第三课时导数的应用问题新课程学案1．会利用导数解决与函数有关的问题．2．会利用导数解决实际问题中的最大(小)问题．3．通过学习，培养学生数学运算、数学建模的核心素养．题型一利用导数解决函数的综合问题[学透用活][典例1]设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求f(x)的极值点；(2)若关于x的方程f(x)＝a有3个不同实根，求实数a的取值范围；(3)已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围．[解](1)f′(x)＝3(x2－2)，令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.当x∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)时，f′(x)>0，当x∈－2，2时，f′(x)<0，因此x1＝－2，x2＝2分别为f(x)的极大值点、极小值点．(2)由(1)的分析可知y＝f(x)图象的大致形状及走向如图所示．要使直线y＝a与y＝f(x)的图象有3个不同交点需5－42＝f(2)
1，所以k≤x2＋x－5在(1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝x2＋x－5，由二次函数的性质得g(x)在(1，＋∞)上是增函数，所以g(x)>g(1)＝－3，所以所求k的取值范围是为(－∞，－3]．法二：直线y＝k(x－1)过定点(1,0)且f(1)＝0，曲线f(x)在点(1,0)处切线斜率f′(1)＝－3，由(2)中草图知要使x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立需k≤－3.故实数k的取值范围为(－∞，－3]．[方法技巧]1．利用函数的极值(最值)判断函数零点个数的方法主要是借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负、函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者利用零点个数求参数范围．2．画函数f(x)图象的一般步骤(1)求出函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)及f′(x)的零点；(3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值；(4)确定f(x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；(5)画出f(x)的大致图象．[对点练清]1．已知导函数f′(x)的下列信息：当1＜x＜4时，f′(x)＞0；当x＞4或x＜1时，f′(x)＜0；当x＝4或x＝1时，f′(x)＝0.试画出函数f(x)图象的大致形状，并判断其极值点情况．解：当1＜x＜4时，f′(x)＞0，可知f(x)在此区间内单调递增；当x＞4或x＜1时，f′(x)＜0，可知f(x)在这两个区间内单调递减；当x＝4或x＝1时，f′(x)＝0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”．综上，函数f(x)图象的大致形状如图所示．由图象知函...
