过从前面基本不等式的代数解释,你是否能联想到从几何角度基本不等式也有背景对应呢？下面我们一起来探究一下.,问题3在图2.2-1中，AB是圆的直径，点C是AB上一点AC=a,BC=b.过点C做垂直于AB的弦DE，连接AD,BD你能在这个图中找到和分别是哪条线段的长吗？你能从这里得出基本不等式的几何解释吗？,问题3 解：由图可知，圆的半径长为；那么哪条线段的长为呢？,问题3 解：如图2.2-1，可证 即可得,因而.,问题3 解：如图2.2-1，可证 即可得,因而.由于 小于或等于圆的半 径，用不等式表示为,问题3 解：如图2.2-1，可证 即可得,因而.由于 小于或等于圆的半 径，用不等式表示为.显然，当且仅当点C与圆心重合，即当 时，上述不等式的等号成立.,小结：在这道题中，我们从条件和基本不等式出发，发现圆的半径长等于+2，=,所以基本不等式可以利用“圆中直径不小于任意一条弦”得到解释，当且仅当弦过圆心时，二者相等。我们把这个可以看作基本不等式的几何解释.,例1 已知，求的最小值,例1 已知，求的最小值 分析：观察,发现,例1 已知，求的值 分析：观察,发现 联系基本不等式，可以利用正数 的算术平均数与几何平均数的关系得到的最小值是.,例1 已知 解：因为 所以.当且仅当,即，也就是 时，等号成立.因此所求最小值为2.,想一想，在上述解答过程中，是否必须说明“当且仅当=1，即=1时，等号成立”？这是为了说明“2”是+1 的一个取值.,想一想，当 时，成立吗？这时能说 是 的最小值吗？,例1 已知，求的最小值 分析：求 的最小值，就是要求一个 使 都有 当 时，找不到能取到这个 所对应的正数.因此所求 最小值为2.当且仅当，取到最小值2.,例2 已知x，y都是正数，求证：（）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值；（）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值.,例2 已知x,y都是正数，求证：（）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值；证明：因为x,y都是正数，所以,例2 已知x,y都是正数，求证：（）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值；证明：因为x,y都是正数，所以所以，当且仅当x=y时，上式等号成立,例2 已知x,y都是正数，求证：（）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值；证明：因为x,y都是正数，所以 所以，当且仅当x=y时，上式等号成立 于是，当x=y时，和x+y有最小值；,例2 已知x,y都是正数，求证：（）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值.证明：当和x+y等于定值S时，所以,例2 已知x,y都是正数，求证：（）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值.证明：当和x+y等于定值S时，所以，即，当且仅当x=y时，上式等号成立,例2 已知x,y都是正数，求证：（）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值.证明：当和x+y等于定值S时，所以当且仅当x=y时，上式等号成立于是，当x=y时，积xy有最大值.,例2 已知x，y都是正数，求证：（）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值；（）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值.,1基本不等式就是“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”，即对于,都有 当且仅当 时等号成立2用分析法利用不等式的性质证明基本不等式；并且在圆中利用已知线段的大小关系记住基本不等式的几何特征3利用基本不等式求代数式的最值时，首先明确代数式是否能转化为两个正数的和或积的形式，它们的和或者积是否是一个定值，不等式中的等号是否能取到，通俗的说就是“一正、二定、三相等”,祝大家学业有成，同学们再见！,