高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI5.2.2同角三角函数的基本关系第五章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.理解并掌握同角三角函数的基本关系式sin2x+cos2x=1,=tanx.(数学抽象)2.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明.(数学运算、逻辑推理)𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥课前篇自主预习[激趣诱思]1963年,美国气象学家爱德华·罗伦兹提出一个观点:“一只南美洲亚马孙河流域热带雨林中的蝴蝶,偶尔扇动几下翅膀,可以在两周以后引起美国得克萨斯州的一场龙卷风.”这就是闻名于世的“蝴蝶效应”.此效应的本意是说事物初始条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化,蝴蝶扇动翅膀成为龙卷风的导火索.从这个比喻我们还可以看出,南美洲亚马孙河流域热带雨林中的一只蝴蝶与美国得克萨斯州的一场龙卷风看起来是毫不相干的两种事物,却会有着这样的联系,这也正验证了哲学理论中事物是普遍联系的观点.看似不相关的事物间都是相互联系的,那么“同一个角”的三角函数间肯定也会存在着密切的关系,本节课我们就来探索这个问题.[知识点拨]知识点:同角三角函数的基本关系1.平方关系(1)公式:sin2α+cos2α=1;(2)语言叙述:同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.2.商数关系(1)公式:=tanα;(2)语言叙述:同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切.sinαcosα名师点析1.基本关系成立的前提是“同角”,它揭示了同角而不同名的三角函数关系,公式中的角可以是具体的数值,也可以是变量,可以是单项式表示的角,也可以是多项式表示的角.3.sin2α是(sinα)2的简写,读作“sinα的平方”,不能将sin2α写成sinα2,前者是α的正弦的平方,后者是α2的正弦,两者是不同的.2.这里的“同角”应作广义上的理解,如𝜋2与𝜋2、2α与2α是同角,2α+𝜋3与2α+𝜋3是同角,即“同角”的概念与角的表达形式无关,如sin23α+cos23α=1,𝑠𝑖𝑛α2𝑐𝑜𝑠α2=tanα2(α≠2kπ+π,k∈Z)恒成立.微拓展同角三角函数基本关系式的变形1.平方关系sin2α+cos2α=1的变形(1)sin2α=1-cos2α;(2)cos2α=1-sin2α;(3)1=sin2α+cos2α;(4)(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα;(5)(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα.2.商数关系tanα=sin𝛼cos𝛼α≠kπ+π2,k∈Z的变形(1)sinα=tanαcosα;(2)cosα=sin𝛼tan𝛼.微练习(1)sin22020°+cos22020°=()A.0B.1C.2020D.2020°(2)若sinθ+cosθ=0,则tanθ=.答案(1)B(2)-1解析(1)由平方关系知sin22020°+cos22020°=1.(2)由sinθ+cosθ...
