高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI第2课时等比数列前n项和的性质及应用第四章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.掌握等比数列前n项和的性质及其应用.(数学抽象)2.能够运用学过的数列知识解决等差与等比数列的综合问题.(数学运算)3.能够运用等比数列的知识解决有关实际问题.(数学建模)等比数列前n项和的性质及应用൞性质及其应用综合问题实际应用课前篇自主预习【激趣诱思】某人准备购买一辆汽车,向银行贷款6万元,其中规定一年期以上贷款月均等额还本付息(即利息按月以复利计算,每期付款数额相同,一个月为一期,购买后一个月开始付款,以后每月付款一次),共付36期,月利率为0.4575%,那么这个人每月还多少钱呢?【知识梳理】等比数列前n项和的性质公比为q的等比数列{an}的前n项和为Sn,关于Sn的性质常考的有以下四类:(1)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠-1).(2)当n是偶数时,S偶=S奇·q;当n是奇数时,S奇=a1+S偶·q.(3)Sn+m=Sm+qmSn=Sn+qnSm.(4)数列{an}为公比不为1的等比数列⇔Sn=A-Aqn,A≠0,q≠0且q≠1.微练习已知等比数列{an}的前3项和为1,前6项和为9,则它的公比q等于()A.B.1C.2D.4答案C解析 S3=1,S6=9,∴S6-S3=8=a4+a5+a6=S3q3=q3,即q3=8,∴q=2.12课堂篇探究学习探究一等比数列前n项和的性质例1(1)在等比数列{an}中,若S2=7,S6=91,则S4=.(2)已知等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且(a1+a3+…+a2n-1)-(a2+a4+…+a2n)=80,则公比q=.(3)若数列{an}是等比数列,且其前n项和为Sn=3n+1-2k,则实数k等于.分析根据所给题目特征选择运用等比数列前n项和的性质求解.答案(1)28(2)2(3)32解析(1) 数列{an}是等比数列,且易知公比q≠-1,∴S2,S4-S2,S6-S4也构成等比数列,即7,S4-7,91-S4构成等比数列,∴(S4-7)2=7(91-S4),解得S4=28或S4=-21.又S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=(a1+a2)(1+q2)=S2(1+q2)>0,∴S4=28.(2)由题意知S奇+S偶=-240,S奇-S偶=80,∴S奇=-80,S偶=-160,∴q=𝑆偶𝑆奇=2.(3) Sn=3n+1-2k=3·3n-2k,且{an}为等比数列,∴3-2k=0,即k=32.方法技巧等比数列前n项和的性质(1)若数列{an}为非常数列的等比数列,且其前n项和为Sn=A·qn+B(A≠0,B≠0,q≠0,q≠1),则必有A+B=0;反之,若某一非常数列的前n项和为Sn=A·qn-A(A≠0,q≠0,q≠1),则该数列必为等比数列.(2)若等比数列{an}的前n项和为Sn,则(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n).特别地,如果公比q≠-1或虽q=-1但n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等比数列.(3)...
