高一年级数学平面与平面垂直性质及应用主讲人陈义明北京市顺义牛栏山第一中学前面我们研究了平面与平面垂直的判定，下面我们来研究平面与平面垂直的性质．也就是在两个平面互相垂直的条件下，能推出哪些结论．如果两个平面互相垂直，根据以往的研究经验，我们应该从何处入手开始研究呢？我们可以先研究一个平面内的直线与另一个平面具有怎样的位置关系．将平面与平面的位置关系问题转化为直线与平面的位置关系问题．【探究】如图，设平面α⊥平面β，α∩β=a．那么β内任意一条直线b与直线a是什么关系？相应地，b与α有什么关系？为什么？ab显然，b与a平行或相交．（1）当b∥a时，b∥α；（2）当b与a相交时，b与α也相交．ab平行关系我们在前面已经研究过了，下面我们来研究特殊的相交情况，即b⊥a的情况．ab【思考】当b⊥a时，b与α是什么位置关系？设b与a的交点为A，过A在α内作直线c⊥a，则直线b，c所成的角就是二面角α-a-β的平面角．由α⊥β，可得b⊥c．又因为b⊥a，a，cα，a∩c=A，所以b⊥α．abcA由此，我们得到平面与平面垂直的性质定理：定理两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直．用符号语言表示如下：用图形表示如下图：ab已知平面α，β，直线a，b．若α⊥β，α∩β=a，且bβ，b⊥a，则有b⊥α．这个定理说明，由平面与平面垂直可以得到直线与平面垂直．这个定理可以用于解决现实生活中的问题．例如装修房子时，要在墙壁上画出与地面垂直的直线，只需在墙面上画出地面与墙面交线的垂线即可．【探究】设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线a，直线a与平面α具有什么位置关系？aP点P不在交线上aP点P在交线上设α∩β=c，过点P在平面α内作直线b⊥c，根据平面与平面垂直的性质定理知，b⊥β．aP点P不在交线上bcaP点P在交线上bc因为过一点有且只有一条直线与平面β垂直，所以直线a与直线b重合，因此有aα．此结论说明，若两个平面垂直，则过一个平面内的点且垂直于另一个平面的直线必在此平面内（垂直于两个平面的交线）．下面我们结合具体的问题来看一下平面与平面垂直性质定理的应用．PABC例题如图，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．求证：BC⊥平面PAB．分析：要证明BC⊥平面PAB，由直线与平面垂直的判定定理知，需要证明BC垂直于平面PAB中两条相交的直线．由已知中直线与平面垂直的条件可以得到一个线线垂...
